Optymizm poznawczy nowoczesnego racjonalizmu ma za sw\u00f3j kanon wypowied\u017a G\u00f6dla (1936) dotycz\u0105c\u0105 dowodzenia twierdze\u0144 matematycznych w spos\u00f3b formalny czyli algorytmiczny: Istniej\u0105 zdanie niedowodliwe \u015brodkami logiki pierwszego rz\u0119du, kt\u00f3re staj\u0105 si\u0119 dowodliwe w logice drugiego rz\u0119du, a ich dowody s\u0105 znacz\u0105co kr\u00f3tsze. Og\u00f3lniej: pewne zdania niedowodliwe \u015brodkami logiki rz\u0119du N staj\u0105 si\u0119 dowodliwe, a dowody zwi\u0119\u017alejsze w logice rz\u0119du N+1<\/em>. Poniewa\u017c dow\u00f3d jest w\u0142a\u015bciwym matematyce \u015brodkiem rozstrzygania problem\u00f3w, jest to zarazem wypowied\u017a na temat rozstrzygalno\u015bci zagadnie\u0144 matematycznych.<\/p>\n Ten optymistyczny obraz dynamiki poznania r\u00f3\u017cni si\u0119 od statycznego obrazu racjonalist\u00f3w 17-wiecznych zawartego w projekcie „Mathesis Universalis” (skr. MU). By\u0142 projekt integracji ca\u0142o\u015bci wiedzy za pomoc\u0105 metody matematycznej, pochodz\u0105cy g\u0142\u00f3wnie od Kartezjusza i Leibniza. Podej\u015bcie Leibniza jest radykalnie formalistyczne (czyli algorytmiczne), podczas gdy Kartezjusza – zdecydowanie antyformalistyczne. W tamtym czasie uchodzi\u0142y one za konkurencyjne, ale wsp\u00f3\u0142czesna rekonstrukcja MU dokonywana na gruncie logiki matematycznej i jej filozofii respektuje oba podej\u015bcia: dowody formalne, czyli algorytmiczne, kt\u00f3rych dotycz\u0105 badania Hilberta, G\u00f6dla etc., Leibnizja\u0144ski zamys\u0142, \u017ceby narz\u0119dziem realizacji projektu by\u0142a uniwersalna symbolika i rachunek logiczny jest obecnie realizowany w odniesieniu do ca\u0142o\u015bci matematyki za pomoc\u0105 \u015brodk\u00f3w, kt\u00f3re jako pierwszy stworzy\u0142 Gottlob Frege (1879), za\u015b rozwini\u0119cie w kierunku formalizacji (algorytmizacji) pochodzi od Hilberta, G\u00f6dla, Turinga, Churcha, Posta i in. Nie si\u0119ga dzi\u015b ten projekt tak daleko, by obj\u0105\u0107 ca\u0142o\u015b\u0107 wiedzy, jak to projektowano\u00a0 w oryginalnej wersji MU, ale posuwa si\u0119 w tym kierunku w miar\u0119 matematyzacji kolejnych obszar\u00f3w nauki.<\/p>\n Dla tego post\u0119pu fundamentalny jest wk\u0142ad Georga Cantora – autora teorii mocy zbior\u00f3w, kt\u00f3ra s\u0142u\u017cy unifikacji matematyki w integracyjnym duchu MU. Wprowadzone w niej odr\u00f3\u017cnienie zbioru niesko\u0144czonego przeliczalnie od liczniejszego ode\u0144 zbioru mocy kontinuum umo\u017cliwia dow\u00f3d fundamentalnego dla wsp\u00f3\u0142czesnej wersji MU twierdzenia o istnieniu problem\u00f3w nierozstrzygalnych w matematyce. Mianowicie, Alan Turing (1936) wykaza\u0142, pos\u0142uguj\u0105c si\u0119 pewn\u0105 metod\u0105 Cantora, \u017ce zbi\u00f3r realizowalnych przez maszyn\u0119 algorytm\u00f3w maj\u0105cych rozstrzyga\u0107 problemy typu „jaka jest warto\u015b\u0107 okre\u015blonej funkcji?”, jest tylko przeliczalny, podczas gdy zbi\u00f3r problem\u00f3w do rozstrzygni\u0119cia ma moc kontinuum. Z czego wynika, \u017ce pewne problemy s\u0105 nierozstrzygalne w spos\u00f3b algorytmiczny, a wi\u0119c niewykonalne dla maszyny.