Odcinek poprzedni: A. Klub Optymistów Poznawczych
Odcinek B. “Wir werden wissen” – Gödel i Hilbert przeciw pesymizmowi
Motto: Gödel’s rationalistic optimism is an optimism about the power of human reason. — Hao Wang
§1. Zasadnicza zgodność Gödla z Hilbertem co do tego, że każdy problem matematyczny jest rozwiązywalny — jest czymś oczywistym w świetle wypowiedzi samego Gödla (zob. niżej w §3 – cytaty II i III). Zarazem zaś, ogromnej większości piszących na ten temat autorów wydaje się oczywiste, że było przeciwnie: że Gödel obalił tę wiarę Hilberta. A nie są to bynajmniej autorzy, którym można by zarzucić w tej materii dyletanctwo.
Powody tego nieporozumienia są co najmniej dwa. Jednym jest niedookreślenie pojęciowe, drugim pewna luka bibliograficzna. Niedookreślenie na tym polega, że terminów (wzajem bliskoznacznych) “rozwiązywalność”, “rozstrzygalność” i “obliczalność” używa się z reguły bez różnicującej przydawki, a jest nią wyraz “algorytmiczna” lub “intuicyjna”. Tę drugą trzeba brać w takim sensie, w jakim mówimy, że intuicyjne są dowody niesformalizowane (np. wszystkie dowody u Euklidesa).
Według Hilberta nr 1 (sprzed roku 1931, daty twierdzenia Gödla) “wir werden wissen” znaczyło, że będziemy mogli dowieść każdego twierdzenia za pomocą algorytmu, o którym sądził on (np. w tekście z roku 1928), że będzie opracowany niebawem (widział to jako jedno z zadań na wiek XX) i raz na zawsze.
Według Hilberta nr 2 (po roku 1931, pogodzonego już z Gödlem) “wir werden wissen” znaczyło tyle, że dla każdego problemu matematycznego da się znaleźć algorytm rozwiązania, ale nie jeden dla wszystkich i raz na zawsze, lecz w takim trybie, że gdy istnieje problem nierozwiązywalny na danym etapie algorytmicznie, potrafimy znaleźć rozwiązanie dzięki intuicji naprowadzającej na nowe, niezbędne do rozwiązania, pojęcia (jak to było np. z dowodem twierdzenia Fermata przez Andrew Wilesa). Ten wzmocniony system pojęciowy umożliwia takie wzbogacenie języka formalnego czyli algorytmicznego, że w tym efektywniejszym języku da się sformułować dowód będący rozwiązaniem algorytmicznym.
Streśćmy te dwa stanowiska, wydobywając różnicę w układzie kwantyfikatorów.
H1: Istnieje algorytm dla rozwiązania każdego problemu.
H2: Dla każdego problemu istnieje algorytm jego rozwiązania.
Z H1 wynika logicznie H2, lecz nie odwrotnie, a więc H2 jest tezą osłabioną. Jest jednak ona na tyle mocna, że nadal nadaje się na zapis logiczny tego przekonania, które w potocznym niemieckim oddaje dewiza Hilberta, sygnowana przez Gödla, “wir werden wissen”. H2 pokrywa się z przekonaniem Gödla (które “wymusił” on na Hilbercie swym wynikiem z roku 1931). Stają się przez to koalicjantami w natarciu na pesymizm poznawczy, co czyni zasadnym tytuł obecnego odcinka.
Ze względu na takie pokrywanie się stanowisk obu myślicieli, odtąd oznaczam ich wspólne stanowisko etykietą GW (“G” od “Gödel”, zaś “W” od wszystkich pierwszych liter w maksymie “wir werden wissen”) . Oznaczenie dotyczy Gödla, bo przedmiotem tych rozważań jest jego motywacja filozoficzna poglądu GW. Motywacja Hilberta to byłby temat osobny, i raczej nie do ruszenia, bo (inaczej niż w przypadku Gödla) nie mamy źródeł do jej poznania; można tylko tylko snuć domysły interpretacyjne (co umiejętnie czyni publikacja 2 wymieniona w §5).
Co się tyczy Gödla, to źródła takie mamy, ale są one niejako ezoteryczne, raczej nie znane większości jego komentatorów (opublikowano je w 1996, a wiele opracowań powstało przed tą datą, służąc potem za źródło dla opracowań późniejszych). Tak dochodzimy do drugiego ze wspomnianych powodów nieporozumień, które określiłem jako bibliograficzne. Ma ono wielką wagę dlatego, że teza GW nie jest na tyle oczywista, by każdy się z nią zgodził bez oporu. Można mieć przeciw niej obiekcje filozoficzne i te właśnie obiekcje wydobywa na jaw i przeciwstawia im własne racje Gödel w owej “ezoterycznej” publikacji. Pora ją przedstawić.
§2. Książka ta nosi tytuł: A Logical Journey. From Gödel to Philosophy; MIT 1966 i 2001 (drugie wydanie).
W sensie prawa autorskiego autorem tej książki jest Hao Wang, ale w sensie rzeczowym ma ona dwóch autorów. Jest to bowiem opis akcji polegającej na rozmowie klasyka z jego komentatorem, tak więc obaj są autorami jako rozmówcy. Jednym jest Gödel, którego rolę w tej rozmowie można określić mianem żyjącego klasyka. Natomiast Hao Wang znakomity matematyk i filozof przybyły do USA z Chin, uczeń i przyjaciel Kurta Gödla pełni potrójną rolę: dyskutanta, sprawozdawcy z dyskusji, oraz jej komentatora ex post. Rozmowy dotyczyły logiki, komputerów, filozofii umysłu, roli mózgu, a także filozoficznych tej problematyki założeń i konsekwencji.
