{"id":7020,"date":"2013-12-19T22:04:43","date_gmt":"2013-12-19T20:04:43","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.marciszewski.eu\/?page_id=7020"},"modified":"2024-07-06T14:27:46","modified_gmt":"2024-07-06T12:27:46","slug":"czemu-aleph","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/marciszewski.eu\/?page_id=7020","title":{"rendered":"Czemu Aleph?"},"content":{"rendered":"

Rysunek obok to pierwsza litera alfabetu hebrajskiego, czytana z \u0142aci\u0144ska „aleph” (po polsku „alef”), kt\u00f3rej odpowiednikiem jest w grece „alpha” (oba znaki wywodz\u0105 si\u0119 z pisma fenickiego). Jej karier\u0119 w matematyce zainicjowa\u0142 matematyczny geniusz Georga Cantora (1845-1918). Wiele mo\u017cna si\u0119 o jej tre\u015bci dowiedzie\u0107 z Wikipedii<\/a>, tu za\u015b wystarczy wspomnie\u0107 dwa fakty, znacz\u0105ce dla naszej kawiarni; przypomnie\u0107 nie zawadzi, cho\u0107 jeden z nich powinien by\u0107 znany z licealnego kursu matematyki, a drugi nawet z przedszkola.<\/p>\n

1. Fakt „przedszkolny”: zbi\u00f3r palc\u00f3w u r\u0105k, nazwijmy go R, jest (u statystycznego przedszkolaka) r\u00f3wnoliczny<\/b> ze zbiorem palc\u00f3w u n\u00f3g — N. To znaczy: ka\u017cdemu elementowi z R jest przyporz\u0105dkowany dok\u0142adnie jeden element z N, i odwrotnie.<\/p>\n

2. Fakt „licealny”: Gdy zbi\u00f3r Z ma n<\/i> element\u00f3w, to zbi\u00f3r jego podzbior\u00f3w, zwany pot\u0119gowym<\/b>, ma tych podzbior\u00f3w 2n<\/sup><\/i>. Operujemy w matematyce (cho\u0107 mo\u017ce nie w j\u0119zyku potocznym) tak uog\u00f3lnionym poj\u0119ciem zbioru, \u017ce obejmujemy nim r\u00f3wnie\u017c zbiory jednoelementowe oraz pusty; brany pod uwag\u0119 w danym rozwa\u017caniu zbi\u00f3r Z jest tak\u017ce w\u0142asnym podzbiorem.<\/p>\n

Np. niech Z sk\u0142ada si\u0119 z matki (m), ojca (o) i dziecka (d). Podzbiorami Z-ta s\u0105 wtedy nast\u0119puj\u0105ce zbiory oznaczane klamrami):<\/p>\n

0<\/b> (zbi\u00f3r pusty), {o}, {m}, {d}, {o,m}, {m,d}, {o,d}, {m,o,d}.I tak doliczymy si\u0119 o\u015bmiu podzbior\u00f3w zbioru trzyelementowego czyli 23<\/sup>.<\/p>\n

Jak wida\u0107, podzbior\u00f3w Z-ta jest wi\u0119cej (i to poka\u017anie wi\u0119cej) ni\u017c jego element\u00f3w. Wraz z tym spostrze\u017ceniem jeste\u015bmy ju\u017c blisko idei alepha. Udowodni\u0142 bowiem Cantor, \u017ce owo twierdzenie o tak wielkiej ilo\u015bciowej przewadze liczby podzbior\u00f3w nad liczb\u0105 element\u00f3w odnosi si\u0119 tak\u017ce do zbior\u00f3w niesko\u0144czonych. A z tego wynika zdumiewaj\u0105cy wniosek, \u017ce mamy niesko\u0144czenie wiele coraz to liczniejszych niesko\u0144czono\u015bci.<\/p>\n

\u017beby odda\u0107 to przejrzy\u015bcie, trzeba nam symboli na ich oznaczanie. Za Cantorem przyjmujemy symbolik\u0119, w kt\u00f3rej kolejne coraz to liczniejsze niesko\u0144czono\u015bci oznaczane s\u0105 liter\u0105 aleph z kolejnym subskryptami branymi ze zbioru liczb naturalnych \"\"0<\/sub>, \"\"1<\/sub>, …, \"\"n<\/sub>, …<\/p>\n

I tak, najmniejszy zbi\u00f3r niesko\u0144czony, liczb naturalnych (tj. ca\u0142kowitych dodatnich) oznaczamy przez \"\"0<\/sub>, jego zbi\u00f3r pot\u0119gowy to \"\"1<\/sub>, nad tym za\u015b g\u00f3ruje liczno\u015bci\u0105 jego w\u0142asny zbi\u00f3r pot\u0119gowy \"\"2<\/sub>, i tak dalej, po niesko\u0144czono\u015b\u0107.<\/p>\n

Tak wi\u0119c symbol \"\" bez subskryptu (symbolu w dolnej frakcji) oznacza dowolny zbi\u00f3r niesko\u0144czony, a subskryptem oznaczamy jego pozycj\u0119 w owej niesko\u0144czonej drabinie zbior\u00f3w nieko\u0144czonych. Dla licznych rozwa\u017ca\u0144 w domenie calculemus.org<\/i>, a wi\u0119c i dla dyskuji czy pogwarek w Cafe pod Alephem<\/i>, fundamentalne znaczenie ma nast\u0119puj\u0105ca r\u00f3wno\u015b\u0107 zwana hipotez\u0105 kontinuum:<\/p>\n

