Pomys\u0142, \u017ceby w filozofii matematyki i filozofii informatyki dyskutowa\u0107 o nieistnieniu liczb jest\u00a0 inspiruj\u0105cy. Pojawi\u0142 si\u0119 on we wpisie\u00a0 25.XII.2018 pt. „O nieistnieniu liczb w informatyce” podpisanym „Jarek”:\u00a0 http:\/\/marciszewski.eu\/?p=10032<\/a><\/p>\n My\u015blowym punktem wyj\u015bcia jest\u00a0 dla Jarka s\u0142ynne zdanie Leopolda Kroneckera (1823-1891):\u00a0 Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk<\/em> (Mi\u0142y B\u00f3g stworzy\u0142 liczby ca\u0142kowite, wszystkie inne s\u0105 dzie\u0142em ludzkim). T\u0119 sentencj\u0119 przytacza Jarek, zmieniaj\u0105c tylko zwrot „liczby ca\u0142kowite” na „liczby naturalne”, z po\u017cytkiem dla obecnych rozwa\u017ca\u0144. Skupi\u0105 si\u0119 one bowiem na PA\u00a0 (Arytmetyce Peano), a wi\u0119c na liczbach naturalnych (czyli ca\u0142kowitych dodatnich z uwzgl\u0119dnieniem zera).<\/p>\n Z liczbami naturalnymi zwi\u0105zany jest te\u017c fakt, \u017ce\u00a0 w\u0142a\u015bnie zaistnia\u0142y Nowy Rok numerowany jest liczb\u0105 2019, a taka numeracja bierze si\u0119 z naszej potrzeby widzenia \u015bwiata jako struktury dyskretnej. Kapitalnie uj\u0105\u0142 to Boy.<\/p>\n By unikn\u0105\u0107 ambarasu Na pomys\u0142 udyskretnienia czasu wpadli ludzie. A co ma do tego dobry B\u00f3g przywo\u0142any przez Kroneckera? Istotnie si\u0119 do tego przyczyni\u0142, ka\u017c\u0105c ziemi okr\u0105\u017ca\u0107 bez przerwy s\u0142o\u0144ce, co podsun\u0119\u0142o ludziom dowcipny pomys\u0142, \u017ceby z jednego takiego okr\u0105\u017cenia uczyni\u0107 miar\u0119 czasu. A dalej posz\u0142o \u0142atwo, bo za spraw\u0105 tego\u017c Astronomicznego Wynalazcy mamy noce i dnie, a dzi\u0119ki Euklidesowi, Peano etc. mamy arytmetyk\u0119 z dzieleniem (czego nie ma np.arytmetyka Presburgera), tak wi\u0119c podzielono liczb\u0119 dni roku, \u017ceby wysz\u0142y zgrabnie „miesi\u0105ce i tygodnie”. Za dzielenie p\u0142acimy nierozstrzygalno\u015bci\u0105 arytmetyki (czym nie musia\u0142 martwi\u0107 si\u0119 Presburger), ale to drobiazg w por\u00f3wnaniu z wygod\u0105 poruszania si\u0119 w tak u\u0142adzonym czasie.<\/p>\n Dzi\u0119ki refleksji nad kalendarzem i astronomi\u0105, mo\u017cemy nada\u0107 sentencji Kroneckera uchwytne znaczenie: liczby naturalne istniej\u0105 przynajmniej w ten spos\u00f3b, \u017ce s\u0105 niezb\u0119dne do opisu \u015bwiata,\u00a0 np.\u00a0 do mierzenia up\u0142ywu czasu. Nie zmusza to nas do pogl\u0105du \u017ce istniej\u0105 w jeszcze innym sensie, np. na spos\u00f3b plato\u0144ski. Mog\u0105 krytycy Platona ubolewa\u0107 nad fantastyk\u0105 wiary w istnienie liczb, ale to nie zmieni faktu, \u017ce b\u0119dziemy si\u0119 nimi pos\u0142ugiwa\u0107, jak gdyby one w najlepsze istnia\u0142y. Pragmaty\u015bcie to wystarczy.<\/p>\n Zauwa\u017cmy jednak, \u017ce segmentowanie czasu za pomoc\u0105 liczb naturalnych jest pomys\u0142em ludzkim, a tak naprawd\u0119, to owe segmenty sk\u0142adaj\u0105 si\u0119 z punkt\u00f3w. Wprawdzie ignoruje to sekundnik zegara (wed\u0142ug niego sekunda jest odcinkiem czasu), ale nie wszystko w przyrodzie pozwala ignorowa\u0107 punktowo\u015b\u0107. Nie pozwala m.in. mechanika, gdzie przyspieszenie jest pochodn\u0105 pr\u0119dko\u015bci wzgl\u0119dem czasu rozumianego jako zbi\u00f3r