Jest to więc dzieło Gödla i zarazem o Gödlu, poruszające wszystkie niemal zagadnienia obecne w jego twórczości. Elementem godnym osobnej uwagi jest zapis kwestii. które obaj rozmówcy uznali za otwarte, jako zadanie dla dalszych badań, obaj wyrażając przy tym wiarę, że wszystkie te kwestie, nie wyłączając metafizycznych, mają szansę na rozwiązania wedle obowiązujących w nauce kryteriów ścisłości. Jest w tym dobitny wyraz tego racjonalistycznego optymizmu, o którym ma traktować projektowany przeze mnie artykuł pt. “Racjonalistyczny optymizm Gödla jako synteza intuicjonizmu Kartezjusza i algorytmizmu Leibniza” (wspomniany w odcinku A). Ma on uprzytomnić istnienie szerszego kontekstu historycznego, który świadczy ,jak doniosła jest kwestia optymizmu poznawczego; nie ogranicza się ona do problematyki z wieku XX, lecz ma rozległy zasięg historyczny.
Lokalizując bibliograficznie cytaty, odwołuję się do tej podstawowej pozycji skrótem Wang [1996], gdzie w nawiasie kwadratowym wystąpi też czasem numer odcinka (seria cyfr oddzielonych kropkami) i numer strony. Dokumentować takimi cytatami temat racjonalistycznego optymizmu można obficie, bo zwrot ten występuje w książce ok. 30 razy, co daje mu wysoką pozycję w zbiorze pojęć dla myśli Gódla kluczowych.
Wybieram spośród nich jeden, w którym racjonalistyczny optymizm jest zdefiniowany w sposób przywołujący temat obecnego odcinka — wspólne Gödlowi z Hilbertem przekonanie o rozwiązywalności wszelkich problemów matematycznych. Następujące dalej (§3) cytaty będą tę relację Gödla i Hilberta pełniej dokumentować, dostarczając źródłowej podstawy dla tezy GW sformułowanej w §1.
§3. Zacznijmy od zdania, które dobrze się nadaje na definicją (choć tylko cząstkową) racjonalistycznego optymizmu.
Cytat I. “Rationalistic optimism includes the expectation that we can solve interesting problems in all areas of mathematics.” — Wang [1966, 6.5.2, s.207].
Jest ta wypowiedź dokumentacją do pytania z §1, jak odróżnić ów optymizm Gödla od optymizmu Hilberta. Na pierwszy rzut oka różnicy nie widać; to zdanie Gödla wygląda jak parafraza dewizy Hilberta, ktorą on odnosił do matematyki. Przywołajmy ją raz jeszcze: Wir müssen wissen, wir werden wissen. Jest ona tak dla Hilberta charakterystyczna, że ją wyryto na jego grobie. Jej sens: oddaje po polsku powiedzenie: musimy wiedzieć, więc będziemy wiedzieć. Podobna jej w treści jest też inna ze słynnych maksym Hilberta: In der Mathematik gibt es kein Ignorabimus (w matematyce nie może być problemów nierozwiązalnych). Także te drugą można oddać słowami Gödla z cytatu I.
Ten spostrzeżenie co do podobieństwie Gödla i Hilberta jeszcze się potwierdza, gdy natrafiamy na tekst, w którym Gödel po nazwisku wymienia Hilberta jako swego sprzymierzeńca.
Cytat II. “If my result is taken together with the rationalistic attitude which Hilbert had and which was not refuted by my results, then we can infer the sharp result that mind is not mechanical. This is so, because, if the mind were a machine, there would, contrary to this rationalistic attitude, exist number-theoretic questions undecidable for the human mind.” — Wang [1966, 6.1.9, s.186; słowa Gödla cytowane przez Wanga].
Jest to sformułowanie niezwykle znamienne. Oto sam Gödel falsyfikuje ów cechujący jego komentatorów dramatyczny stereotyp, że racjonalizm Hilberta zawarty w cytowanych wyżej maksymach obrócił się w ruinę za sprawą wyników Gödla. Przeciwnie, Gödel powiada w dwugłosie z Hilbertem, że w matematyce nie ma problemu, który nie mógłby doczekać się rozwiązania.
Temat ten powraca w rozmowach obu logików. Wang zanotował: wiosną roku 1972, że Gödel stwierdził, iż zgadza się z Hilbertem, gdy ten odrzuca pogląd o istnieniu problemów matematycznych, które byłyby dla umysłu ludzkiego nierozstrzygalne. Oto opinia Gödla w relacji Wanga.
Cytat III. “In the spring of 1972 Gödel formulated an argument for publication [in which] he expressed his agreement with Hilbert in rejecting the proposition that there exist number-theoretical questions undecidable by the human mind.” — Wang [1966, 9.4.21].
O tym, że taka właśnie wiara w potęgę rozumu stanowi esencję racjonalizmu, poświadcza z kolei wypowiedź Hao Wanga:
Cytat IV. “Gödel’s rationalistic optimism is an optimism about the power of human reason.” Wang [1966, 9.4.22, s.317.].