2\"\"0<\/sub><\/sup> = \"\"1<\/sub> = zbi\u00f3r liczb rzeczywistych.<\/p>\n

W codziennym \u017cyciu matematyki i nauk naj\u015bci\u015blej z ni\u0105 powi\u0105zanych, do kt\u00f3rych nale\u017cy filozofia, funkcjonuj\u0105 dwa alefy: zero (moc zbioru liczb ca\u0142kowitych, a tak\u017ce u\u0142amkowych) oraz jeden (moc zbioru liczb rzeczywistych). Wy\u017csze s\u0105 przedmiotem wyrafinowanych docieka\u0144 specjalist\u00f3w od teorii mnogo\u015bci. Te dwa wyj\u015bciowe otwieraj\u0105 now\u0105 epok\u0119 w dociekaniach filozoficznych i zwi\u0105zanych z nimi \u015bwiatopogl\u0105dach.<\/p>\n

Filozofowie wszelkich orientacji, ju\u017c od greckiego zarania, czuli si\u0119 za pan brat z niesko\u0144czono\u015bci\u0105. Zenon m\u00f3wi\u0142 o niesko\u0144czonej podzielno\u015bci materii, a rozwin\u0119li t\u0119 my\u015bl filozofowie jo\u0144scy; Arystoteles i inni przyjmowali niesko\u0144czone trwanie \u015bwiata, atomi\u015bci niesko\u0144czon\u0105 przestrze\u0144, niesko\u0144czony czas i niesko\u0144czenie wiele atom\u00f3w; filozofowie chrze\u015bcija\u0144scy wielbili na wszelkie sposoby niesko\u0144czono\u015b\u0107 Boga, a heretyk Giordano Bruno — niesko\u0144czono\u015b\u0107 Wszech\u015bwiata; Kartezjusz si\u0119 zdumiewa\u0142 nad pochodzeniem idei niesko\u0144czono\u015bci w ludzkim umy\u015ble, a Leibniz mia\u0142 \u015bmia\u0142e wizje wszech\u015bwiata wype\u0142nionego niesko\u0144czon\u0105 ilo\u015bci\u0105 indywidu\u00f3w, oraz niesko\u0144czonej ilo\u015bci wszech\u015bwiat\u00f3w mo\u017cliwych. I tak dalej.<\/p>\n

Po odkryciu niesko\u0144czonej drabiny niesko\u0144czono\u015bci filozofowie maj\u0105 \u017cywot ciekawszy, rokuj\u0105cy wi\u0119cej zrozumie\u0144, ale i trudniejszy ni\u017c dot\u0105d. Mog\u0105 teraz dok\u0142adniej artyku\u0142owa\u0107 swe problemy, na przyk\u0142ad: czy przestrze\u0144 i czas, cechuj\u0105 si\u0119 niesko\u0144czono\u015bci\u0105 kontinuum, czyli ci\u0105g\u0142o\u015bci\u0105, jak si\u0119 powszechnie uwa\u017ca, czy mo\u017ce maj\u0105 natur\u0119 dyskretn\u0105, a wi\u0119c co najwy\u017cej moc aleph zero, jak s\u0105dz\u0105 niekt\u00f3rzy komentatorzy teorii kwant\u00f3w? Z drugiej jednak strony, adepci filozofii nie unikn\u0105 pyta\u0144, jak\u0105 maj\u0105 na my\u015bli niesko\u0144czono\u015b\u0107, gdy pos\u0142uguj\u0105 si\u0119 tym poj\u0119ciem. \u0141atwo np. zak\u0142opota\u0107 teolog\u00f3w, gdy ich zapyta\u0107: jaki rodzaj niesko\u0144czono\u015bci cechuje Boga? Wprawdzie sam Cantor mia\u0142 na to oryginaln\u0105 i daj\u0105c\u0105 do my\u015blenia odpowied\u017a, ale trudno spotka\u0107 filozofa czy teologa, kt\u00f3ry by o tym s\u0142ysza\u0142, a c\u00f3\u017c dopiero, \u017ceby mia\u0142 do tej propozycji przemy\u015blany stosunek.<\/p>\n

Tak wi\u0119c, sama nazwa naszego miejsca podpowiada donios\u0142y i ekscytuj\u0105cy temat do rozm\u00f3w. A z nim wi\u0105\u017c\u0105 si\u0119 inne tematy, donios\u0142e tak dla filozofii, jak i dla infomatyki, kt\u00f3ra swe kluczowe poj\u0119cia algorytmu i obliczalno\u015bci definiuje przez odniesienia do aleph\u00f3w.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Rysunek obok to pierwsza litera alfabetu hebrajskiego, czytana z \u0142aci\u0144ska „aleph” (po polsku „alef”), kt\u00f3rej odpowiednikiem jest w grece „alpha” (oba znaki wywodz\u0105 si\u0119 z pisma fenickiego). Jej karier\u0119 w matematyce zainicjowa\u0142 matematyczny geniusz Georga Cantora (1845-1918). Wiele mo\u017cna si\u0119 … Czytaj dalej →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-7020","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/7020","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=7020"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/7020\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":11037,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/7020\/revisions\/11037"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=7020"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}