Optymizm poznawczy nowoczesnego racjonalizmu ma za swój kanon wypowiedź Gödla (1936) dotyczącą dowodzenia twierdzeń matematycznych w sposób formalny czyli algorytmiczny: Istnieją zdanie niedowodliwe środkami logiki pierwszego rzędu, które stają się dowodliwe w logice drugiego rzędu, a ich dowody są znacząco krótsze. Ogólniej: pewne zdania niedowodliwe środkami logiki rzędu N stają się dowodliwe, a dowody zwięźlejsze w logice rzędu N+1. Ponieważ dowód jest właściwym matematyce środkiem rozstrzygania problemów, jest to zarazem wypowiedź na temat rozstrzygalności zagadnień matematycznych.
Ten optymistyczny obraz dynamiki poznania różni się od statycznego obrazu racjonalistów 17-wiecznych zawartego w projekcie “Mathesis Universalis” (skr. MU). Był projekt integracji całości wiedzy za pomocą metody matematycznej, pochodzący głównie od Kartezjusza i Leibniza. Podejście Leibniza jest radykalnie formalistyczne (czyli algorytmiczne), podczas gdy Kartezjusza – zdecydowanie antyformalistyczne. W tamtym czasie uchodziły one za konkurencyjne, ale współczesna rekonstrukcja MU dokonywana na gruncie logiki matematycznej i jej filozofii respektuje oba podejścia: dowody formalne, czyli algorytmiczne, których dotyczą badania Hilberta, Gödla etc.,
realizują projekt leibnizjański, lecz do nowych algorytmów, rozwiązujących problemy dowodowe przedtem nierozwiązywalne, dochodzimy dzięki nowym ideom matematycznym, a te zawdzięczamy intuicji matematycznej, tak wysoko cenionej przez Kartezjusza; to ona prowadzi np. do logik coraz wyższego rzędu.
Leibnizjański zamysł, żeby narzędziem realizacji projektu była uniwersalna symbolika i rachunek logiczny jest obecnie realizowany w odniesieniu do całości matematyki za pomocą środków, które jako pierwszy stworzył Gottlob Frege (1879), zaś rozwinięcie w kierunku formalizacji (algorytmizacji) pochodzi od Hilberta, Gödla, Turinga, Churcha, Posta i in. Nie sięga dziś ten projekt tak daleko, by objąć całość wiedzy, jak to projektowano w oryginalnej wersji MU, ale posuwa się w tym kierunku w miarę matematyzacji kolejnych obszarów nauki.
Dla tego postępu fundamentalny jest wkład Georga Cantora – autora teorii mocy zbiorów, która służy unifikacji matematyki w integracyjnym duchu MU. Wprowadzone w niej odróżnienie zbioru nieskończonego przeliczalnie od liczniejszego odeń zbioru mocy kontinuum umożliwia dowód fundamentalnego dla współczesnej wersji MU twierdzenia o istnieniu problemów nierozstrzygalnych w matematyce. Mianowicie, Alan Turing (1936) wykazał, posługując się pewną metodą Cantora, że zbiór realizowalnych przez maszynę algorytmów mających rozstrzygać problemy typu “jaka jest wartość określonej funkcji?”, jest tylko przeliczalny, podczas gdy zbiór problemów do rozstrzygnięcia ma moc kontinuum. Z czego wynika, że pewne problemy są nierozstrzygalne w sposób algorytmiczny, a więc niewykonalne dla maszyny.
Wynik Gödla ma dopełnienie w jego przytoczonej na wstępie argumentacji, że ograniczenia rozstrzygalności są tylko względne, to jest, zachodzące ze względu na określony system formalny. Dadzą się one przezwyciężać przez wprowadzanie nowych pojęć pierwotnych, aksjomatów i reguł. Ten optymizm poznawczy brał się z racjonalizmu Gödla, jego wiary w niewyczerpywalne możliwości intuicji intelektualnej. Tak oto opisał tę postawę matematyk uchodzący za wybitnego kontynuatora dzieła Gödla – Gregory Chaitin w internetowym wywiadzie z roku 2008 pt. “Chaitin interview for Simply Gödel website” (podaję we własnym wolnym przekładzie).
“Gödel był przekonany, że pomimo udowodnionej przezeń nierozstrzygalności matematyki, nie ma w gruncie rzeczy żadnej granicy dla osiągnięć, które mogą być udziałem matematyków za sprawą ich twórczej intuicji, gdy się nią posługują miast polegać wyłącznie na metodzie aksjomatycznej i algorytmach logicznych. Uważał Gödel, że każdy problem matematyczny może być rozwiązany przez dołączanie w miarę potrzeby nowych zasad, to jest, nowych pojęć i aksjomatów. W taki sposób pojęcie prawdy matematycznej staje się czymś dynamicznym, co ewoluuje, czyli zmienia się w czasie. Przeciwstawia się to tradycyjnemu poglądowi, że prawda matematyczna jest niezmienna i wieczna.”