Cytaty II, III i IV są niezwykle znaczące dla uzgodnienia optymizmów Hilberta i Gödla przez fakt użycia frazy “human mind” lub “human reason”. To umysł ludzki ma dar intuicyjnego rozwiązywania problemów nierozstrzygalnych dla algorytmu, a gdy znajdzie rozwiązanie intuicyjne potrafi potem dokonać jego konwersji na algorytm, czym zaspokaja oczekiwania Hilberta. Są jednak filozofowie, którym ten dar zdaje się być tak tajemniczy, że trudno im uwierzyć w jego istnienie. Gödel i Hao Wang obmyślali w swych konwersacjach argumenty pod adresem takich sceptyków; będzie o tym mowa w następnych odcinkach, a tu wspomnę jedynie o argumencie pragmatycznym.
§4. Praktyka naukowa potwierdza optymizm gödlowski, ukazując możliwość coraz bardziej efektywnych algorytmów, a w konsekwencji programów obliczeniowych dla maszyn. Problem jednak filozoficzny jest w tym, że nowe algorytmy biorą się z nowych twórczych pomysłów matematyków; ich przykładem są logiki wyższych rzędów (o czym będzie mowa w odcinku C), pewnik wyboru czy hipoteza kontinuum. Są to jednak pomysły, których zasadność bywa kwestionowana pod tym zarzutem, że na ich rzecz można argumentować jedynie na gruncie platonizmu (do którego Gödel jawnie się przyznaje), a to w pewnych kręgach dyskwalifikuje daną argumentację bez reszty.
Taką antyplatońską kanonadę uprawia nominalizm kwestionujący min. logiki wyższych rzędów; konstruktywizm kwestionujący min. pewnik wyboru; a także pozytywizm, mechanicyzm, behawioryzm itp. To, że pomysły rozwiązań czerpane z inspiracji platońskiej sprawdzają się w praktyce naukowej i technologicznej, nie stanowi argumentu dla wymienionych kręgów; jest to bowiem argument pragmatyczny, a pragmatyzm też się w tych kręgach nie cieszy respektem.
Żeby więc racjonalistyczny optymizm Gödla ostatecznie ugruntować, trzeba wypracować w pełni skuteczne argumenty przeciw takim jak wymienione kierunkom. Zarysowują je w “Logical Journey” Gödel i Wang, mając przy tym świadomość, że są to dopiero wstępne szkice, nad którymi trzeba by dużo popracować. Dlatego Gödel nie przedstawiał na ogół swych idei filozoficznych w druku, pragnąc nadać argumentacji nie mniejszą ścisłość i konkluzywność, jak ta, która cechuje jego prace matematyczne. Nawet jeśli wychodziły one poza fazę notatek, przybierając formę artykułu, pozostawały nieraz w szufladzie, póki się nie doczekały wydań pośmiertnych, jak zbiór wymieniony niżej pod numerem 3 w notatce o literaturze (§5).
To, że argumenty Gödla i Wanga nie dojrzały do druku w niczym nie umniejsza ich doniosłości jako bodźca nadającego naszym myślom impuls i kierunek. Za tym impulsem i w tym kierunku, śladem logicznej podróży (a logical journey) obu autorów, będziemy iść w dalszych odcinkach.
§5. W sprawie literatury
Piśmiennictwo na temat wyników Gödla i ich interpretacji jest przebogate i łatwe do odszukania w Sieci. Toteż podaję tylko przykładowo trzy pozycje, z których dwie pierwsze można uzyskać przez Google, a trzecią przez Kindle’a.
1. Klasykę wysoce kompetentnej popularyzacji stanowi pozycja: Ernest Nagel, James Roy, Newman Gödel’s Proof New York University Press, 2001.
2. Zagadnieniu relacji między myślą Gödla i myślą Hilberta, które jest w centrum uwagi obecnego artykułu, poświęca wiele uwagi artykuł Anny Brożek, kompetentny także w innych kwestiach pomocnych w rozumienie Gödla, pt. Hilbert a Gödel: prawda i dowód w matematyce. “Semina Scientiarum”, 2004, Nr 3, s.39-70.
3. Cenną lekturą uzupełniającą do książki Wanga jest zbiór, którego redaktorem jest Francisco A. Rodriguez-Consuegra pt. “Kurt Gödel: Unpublished Philosophical Essays”. Birkhauser Verlag, Berlin etc. 1995.
Zapowiedź cyklu wpisów o optymizmie poznawczym – optymizmie znajdującym oparcie w poglądach platoników – witam wręcz entuzjastycznie! Być może za jego sprawą zrozumiem lepiej, na jakich argumentach wspiera się wiara współczesnych platoników w zasadniczą poznawalność wszelkich matematycznych (i nie tylko) prawd.
Entuzjazm mój jest tym większy, że w dotychczasowej dyskusji w blogu – pod wpisami o nieobliczalności – uformował się raczej klub poznawczych pesymistów niż optymistów.
Albo ostrożniej: Klub Obliczeniowych Sceptyków (w skrócie: KOS).
Według mojej oceny jedynie p. Piotr wyraził wstępnie swój matematyczny ultra-optymizm, z którego jednak dość szybko (na moje oko: zbyt szybko) się wycofał. Inni dyskutanci ciążyli raczej ku takim czy innym argumentom przeciw zasadniczej (algorytmicznej) rozstrzygalności wszelkich problemów.
Zapowiada się zatem ciekawe światopoglądowe starcie: KOP (Klub Optymistów Poznawczych) kontra KOS (Klub Obliczeniowych Sceptyków). Pierwsi zdają się mieć oparcie w udokumentowanych historycznie interpretacjach gospodarza blogu, drudzy mają za sobą argumenty aktywnych w blogu dyskutantów (niekiedy już wstępnie wypowiedziane).