<\/p>\n Wynik G\u00f6dla ma dope\u0142nienie w jego przytoczonej na wst\u0119pie argumentacji, \u017ce ograniczenia rozstrzygalno\u015bci s\u0105 tylko wzgl\u0119dne, to jest, zachodz\u0105ce ze wzgl\u0119du na okre\u015blony system formalny. Dadz\u0105 si\u0119 one przezwyci\u0119\u017ca\u0107 przez wprowadzanie nowych poj\u0119\u0107 pierwotnych, aksjomat\u00f3w i regu\u0142. Ten optymizm poznawczy bra\u0142 si\u0119 z racjonalizmu G\u00f6dla, jego wiary w niewyczerpywalne mo\u017cliwo\u015bci intuicji intelektualnej. Tak oto opisa\u0142 t\u0119 postaw\u0119 matematyk uchodz\u0105cy za wybitnego kontynuatora dzie\u0142a G\u00f6dla – Gregory Chaitin w internetowym wywiadzie z roku 2008 pt. „Chaitin interview for Simply G\u00f6del website” (podaj\u0119 we w\u0142asnym wolnym przek\u0142adzie).<\/p>\n „G\u00f6del by\u0142 przekonany, \u017ce pomimo udowodnionej przeze\u0144 nierozstrzygalno\u015bci matematyki, nie ma w gruncie rzeczy \u017cadnej granicy dla osi\u0105gni\u0119\u0107, kt\u00f3re mog\u0105 by\u0107 udzia\u0142em matematyk\u00f3w za spraw\u0105 ich tw\u00f3rczej intuicji, gdy si\u0119 ni\u0105 pos\u0142uguj\u0105 miast polega\u0107 wy\u0142\u0105cznie na metodzie aksjomatycznej i algorytmach logicznych. Uwa\u017ca\u0142 G\u00f6del, \u017ce ka\u017cdy problem matematyczny mo\u017ce by\u0107 rozwi\u0105zany przez do\u0142\u0105czanie w miar\u0119 potrzeby nowych zasad, to jest, nowych poj\u0119\u0107 i aksjomat\u00f3w. W taki spos\u00f3b poj\u0119cie prawdy matematycznej staje si\u0119 czym\u015b dynamicznym, co ewoluuje, czyli zmienia si\u0119 w czasie. Przeciwstawia si\u0119 to tradycyjnemu pogl\u0105dowi, \u017ce prawda matematyczna jest niezmienna i wieczna.”<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Optymizm poznawczy nowoczesnego racjonalizmu ma za sw\u00f3j kanon wypowied\u017a G\u00f6dla (1936) dotycz\u0105c\u0105 dowodzenia twierdze\u0144 matematycznych w spos\u00f3b formalny czyli algorytmiczny: Istniej\u0105 zdanie niedowodliwe \u015brodkami logiki pierwszego rz\u0119du, kt\u00f3re staj\u0105 si\u0119 dowodliwe w logice drugiego rz\u0119du, a ich dowody s\u0105 znacz\u0105co … Czytaj dalej
\nrealizuj\u0105 projekt leibnizja\u0144ski,\u00a0 lecz do nowych algorytm\u00f3w, rozwi\u0105zuj\u0105cych problemy dowodowe przedtem nierozwi\u0105zywalne, dochodzimy dzi\u0119ki nowym ideom matematycznym, a te zawdzi\u0119czamy intuicji matematycznej, tak wysoko cenionej przez Kartezjusza; to ona prowadzi np. do logik coraz wy\u017cszego rz\u0119du.<\/p>\n