{"id":235,"date":"2011-01-20T09:23:01","date_gmt":"2011-01-20T09:23:01","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.marciszewski.eu\/?p=235"},"modified":"2025-09-23T11:41:23","modified_gmt":"2025-09-23T09:41:23","slug":"zdanie-godlowskie-w-oczach-humanisty","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/marciszewski.eu\/?p=235","title":{"rendered":"Dynamika umys\u0142u w perspektywie g\u00f6dlowskiej"},"content":{"rendered":"

Wprowadzenie.<\/strong> Pojawia\u0142a si\u0119 nieraz w dziejach my\u015bl, \u017ce dla ka\u017cdego\u00a0 dobrze postawionego problemu da si\u0119 znale\u017a\u0107 wiod\u0105cy do\u00a0 jego rozwi\u0105zania algorytm.\u00a0 Znajdujemy j\u0105 u Leibniza, Hilberta, neopozytywist\u00f3w, a w wydaniu najnowszym – u entuzjast\u00f3w tzw. silnej teorii sztucznej inteligencji. Algorytm (przypomnijmy po raz kt\u00f3ry\u015b) jest to taka metoda rozwi\u0105zywania okre\u015blonego rodzaju problem\u00f3w, kt\u00f3ra prowadzi do wyniku w spos\u00f3b niezawodny, odwo\u0142uj\u0105c si\u0119 jedynie do cech obserwowalnych zmys\u0142owo i kieruj\u0105c si\u0119 regu\u0142ami, kt\u00f3re okre\u015blaj\u0105 post\u0119powanie jako seri\u0119 oddzielnych krok\u00f3w\u00a0 z dok\u0142adno\u015bci\u0105 do krok\u00f3w mo\u017cliwie najmniejszych. W takim post\u0119powaniu nie ma miejsca na wnikanie w sens problemu, na intuicj\u0119 czy pomys\u0142owo\u015b\u0107 ; tote\u017c\u00a0 np. Leibniz wierzy\u0142 (przynajmniej w chwilach\u00a0 reformatorskiego zapa\u0142u), \u017ce\u00a0 gdy ju\u017c si\u0119 zalgorytmizuje ca\u0142\u0105 wiedz\u0119, to nawet najg\u0142upsi b\u0119d\u0105 sobie radzi\u0107 z najtrudniejszymi kwestiami.<\/p>\n

Czy przyj\u0105\u0107 to stanowisko? Jest to pytanie \u017cywotne dla humanist\u00f3w, bo\u00a0 je\u015bliby odpowiedzie\u0107 na nie w spos\u00f3b twierdz\u0105cy, to humanistyka znik\u0142aby\u00a0 z mapy naszej wiedzy, a zast\u0105pi\u0142aby j\u0105\u00a0 robotyka.\u00a0 A \u017ce do humanist\u00f3w\u00a0 przede wszystkim adresowany jest obecny esej,\u00a0 to nim dojdziemy do uj\u0119cia umys\u0142u w perspektywie g\u00f6dlowskiej, co stanowi wsp\u00f3\u0142czesn\u0105 ofert\u0119 dla humanistyki, pomocne b\u0119dzie pewne wspomnienie ze z\u0142otego wieku humanist\u00f3w,\u00a0 jakim by\u0142 okres O\u015bwiecenia.<\/p>\n

Istot\u0119 humanistyki uj\u0105\u0142\u00a0 luminarz\u00a0 tamtej epoki Alexander Pope w powiedzeniu The proper study of mankind is Man<\/em> (poemat filozoficzny „On the Nature and State of Man”, list II, odc. 1).\u00a0 Ludzko\u015b\u0107 jako podmiot cywilizacji i Cz\u0142owiek jako\u00a0 podmiot rozumno\u015bci –\u00a0 oto tematy\u00a0 bada\u0144 humanistycznych.\u00a0 Wszechstronnym do tej my\u015bli komentarzem\u00a0 s\u0105 dociekania nad ca\u0142okszta\u0142tem dziej\u00f3w ludzko\u015bci, czyli nad post\u0119pem cywilizacji, kt\u00f3re zawdzi\u0119czamy my\u015blicielom O\u015bwiecenia szkockiego, jak Francis Hutcheson, Lord Kames, David Hume, Adam Smith.\u00a0 Ich kluczem do scenariusza dziej\u00f3w jest\u00a0 wgl\u0105d w rozumno\u015b\u0107 Cz\u0142owieka\u00a0 jako stw\u00f3rcy cywilizacji:\u00a0 jest to pr\u00f3ba zrozumienia dzie\u0142a poprzez poznanie natury tw\u00f3rcy. \u00d3w projekt badawczy sprzed trzech prawie wiek\u00f3w zas\u0142uguje na kontynuacj\u0119 w naszych czasach. Jego ci\u0105g dalszy dokonuje si\u0119 na gruncie tej wiedzy o ludzkim umy\u015ble, kt\u00f3ra dzi\u015b owocuje \u015bwiatopogl\u0105dem informatycznym. Wtedy w nowym \u015bwietle\u00a0 jawi si\u0119\u00a0 ludzko\u015b\u0107 i cz\u0142owiek jako obiekt docieka\u0144 humanistycznych.<\/p>\n