Czekając niecierpliwie na kolejne odsłony argumentów spod znaku KOP, chciałbym zgłosić wstępnie – jako ostrożny choć ciekawy sceptyk – kilka roboczych uwag, które być może ukierunkują jakoś wyczekiwany przeze mnie ciąg dalszy odcinków A i B.
1) Czy poznawczy sceptycyzm naukowców jest dla nauki groźny?
Wydaje mi się, że wręcz przeciwnie: choć naukowiec winien wierzyć w swój poznawczy sukces, winien też godzić się na pewne naturalne ograniczenia stosowanych metod – ograniczenia udowodnione lub dobrze uzasadnione. Na przykład takie, że niektórych problemów nie można rozwiązać za pomocą maszyn cyfrowych, albo takie, że niektórych wielkości matematycznych nie sposób przedstawić za pomocą liczb wymiernych czy obliczalnych, albo takie, że w myśl zasady nieoznaczoności Heisenberga, nie uda się poznać jednocześnie i równie dokładnie położenia cząstki i jej pędu. W moim przekonaniu takie godzące się z ograniczeniami nastawienie chroni naukę przed zbyt nadmiernymi optymistami, którzy chcieliby, na przykład, przeprowadzić kwadraturę koła lub wynaleźć perpetuum mobile.
2) Co to znaczy, że dla każdego problemu istnieje (pewien) algorytm rozwiązania; natomiast nie istnieje uniwersalny algorytm do rozwiązywania wszelkich problemów?
Przy analizie tego pytania wyłaniają się co najmniej dwie kwestie.
Pierwsza: o jaki algorytm chodzi? Skoro wiemy, że istnieją naturalne ograniczenia algorytmów dla maszyn cyfrowych (choćby rozwiązywalność problemu stopu), to musi chodzić także o jakieś inne algorytmy, nie równoważne cyfrowym. Ponieważ nie mamy dobrej klasyfikacji ani teorii takich innych algorytmów, to godząc się na algorytmiczny optymizm, musimy wierzyć, że będziemy w stanie wciąż rozszerzać pojęcie algorytmu — tak żeby kolejne przez nas obmyślane rodzaje algorytmów były w stanie sprostać kolejnym typom problemów nie rozwiązywalnych za pomocą dotychczas poznanych algorytmów.
Kwestia druga: nieskończona liczba „lokalnych” algorytmów? Skoro zakładamy, że nie istnieje uniwersalny algorytm dla wszelkich problemów, to musimy przyjąć, że dla każdego problemu (lub każdej grupy problemów) istnieje jakiś specjalny algorytm, który zasadniczo (kierując się naszym poznawczym optymizmem) jesteśmy w stanie odkryć. Zarówno samych problemów, jak i służących ich rozwiązaniu „lokalnych” algorytmów, musi być przy tym nieskończenie wiele, bo gdyby było ich skończenie wiele, to bylibyśmy w stanie złożyć je w jeden uniwersalny algorytm. Znowu zatem musimy założyć, że poznawczy optymizm dysponuje jakimś „cudownym” wglądem w nieskończoność, to znaczy rośni sobie prawo do rozstrzygania o algorytmicznej rozstrzygalności nieskończonej liczby, nieznanych przecież a priori, problemów.
3) Czy wszelkie algorytmy „lokalne” – algorytmy takiego lub innego typu, niekoniecznie cyfrowe – są realizowalne w praktyce?
Czy na przykład – co podnosili w blogu i prawdopodobnie będą jeszcze podnosić panowie Radek i km – niektóre algorytmy nie są tylko tworami czysto teoretycznymi, które dają wprawdzie jakiś wgląd w problem, ale nie pozwalają go w praktyce rozwiązać. A nie pozwalają dlatego, że potrzebny byłby do tego „kosmicznie długi czas” lub „kosmicznie dużo zasobów” lub „niewyobrażalnie niezawodny nośnik informacji”. Innymi słowy: choć niektóre problemy byłyby rozwiązywalne w zasadzie, nie byłyby rozwiązywalne w praktyce, czyli w dostępnym nam fizycznym świecie. Liczę na rozwiniecie tego tematu przez innych dyskutantów.
4) Na czym miałaby polegać owa zagadkowa intuicja, która pozwala wydobywać z platońskiego świata idei istniejące tam (choć najczęściej jeszcze przez nas nierozpoznane) algorytmy rozwiązań takich czy innych problemów?
Dlaczego owa intuicyjna, i chyba bezpośrednia, umysłowa łączność z (platońskim) uniwersum rozwiązań ma być sprzężona ze zdolnością do algorytmicznego przedstawiania tych rozwiązań? Wszak mogę sobie wyobrazić, że ktoś intuicyjnie znajduje rozwiązanie, poznaje je, rozumie je; lecz nie potrafi przedstawić go algorytmicznie. Potrafi jedynie naprowadzić innych na to rozwiązanie, np. odpowiednimi pytaniami lub specjalnymi zabiegami wywołującymi u innej osoby taki sam „stan umysłu”, jaki wytworzył się u intuicyjnego odkrywcy danego rozwiązania.
Gdyby moja wyobraźnia, w niektórych przynajmniej sytuacjach, nie kłamała, to istniałyby problemy, których rozwiązania moglibyśmy intuicyjnie posiąść, nie moglibyśmy jednak podać odpowiadających im algorytmów.
