{"id":1820,"date":"2012-04-20T22:07:44","date_gmt":"2012-04-20T22:07:44","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.marciszewski.eu\/?p=1820"},"modified":"2025-09-23T11:23:52","modified_gmt":"2025-09-23T09:23:52","slug":"prawda-a-sprzecznosc-w-matematyce","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/marciszewski.eu\/?p=1820","title":{"rendered":"Prawdziwo\u015b\u0107  a niesprzeczno\u015b\u0107"},"content":{"rendered":"<p>W dyskusji nad referatem p. Tomasza Jordana &#8222;O nieporozumieniach zwi\u0105zanych z twierdzeniem G\u00f6dla&#8221;\u00a0 (Seminarium logiczne w UKSW, 20.IV.2012) &#8212; kt\u00f3rej uczestnicy byli zgodni co do tego, \u017ce przekonanie o niesprzeczno\u015bci arytmetyki pierwszego rz\u0119du jest dobrze umotywowane faktem nie pojawienia si\u0119 sprzeczno\u015bci w toku wielowiekowego uprawiania arytmetyki &#8212; postawiono pytanie: <em>czy niesprzeczno\u015b\u0107 aksjomat\u00f3w arytmetyki\u00a0 wystarcza do\u00a0 uznania ich za prawdziwe?<\/em><\/p>\n<p>Nie odpowiada\u0142bym z g\u00f3ry przecz\u0105co (jak to by\u0142o w tej dyskusji), \u00a0 bo co\u015b daje do my\u015blenia fakt,\u00a0 \u017ce zdanie koniecznie prawdziwe definiuje si\u0119 jako zdanie,\u00a0 k\u0167\u00f3rego zaprzeczenie implikuje sprzeczno\u015b\u0107. \u00a0 Zg\u00f3d\u017amy si\u0119, \u017ce <em>zdanie koniecznie prawdziwe<\/em> to takie, kt\u00f3rego\u00a0 tre\u015b\u0107 dysponuje je do tego, by odnosi\u0142o si\u0119 do ka\u017cdej dziedziny czyli\u00a0 jest\u00a0 &#8212; nazwijmy je tak &#8212; (1) <em>uniwersalne<\/em>, a zarazem\u00a0 jest ono (2) <em>prawdziwe.<\/em><\/p>\n<p>Uniwersalne w takim rozumieniu s\u0105 nie tylko tautologie logiczne, lecz tak\u017ce prawa arytmetyki (liczb naturalnych), bo liczy\u0107 mo\u017cna wszystko:\u00a0 kwarki,\u00a0 gwiazdy,\u00a0 zbiory, punkty, liczby, anio\u0142y (o tym ostatnim przekonywa\u0142 np. Dionizy Areopagita).\u00a0 Sama uniwersalno\u015b\u0107 nie implikuje\u00a0 prawdziwo\u015bci,\u00a0 jest\u00a0 to tylko jakby dyspozycja s\u0105du do\u00a0 tego, \u017ceby opisywa\u0142\u00a0 ka\u017cd\u0105 dziedzin\u0119, bior\u0105ca si\u0119 z jego tre\u015bci. Zdanie mo\u017ce by\u0107 uniwersalne, a zarazem poci\u0105ga\u0107 sprzeczno\u015b\u0107, np. &#8222;dla ka\u017cdych dwu par \u0142\u0105czna liczba ich element\u00f3w wynosi pi\u0119\u0107&#8221; (na tej podstawie Russell udowodni\u0142, \u017ce jest\u00a0 i nie jest papie\u017cem).<\/p>\n<p>A\u00a0 gdy\u00a0 jakie\u015b zdanie jest uniwersalne, i w \u017cadnej dziedzinie nie wynika ze\u0144 sprzeczno\u015b\u0107, znaczy to, \u017ce nie ma ono kontrprzyk\u0142ad\u00f3w.\u00a0 <strong>Czy stwierdzi\u0107\u00a0 taki totalny brak kontrprzyk\u0142ad\u00f3w, czyli stwierdzi\u0107 niesprzeczno\u015b\u0107, to nie to samo, co udowodni\u0107 prawdziwo\u015b\u0107 danego zdania?<\/strong><\/p>\n<p>Chcia\u0142bym przed\u0142o\u017cy\u0107 to pytanie pod rozwag\u0119\u00a0 P.T. uczestnik\u00f3w rzeczonej dyskusji. Prosz\u0119 przy tym o wyrozumia\u0142o\u015b\u0107 dla szkicowo\u015bci tego wywodu, zrobionego dzi\u015b w nocy na kolanie pod wp\u0142ywem wertowania pewnego obfitego zbioru wypowiedzi.\u00a0 Jest to monitorowana przez Martina Davisa <a href=\"http:\/\/www.cs.nyu.edu\/mailman\/listinfo\/fom\">korespondencja licz\u0105cych si\u0119 autor\u00f3w na temat podstaw matematyki,<\/a>\u00a0 obejmuj\u0105ca min. dzia\u0142 pt. &#8222;Truth and Consistency&#8221;.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W dyskusji nad referatem p. Tomasza Jordana &#8222;O nieporozumieniach zwi\u0105zanych z twierdzeniem G\u00f6dla&#8221;\u00a0 (Seminarium logiczne w UKSW, 20.IV.2012) &#8212; kt\u00f3rej uczestnicy byli zgodni co do tego, \u017ce przekonanie o niesprzeczno\u015bci arytmetyki pierwszego rz\u0119du jest dobrze umotywowane faktem nie pojawienia si\u0119 &hellip; <a href=\"https:\/\/marciszewski.eu\/?p=1820\">Czytaj dalej <span class=\"meta-nav\">&rarr;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[50],"tags":[],"class_list":["post-1820","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-logika"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1820","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1820"}],"version-history":[{"count":34,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1820\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":12782,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1820\/revisions\/12782"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1820"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=1820"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=1820"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}