punkt\u00f3w, a te s\u0105 reprezentowane arytmetycznie przez liczby rzeczywiste. Mamy wi\u0119c dobry pow\u00f3d\u00a0 do zachowywania\u00a0 si\u0119 w spos\u00f3b analogiczny jak w przypadku liczb naturalnych. Wed\u0142ug pragmatysty usprawiedliwia to praktyk\u0119 stosowania kwantyfikatora egzystencjalnego do zmiennych,\u00a0 kt\u00f3re\u00a0 si\u0119 odnosz\u0105 do liczb rzeczywistych. Je\u015bli nominalista si\u0119 z tym nie zgadza, to niech sk\u0142ada skarg\u0119 do Trybuna\u0142u Rzeczywisto\u015bci.<\/p>\n *** 9 stycznia 2019 ***<\/span><\/p>\n W miejscu do gwiazdek przerwa\u0142em 1-go stycznia pisanie, zapowiadaj\u0105c, \u017ce ci\u0105g dalszy nast\u0105pi. \u017beby to zrealizowa\u0107, uzna\u0142em, \u017ce trzeba w poszukiwaniu argument\u00f3w staranniej ni\u017c dot\u0105d wnikn\u0105\u0107 w opublikowane wpisy i komentarze.\u00a0 Zaczynam od\u00a0 wpisu rejestruj\u0105cego wymian\u0119 zda\u0144 mi\u0119dzy SP i Harrym, kt\u00f3ra zainicjowa\u0142a dalsz\u0105 dyskusj\u0119. Otwiera j\u0105 g\u0142os Paw\u0142a Stacewicza.<\/p>\n [PS] „W mojej opinii, zar\u00f3wno poj\u0119cie liczby, jak i pokrewne mu poj\u0119cie kodowania liczbowego (tj. zapisywania danych przetwarzanych przez komputery za pomoc\u0105 liczb), jest w metodologii i filozofii informatyki niezb\u0119dne.”<\/p>\n Zdziwi\u0142o mnie troch\u0119 zastrze\u017cenie „w mojej opinii” dotycz\u0105ce przecie\u017c pogl\u0105du wielce umiarkowanego („niezb\u0119dne”, a nie np. „fundamentalne”), kt\u00f3rego oczywisto\u015b\u0107 le\u017cy jak na d\u0142oni. Sk\u0105d mia\u0142aby si\u0119 bra\u0107 r\u00f3\u017cnica opinii? A jednak… Zabra\u0142 g\u0142os Harry,\u00a0 wyznaj\u0105c, \u017ce owa opinia „nie bardzo go przekonuje”. Pos\u0142uchajmy. Mimo u\u017cycia s\u0142owa „bowiem”, passus ten , z\u0142o\u017cony tylko z pyta\u0144, nie daje jeszcze [H] „Nie do ko\u0144ca mnie zrozumia\u0142e\u015b. Chodzi mi o matematyczno\u015b\u0107 w w\u0105skim <\/span>sensie, zwi\u0105zanym z teori\u0105 liczb. W tym sensie maszyny Turinga i algorytmy <\/span>nie s\u0105 obiektami matematycznymi. S\u0105 w\u0142a\u015bnie obiektami typowo <\/span>informatycznymi, w opisie kt\u00f3rych nie pos\u0142ugujemy si\u0119 (lub ostro\u017cniej: nie <\/span>musimy pos\u0142ugiwa\u0107 si\u0119) 'j\u0119zykiem liczb’<\/span>.”<\/p>\n Nerw argumentacji jest w ostatnim zdaniu.\u00a0 Zdaje si\u0119 ze\u0144 wynika\u0107,\u00a0 \u017ce\u00a0 mo\u017cliwy jest\u00a0 opis maszyny Turinga,\u00a0 w kt\u00f3rym\u00a0 nie wyst\u0105pi\u0142yby ani razu s\u0142owa\u00a0 „liczba” i\u00a0 funkcja”,\u00a0 ani jakie\u015b konkretne liczby (a jest ich de facto mn\u00f3stwo, np. numery kodowe poszczeg\u00f3lnych maszyn Turinga, niesko\u0144czone ci\u0105gi zer i jedynek w\u00a0 argumencie przek\u0105tniowym etc.). Takie dokonanie — pokazanie zb\u0119dno\u015bci\u00a0 arytmetyki w informatyce — by\u0142oby rewelacj\u0105 na miar\u0119 osi\u0105gni\u0119\u0107 samego Turinga.