Tyle tytułem gorących i wstępnych przemyśleń, które – mam nadzieję – pobudzą innych do rozwinięć i/lub polemik.
1) Czy poznawczy sceptycyzm naukowców jest dla nauki groźny?
Pesymizm tak zdefiniowany, jak w komentarzu Pawła Stacewicza, oczywiście, nie jest dla nauki niebezpieczny. Jest niezbędny! Groźne są te rodzaje pesymizmu, które wymieniam w drugim akapicie odcinka A. Przeciw nim się kieruje obecny serial.
2) Co to znaczy, że dla każdego problemu istnieje (pewien) algorytm
rozwiązania; natomiast nie istnieje uniwersalny algorytm do ozwiązywania
wszelkich problemów?
To cenne pytanie, bo pozwala się zdefiniować różnym uczestnikom dyskusji poprzez perspektywę, z jaką podchodzą do w/w problemu. Rozumiem, że dla większości uczestników dyskusji jest to perspektywa informatyczna, ja natomiast wnoszę podejście od strony historii logiki. Jako historyk za klasyczny w postawionej kwestii tekst uważam “Grundzüge der theoretischen Logik” Hilberta i Bernaysa (1928), mianowicie passus o konieczności uzyskania dowodu rozstrzygalności logiki predykatów. To była podstawa Programu Hilberta, którą musiał on zmodyfikować (lecz nie porzucić!) w obliczu wyników Gödla. Wedle Hilberta, algorytm uniwersalny to byłby algorytm, który potrafiłby dowieść o każdej formule logiki predykatów, że jest lub że nie jest prawdą logiki. Wiemy od Turinga, że taki nie istnieje. A skąd by się brała jego uniwersalność? Stąd, że każde obliczenie, jeśli dobrze rozumiem (o ile się mylę, proszę o korektę), jest dowodem jakiegoś twierdzenia arytmetycznego, a dla przeprowadzania dowodów wystarczy arytmetyce logika predykatów. Zaś dzięki arytmetyzacji geometrii, analizy etc. ta uniwersalność rozciąga się na całą matematykę.
Dobrze postawione są znaki zapytania z drugiego akapitu. Oczywiście,
algorytmów lokalnych (to dobre określenie) musi być nieskończenie wiele. Do tego przekonania skłania Twierdzenie Gödla. Ale kto powiedział, że postęp nauki ma być skończony? Tak wierzyli racjonaliści wieku XVII, w tym Kartezjusz i Leibniz, natomiast odejściem od tej wiary cechuje się
racjonalizm współczesny.
3) Czy wszelkie algorytmy “lokalne” – algorytmy takiego lub innego typu,
niekoniecznie cyfrowe – są realizowalne w praktyce?
Oczywiście, że nie. Ale jest sposób na sukcesywne zmniejszanie liczby
algorytmów niewykonalnych praktycznie. Będzie o tym traktował odcinek C i inne. Dzięki temu zapytaniu, wiem, że należy temat potraktować szerzej niż zamierzałem.
4) Na czym miałaby polegać owa zagadkowa intuicja, która pozwala wydobywać z platońskiego świata idei istniejące tam (choć najczęściej jeszcze przez nas nierozpoznane) algorytmy rozwiązań takich czy innych problemów?
To jedna z tych zagadek wszechświata, których może nigdy nie rozwikłamy.
Wprawdzie Wittgenstein orzekł autorytatywnie, że zagadka nie istnieje, ale
jest w tym powiedzeniu brak szacunku dla wszechświata, który nie ma
obowiązku być w swej treści tak ograniczony, żeby cały się mieścił w
ludzkich głowach. Tym natomiast co wiemy, to fakt, że intuicja taka istnieje
i prowadzi do powstawania niesamowicie skutecznych algorytmów. Jakiś Hindus przed ponad tysiącem lat miał intuicję zera i dzięki temu mogła powstać notacja pozycyjna – nieodzowny warunek algorytmów działań arytmetycznych. Kartezjuszowi pewnego wieczoru na kwaterze oficerskiej w Ulm objawiła się przy kominku geometria analityczna. Leibniz miał śmiałą wizję wielkości nieskończenie małych, itd. A wszystko to zaowocowało nieprzebranym zbiorem algorytmów. Dziś, kto ma np. intuicję pewnika wyboru ma większy zasób algorytmów do dyspozycji niż ten, kto z tego pewnika rezygnuje jako nie dość intuicyjnego.
Ponieważ prof. Marciszewski odniósł się w swoim komentarzu obszernie do wszystkich punktów komentarza Pawła Stacewicza, wobec tego ja pozwolę sobie odnieść się tylko do wybranego fragmentu jednego z nich.
W punkcie 3) czytamy:
“Innymi słowy: choć niektóre problemy byłyby rozwiązywalne w zasadzie, nie byłyby rozwiązywalne w praktyce, czyli w dostępnym nam fizycznym świecie. Liczę na rozwiniecie tego tematu przez innych dyskutantów.”
Z chęcią przyjmuję zaproszenie, tym bardziej, że mieliśmy już okazję napomknąć o tej kwestii przy okazji dyskusji tekstów poświęconych zagadnieniu nieobliczalności komputerów.
