W dyskusji nad referatem p. Tomasza Jordana “O nieporozumieniach związanych z twierdzeniem Gödla” (Seminarium logiczne w UKSW, 20.IV.2012) — której uczestnicy byli zgodni co do tego, że przekonanie o niesprzeczności arytmetyki pierwszego rzędu jest dobrze umotywowane faktem nie pojawienia się sprzeczności w toku wielowiekowego uprawiania arytmetyki — postawiono pytanie: czy niesprzeczność aksjomatów arytmetyki wystarcza do uznania ich za prawdziwe?
Nie odpowiadałbym z góry przecząco (jak to było w tej dyskusji), bo coś daje do myślenia fakt, że zdanie koniecznie prawdziwe definiuje się jako zdanie, kŧórego zaprzeczenie implikuje sprzeczność. Zgódźmy się, że zdanie koniecznie prawdziwe to takie, którego treść dysponuje je do tego, by odnosiło się do każdej dziedziny czyli jest — nazwijmy je tak — (1) uniwersalne, a zarazem jest ono (2) prawdziwe.
Uniwersalne w takim rozumieniu są nie tylko tautologie logiczne, lecz także prawa arytmetyki (liczb naturalnych), bo liczyć można wszystko: kwarki, gwiazdy, zbiory, punkty, liczby, anioły (o tym ostatnim przekonywał np. Dionizy Areopagita). Sama uniwersalność nie implikuje prawdziwości, jest to tylko jakby dyspozycja sądu do tego, żeby opisywał każdą dziedzinę, biorąca się z jego treści. Zdanie może być uniwersalne, a zarazem pociągać sprzeczność, np. “dla każdych dwu par łączna liczba ich elementów wynosi pięć” (na tej podstawie Russell udowodnił, że jest i nie jest papieżem).
A gdy jakieś zdanie jest uniwersalne, i w żadnej dziedzinie nie wynika zeń sprzeczność, znaczy to, że nie ma ono kontrprzykładów. Czy stwierdzić taki totalny brak kontrprzykładów, czyli stwierdzić niesprzeczność, to nie to samo, co udowodnić prawdziwość danego zdania?
Chciałbym przedłożyć to pytanie pod rozwagę P.T. uczestników rzeczonej dyskusji. Proszę przy tym o wyrozumiałość dla szkicowości tego wywodu, zrobionego dziś w nocy na kolanie pod wpływem wertowania pewnego obfitego zbioru wypowiedzi. Jest to monitorowana przez Martina Davisa korespondencja liczących się autorów na temat podstaw matematyki, obejmująca min. dział pt. “Truth and Consistency”.