<\/p>\n Powy\u017csza wypowied\u017a\u00a0 tym bardziej godna jest uwagi, \u017ce powo\u0142uje si\u0119 na pewien wynik, kt\u00f3ry Harry zdaje si\u0119 uwa\u017ca\u0107 za sukces por\u00f3wnywalny z tym,\u00a0 jakim by\u0142oby owo sparafrazowanie wynik\u00f3w Turinga bez u\u017cywania s\u0142owa „liczba” i nazw\u00a0 konkretnych liczb. Tym przywo\u0142anym przeze\u0144 wynikiem jest A.Grzegorczyka dow\u00f3d nierozstrzygalno\u015bci zainicjowanej przez Tarskiego teorii konkatenacji, mianowicie dow\u00f3d, kt\u00f3ry si\u0119 obywa bez aparatu poj\u0119ciowego arytmetyki („Undecidability\u00a0 without arithmetization” w „Studia Logica”, 1(79):163?230, 2005).<\/p>\n Ten punkt argumentacji\u00a0 stanowi istotny wk\u0142ad do dyskusji. Wskazuje bowiem\u00a0 pewien wzorzec pomocny w szukaniu drogi, na jakiej nale\u017ca\u0142oby broni\u0107 pogl\u0105du, \u017ce informatyka nie potrzebuje poj\u0119cia liczby i, w og\u00f3lno\u015bci, arytmetyki. Mianowicie, nale\u017ca\u0142oby zastosowa\u0107 teori\u0119 konkatenacji, lub jak\u0105\u015b inn\u0105 te\u017c nie pos\u0142uguj\u0105c\u0105 si\u0119 poj\u0119ciem liczby, \u017ceby powt\u00f3rzy\u0107 na innej drodze wynik Turinga, to jest: da\u0107 definicj\u0119 funkcji obliczalnej i wykaza\u0107 istnienie liczb nieobliczalnych, ale bez m\u00f3wienia o liczbach.<\/p>\n Nim kto\u015b si\u0119 podejmie takiego zadania, niechby jako zadatek da\u0142 kr\u00f3tk\u0105 zapowied\u017a tego,\u00a0 jak zamierza odda\u0107 tytu\u0142 prze\u0142omowego studium Turinga (1936) „ON COMPUTABLE NUMBERS, WITH AN APPLICATION TO THE ENTSCHEIDUNGSPROBLEM” bez u\u017cycia s\u0142owa „number”.<\/p>\n Dzi\u0119ki powy\u017cszej sugestii, mog\u0119 z czystym sumieniem zaprzesta\u0107 udzia\u0142u w tej\u00a0 \u017cywej dyskusji (3 wpisy i 43 komentarze). To znaczy, mog\u0119 z pozycji aktywnej przej\u015b\u0107 do „spocznij”. I spokojnie czeka\u0107, a\u017c Harry lub inny obro\u0144ca tezy o zb\u0119dno\u015bci poj\u0119cia liczby w informatyce opublikuje prac\u0119, kt\u00f3ra (powtarzam): dostarczy definicji funkcji obliczalnej oraz dowodu istnienia liczb nieobliczalnych, bez pos\u0142ugiwania si\u0119 aparatem poj\u0119ciowym arytmetyki.<\/p>\n O ile to si\u0119 komu\u015b uda, wr\u00f3c\u0119 do obecnej dyskusji. Ale ju\u017c po to tylko, \u017ceby samokrytycznie wyzna\u0107, \u017ce b\u0142\u0105dzi\u0142em, uwa\u017caj\u0105c takie przedsi\u0119wzi\u0119cie za nierealne.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Pomys\u0142, \u017ceby w filozofii matematyki i filozofii informatyki dyskutowa\u0107 o nieistnieniu liczb jest\u00a0 inspiruj\u0105cy. Pojawi\u0142 si\u0119 on we wpisie\u00a0 25.XII.2018 pt. „O nieistnieniu liczb w informatyce” podpisanym „Jarek”:\u00a0 http:\/\/marciszewski.eu\/?p=10032 My\u015blowym punktem wyj\u015bcia jest\u00a0 dla Jarka s\u0142ynne zdanie Leopolda Kroneckera (1823-1891):\u00a0 … Czytaj dalej
\nwzi\u0119to rok za miar\u0119 czasu,
\ndziel\u0105c go bardzo wygodnie
\nma miesi\u0105ce i tygodnie.<\/p>\n
\n[H] „Ten sam problem pojawia si\u0119 bowiem na poziomie metateoretycznym: <\/span>czy na pewno reprezentacja matematyczna jest niezb\u0119dna w informatyce<\/span> teoretycznej? \u00a0 Je\u015bli tak, to dlaczego?<\/span>”<\/p>\n
\nuzasadnienia.\u00a0 Pojawia si\u0119 ono po replice PS-a, kt\u00f3ra przywo\u0142uje takie oczywisto\u015bci, jak nieodzowno\u015b\u0107 w informatyce koncepcji maszyny Turinga, tak\u017ce nieodzowno\u015b\u0107 arytmetycznego poj\u0119cia funkcji rekurencyjnej, a tak\u017ce rola niesko\u0144czonych\u00a0 reprezentacji liczb nieobliczalnych. Harry odpowiada.<\/p>\n