Otóż wątpliwości moje budzi sama formuła “obliczalne w zasadzie”. Przyjmuję, że formuła ta ma sens wyłącznie wówczas, gdy podstawimy pod nią mniej więcej takie oto zdanie: “obliczalne bez konieczności łamania/zawieszania znanych nam praw fizyki”. Przyjmuję ją z powodu fundamentalnego: każdy proces obliczeniowy jest nieuchronnie procesem fizycznym i co za tym idzie – podlegającym prawom fizyki (w szczególności zaś, choć nie wyłącznie, prawom termodynamiki). Zdanie powyższe uzupełnić możemy zastrzeżeniem typu: “niemniej nie nie jesteśmy w stanie takowych obliczeń dokonać ze względów czysto technicznych/sprzętowych”.
Tyle – i tylko tyle – możemy, jak sądzę, oczekiwać po formule”obliczalne w zasadzie”. Problem polega jednak na tym, że może kryć się pod nią coś dokładnie przeciwnego, tzn. lekceważenie ustaleń przyjętych w korpusie przyrodoznawstwa. A na to, jak sądzę, zgody być nie może – o ile naturalnie chcemy pozostać na gruncie dyskursu naukowego.
Niejako przy okazji pojawia się tu pytanie: czy owo oczekiwanie respektowanie dorobku przyrodoznawstwa winniśmy rozciągnąć także na obszar filozofii? Czy też raczej pozostawić filozofom większy margines swobody w ich rozważaniach (swoboda w dyskutowaniu ustaleń przyrodoznawstwa nie może jednak oznaczać beztroskiego odrzucenia dorobku logiki i matematyki oraz precyzji formułowania myśli!). I nie pytam wcale retorycznie, jeżeli bowiem za dobrą monetę przyjąć dictum Wittgensteina, że filozofia lokuje się obok nauki, to być może zostawienie w tej kwestii wolnej ręki filozofom jest jedyną dostępną opcją.
Za wspomniane wyżej spekulacje lekce sobie ważące naukę mam np. rozważania pomijające czynnik czasu niezbędnego do obliczenia wyniku, założenie o nieograniczonej dostępności zasobów pamięci, czy też nieuwzględnianie aspektów termodynamicznych przekształcania informacji. Oczywiście zawsze można wykonać unik mówiąc, że konstrukcje takowe mają wartość heurystyczną – jak uproszczony model dynamiki newtonowskiej pomijający tarcie czy opór powietrza. Uważam jednak, że analogia taka nie jest trafiona z różnych powodów. Zauważmy tylko, że np. pomijanie współczynnika tarcia nie jest tym samym, co pomijanie jednej z podstawowych wielkości fizycznych – czasu. Rozważanie zachowań obiektów fizycznych TAK JAKBY nie istniało pewne lokalne zjawisko (tarcie) jest płodne poznawczo, natomiast rozważanie procesów fizycznych (obliczeń) TAK JAKBY nie istniała jedna z absolutnie fundamentalnych wielkości fizycznych wprowadza raczej niepotrzebny zamęt.
Być może problemów powyższych udałoby się uniknąć, gdybyśmy nie mieli skłonności do myślenia o informacji po platońsku – jako czymś niezależnym od nośnika, sposobu zapisu i procesu przetwarzania (źródłem problemu byłoby więc może rozciąganie myślenia typu matematycznego – aczasowego i afizykalnego – na obszary wymagające zgoła odmiennego podejścia). Wydaje mi się, że w istocie takie właśnie nieplatońskie podejście do informacji ukonstytuowało się we współczesnym ewolucjonizmie. Informacja biologiczna ma w nim swoją historię, jest zmienna w czasie i przestrzeni, wobec czego nie może być mowy o jakiejkolwiek jej egzystencji niezależnej od nośników chemicznych. Być może zresztą, że takie ujmowanie informacji jest po części efektem znacznie mniejszego udziału matematyków (i owego myślenia typu matematycznego) w tworzeniu oblicza biologii, niż ma to miejsce w przypadku fizyki.
Na tym kończę ten wpis, gdyż odchodzi on coraz dalej od problemów poruszonych przez prof. Marciszewskiego w jego artykule. Więcej uwag na ten temat zamieszczę wkrótce w komentarzu do jego starszego tekstu poświęconego czterem pewnikom informatyzmu.
Pomimo tego, że mój obraz poznania przesłaniają refleksje, których występowanie może kusić do ironizowania, uważam, że moją postawę wobec świata wręcz przepełnia optymizm poznawczy. A gdybym nie uważał, że taka postawa przystoi, natychmiast bym ją porzucił, wszem i wobec głosząc pochwałę solipsyzmu, sceptycyzmu, pesymizmu etc… Napisałem, że taki wybór przystoi a nie że jest ‘racjonalny’ z racji kłopotów definicyjnych -pojęcie z zakresu savoir-vivre zdaje mi się jednak dobrze pasować.
Jestem optymistycznie nastawiony do ‘woli poznania’ właśnie wobec świadomości wątpliwości pewności poznania na jaką chyba jesteśmy skazani.
Z jednej strony mą pewność co do poznania sabotują słowa choćby wspomnianego Kartezjusza przekonywujące, gdy czytam, że w zasadzie można wątpić w istnienie świata zewnętrznego. Niestety nie widzę powodu by wątpiąc w mniemania mieć ufność w wyroki rozumnej intuicji. Cóż jako śmiertelny mam problem z odróżnieniem drogi prawdy i „pewności prawdziwej”- nie wiem czy to za sprawą Mojry złej czy genius’a malignus’a.
Z drugiej strony „nie mogę nigdy uchwycić mego ja bez jakiejś percepcji i nie mogę nigdy postrzegać nic innego niż percepcję.” „I nic w polu widzenia nie pozwala wnosić, że widzi je jakieś oko”. A zatem odrzucenie wątpienia w percepcje świata miast do pewności Ja może prowadzić do wniosku, że „Nie ma podmiotu myśli i wyobrażeń.”
Zatem moje stanowisko zdaje się być bardzo optymistyczne gdyż jestem pełen wiary w to, że istnieje „moje” ‘ja’ i świat poza mną i że mogę go starać się jakkolwiek poznać.
Tak czy owak można powiedzieć, że przyszło nam reagować na manifestujące się bodźce (czy doświadczać swego jestestwa poprzez percepcję innego) tak, że musimy wybierać (nawet trzymając się zasad sceptycznego lub fenomenologicznego epoche) w sytuacji (co najwyżej) „niepełnej wiedzy o rozstrzyganym”- taka sytuacja podpada pod dziedzinę teorii gier
(niezależnie od tego ile poziomów mistyfikacji stoi za tym co nam się jawi, czy odzwierciedlamy logiczną istotę czy jedynie przewidujemy co w kartach skrywają otaczające nas symulakra)
W końcu dotarłem do matematyki, ale zanim bezpośrednio o niej, najpierw o tym czego nieodzowną część matematyka stanowi, a co jest sposobem na najtrafniejsze rozpoznanie reguł gry właśnie dzięki temu, że stanowi najlepszą dostępną metodę poznania. Zatem o tem metodologii nauk ścisłych, wobec której deklaruję swój optymizm poznawczy- wciąż (jak zwykle) obok tekstu Profesora.
Z czasem to w/w najskuteczniejsze dostępne metody modelowania postrzeżeń świata stały się dla mnie bardziej wiarygodne- jako trafniejsze w predykcji otaczającej rzeczywistości- nie tylko od własnych mniemań czy odczuć ale i od pierwszej intuicji czy przemyśleń pozbawionych oparcia o wyniki uzyskane przez nauki szczegółowe. Doszło do tego, że uważam, że matematyczno-empiryczne metody badania rzeczywistości dostarczają obrazu ludzkiej świadomości pozwalającej na trafniejsze jej modelowanie, niż moje własne doświadczenia z wglądem w wewnętrzną perspektywę jednego z egzemplarzy takiej świadomości.
Jestem więc ogromnie optymistycznie nastawiony wobec osiągnięć współczesnej nauki i pochodu Poznania z nią związanego.
Mojego optymizmu co do woli poznawania nie psuje nawet to, że uważam, że wobec sposobu w jaki dostępna jest nam rzeczywistość uzasadniony jest pogląd, iż nauki opisują jedynie następstwa fenomenów- teorie naukowe mówią o użytecznych fikcjach i modelach sprzyjających zrozumieniu, pozwalając przewidywać przyszłe fenomeny.
Także trudności w zdefiniowaniu tego co mieści się w metodologii nauki, czy spory o przedstawienie modelu rozwoju nauki nie zmieniają praktycznego sukcesu o bezprecedensowej skali.
W końcu fizyka jest nauką o pomiarach i sukces jej zmatematyzowanych modelów w predykcji zjawisk w rzeczywistości jest uzasadnieniem dla optymizmu wobec poznania (i postępu wiedzy) ścisłych nauk.
Jeśli w świecie istnieje coś co nie odzwierciedla się w obrazie matematyczno empirycznej metody badania świata (której struktury matematyczno-modelowe i ich wzajemne relacje korespondują z wynikami obserwacji) to pomiarowy wymiar tego nieuchwytnego elementu maleje wraz z postępem trafności nauki. A na poziomie złożoności dostępnym naszej naoczności wymiar ten zdaje się być w ogóle do pominięcia.
Nie pozwalam sobie na odrzucenie jako bezpodstawnych sceptycznych argumentów, nawet tych bardzo radykalnych. Sceptycyzm jest jednak bronią nie tyle obosieczną co masowego rażenia. Biorę więc w nawias sceptycyzm tak jak biorę w nawias pewność tożsamości modeli nauki z rzeczywistością. Wiarę w ostateczne poznanie istoty nie biorę w nawias- bo sama idea poznania istoty leżącej u źródła oddziaływan/ wzajemnych pomiarów bytów/manifestacji rzeczywistości w świecie wydaje mi się chybiona.
Mój optymizm poznawczy doprowadził mnie do porzucenia wiary w docieczenie istoty, substancji gdyż nie ma we mnie wiary w intelligibilny wgląd czy potęgę transcedującej poza procedowanie fizycznych struktur (które można interpretować jako przetwarzanie informacji).
To jak byty w rzeczywistości przedstawiają sobie wzajemnie swe własności i własne istnienie, sposób w jaki to czynią- w oddziaływaniach, oraz to, że taki sposób budowania wszelkich struktur w rzeczywistości najtrafniej możemy ująć w matematycznych formułach sprawia, że to do matematyczno-empirycznej metody poznania jestem najbardziej optymistycznie nastawiony.
Klub Obliczeniowych sceptyków.
Jako wcielony do KOS powinienem pisać o granicy poznania- granicę poznania w obliczeniowym sensie łatwo zobaczyć gdy weźmie się pod uwagę po co właściwie poszukujemy strategii w w/w grze. Jedną z odpowiedzi (poza zaspokojeniem ciekawości) jest to, że dążymy do uzyskania metody trafnego przewidywania przyszłości (konsekwencji decyzji w grze).
W wypadku modelu rzeczywistości, tak jak go nam rysują nauki ścisłe ,wydaje się, że by symulować przyszłe stany komputera-wszechświata trzeba by dysponować jego idealnym modelem.
Tej granicy raczej nie da się przeskoczyć. Jednak czy niemożność poznania wszystkiego powoduje konieczność porzucenia prób poznania czegokolwiek?
Smutne jest raczej co innego- nie nieskończenie złożone zagadki, których rozwiązania skrywają się za horyzontem czasu, potencjalnie (czy praktycznie) nieobliczalne problemy, a nawet nie niedostępne mechanizmom empirycznego poznania obszary osobliwości czy nieoznaczone chaotyczne niejednoznaczności u podstawy rzeczywistości (nawet jeśli dają powody by wątpić w uniwersalność matematyczno-logicznych praw)- nic z tego nie stanowi powodu do tego by odrzucić próby poznania. Te granice oglądu rzeczywistości, nawet jeśli ostateczne, nie stanowią dla mnie wystarczającego powodu by porzucić próby dania wyrazu temu co ma być nieodzownym atrybutem istot rozumnych.
Sęk tkwi, w tym, że nie potrzebuje problemów doprowadzających na kres możliwości superkomputery by doświadczyć kresu możliwości poznania. Matematyczne macki pozwalają mi sięgnąć z pomocą komputerów tam gdzie sam nie mogę dotrzeć, ale wymiar tego sukcesu jest jakościowo inny- nie jest to ‘jakość poznania’ która pozwalałoby mi użyć słowa ‘zrozumiałem’.
Prosty przykład: obserwując zmieniające się dwuwymiarowe kontury możemy łatwo rozpoznać, że są one wynikiem wykonywania kolejnych przekrojów przez obracającą się trójwymiarową bryłę. Komputer poda nam wynik i wykreśli podobne przekroje zgodnie z naszymi wyobrażeniami. Raczej nie będziemy musieli czekać do końca świata na to aż komputer poda nam wynik n-wymiarowego przekroju przez m-wymiarowe bryły obracające się w sposób dla nas nie do wyobrażenia (co więcej i ów wynik- równania, jeśli nie będzie to 2- lub 3-wymiarowa obiekt mogą raczej wymykać się naszej przepotężnej rozumności). Intuicja matematyczna nie pozwoli narysować kształtu, który poda komputer, umysł najinteligentniejszej znanej nam istoty (być może najinteligentniejszej we wszechświecie) mimo predystynowania do miana rozumu zdolnego do abstrakcyjnego myślenia nie pozwoli nawet zwyczajnie wyobrazić sobie takiej wielowymiarowej bryły (a wystarczy przecież właśnie abstrahować od kategorii przestrzeni podyktowanych naocznością). Zwyczajnie brak mocy obliczeniowej temu naszemu obdarzonemu twórczą intuicją rozumowi.
Potęga intuicji i abstrakcyjnego myślenia zdaje się ułudą gdy ma być użyta do opanowania problemów nie ze skali złożoności dostępnego naoczności i zmysłowości. To ograniczenie dla intuicyjnego roziązywania problemów. Trafność intuicji nie obejmuje klasy problemów, do których rozwiązywania świadomie bądź nie nie był używany umysł. Oczywiście rzadko stawiamy sobie takie zagadki. Ale gdy już ma to miejsce to bywa „zabawnie”. Największe umysły klną się na stwórce że gra on z nimi w kości.
Oczywiście nieliniowe równoległe przetwarzanie w cerebralnych obszarach mózgu (tam gdzie nie ma wglądu kognitywne ja) może dać wynik w intuicyjnym przeświadczeniu docierającemu do naszej świadomości. Gdyby moc obliczeniowa nieświadomości nie była większa niż tej części mózgu z „postawionym pamięciożernym systemem operacyjnym”tj. świadomością- instynktowne odruchy nie miałyby pierwszeństwa nad racjonalną decyzją. Problem jednak z oceną tych podszeptów intuicji. Nie przeczę, że mogą one naprowadzić JA na rozwiązanie tak że nawet możliwe staje się jego eleganckie sformalizowanie w algorytmie (wykorzystującym bądź nie nowe „chwyty”). Nie widzę jednak powodu by widzieć tu coś transcendentalnego w stosunku do złożoności mechanizmów przetwarzania w fizycznych strukturach mózgu.
Osobny problem to ten, że dopuki nie znajdziemy sposobu weryfikacji trafności intuicyjnego przedstawienia, nie wiemy czy wyrok intuicji zapadł ze względu na to, że takie wielotorowe przetwarzanie uchwyciło prawidła których my świadomie nie zdołaliśmy, czy to konsekwencja mechanizmu powstrzymania przed zapętleniem (niebezpieczne z punktu widzenia przetrwania), czy instynktownego podążania za analogią, lub wyraz mechanizmu nagrody który prze do podobnej decyzji jak w przeszłości podjętej wobec podobnych okoliczności mimo, że były to okoliczności „niemerytoryczne” dla problemu. Jeśli wcześniej n-razy rozmyślałem nad matematycznym problemem mogę wytworzyć trafną intuicję (wytresować swą sieć neuronową)- to wszystko.
W związku z taką pesymistyczną wizją własnej niemocy poznawczej tym niecierpliwiej czekam na argumenty za tym, że to co mi doskwiera to zwykła głupota. Pocieszeniem dla mnie byłoby bowiem ,gdyby okazało się że inni mocą twórczej intuicji są zdolni do wyobrażenia sobie dowolnych abstrakcyjnych rozmaitości.
Wesołych Świąt.