\u00a71. Humanistyka a robotyka<\/strong><\/p>\n

Od <\/strong>czas\u00f3w Arystotelesa\u00a0 kursuje kilka definicji cz\u0142owieka, kt\u00f3re maj\u0105 w\u00a0 swej tre\u015bci jeden element wsp\u00f3lny: wszystkie zaczynaj\u0105 si\u0119 od s\u0142owa ,,zwierz\u0119”. Mamy wi\u0119c zwierz\u0119 rozumne, spo\u0142eczne, zdolne do \u015bmiechu (by\u0142a i taka definicja u scholastyk\u00f3w – animal risibile). Nic dziwnego, \u017ce \u015bwiat zwierz\u0105t by\u0142\u00a0 w refleksji nad cz\u0142owiekiem jedynym por\u00f3wnawczym punktem odniesienia,\u00a0 skoro innego punktu nie by\u0142o. Dzi\u015b mamy\u00a0 inny, g\u0142\u0119biej wnikaj\u0105cy w istot\u0119 rzeczy.\u00a0 \u017beby go\u00a0 uchwyci\u0107, skupmy si\u0119 na drugim cz\u0142onie klasycznej definicji cz\u0142owieka, na rozumno\u015bci. Czym ona jest?<\/p>\n

Je\u015bli powiemy, \u017ce jest to w gruncie rzeczy to samo, co inteligencja<\/em>, czyli zdolno\u015b\u0107 do rozwi\u0105zywania problem\u00f3w, b\u0119dzie to krok w dobrym kierunku, ale\u00a0 nie mo\u017cna na nim poprzesta\u0107,\u00a0 by\u0142aby to bowiem definicja zbyt szeroka. Rozwi\u0105zywanie problem\u00f3w\u00a0 jest\u00a0 w\u0142a\u015bciwe ca\u0142emu \u015bwiatu organicznemu, a na pewno\u00a0 kr\u00f3lestwu zwierz\u0105t;\u00a0 ju\u017c bakterie maj\u0105 swoje problemy i nie\u017ale sobie z nimi radz\u0105 (przechytrzaj\u0105c np. ludzi w unieszkodliwianiu antybiotyk\u00f3w).<\/p>\n

Ludzie maj\u0105 mo\u017cno\u015b\u0107 rozwi\u0105zywania problem\u00f3w na co najmniej dwa sposoby,\u00a0 jeden podzielany z reszt\u0105 zwierz\u0105t, a drugi\u00a0 – przy pomocy j\u0119zyka. W tym drugim udzia\u0142 j\u0119zyka jest stopniowalny, a gdy wyst\u0119puje w stopniu maksymalnym,\u00a0 mamy do czynienia z post\u0119powaniem algorytmicznym.\u00a0 Polega ono na tym, \u017ce aby rozwi\u0105za\u0107 problem,\u00a0 nie trzeba mie\u0107 ani jakiej\u015b wiedzy instynktownej, ani wiedzy dyskursywnej o prawach rz\u0105dz\u0105cych dan\u0105 dziedzin\u0105 rzeczywisto\u015bci; wystarczy mechanicznie\u00a0\u00a0 wykonywa\u0107 s\u0142owne instrukcje, kt\u00f3rych sekwencja stanowi algorytm.\u00a0 We\u017amy najprostszy przyk\u0142ad – instrukcj\u0119 s\u0142odzenia herbaty wykonywan\u0105 przez dziecko pouczone przez doros\u0142ych.\u00a0 Doros\u0142y wie, \u017ce cukier jest potrzebny organizmowi i poprawia smak i \u017ce wystarczy w tym celu jedna lub dwie \u0142y\u017ceczki do szklanki; dzi\u0119ki tej wiedzy on rozwi\u0105zuje problem ,,czy s\u0142odzi\u0107\u00a0 i jak”. Na tej podstawie formu\u0142uje s\u0142owny przepis, kt\u00f3ry przekazuje dziecku,\u00a0 a wtedy problem ,,czy i jak” rozwi\u0105zuje ono skutecznie bez posiadania owej wiedzy, a jedynie przez\u00a0 dok\u0142adne wykonanie instrukcji. W takim post\u0119powaniu algorytmicznym dziecko wykazuje podobie\u0144stwo nie z jakimkolwiek zwierz\u0119ciem (instrukcji s\u0142odzenia nie zrozumie bakteria, ani nawet szympans), lecz z odpowiednio zaprogramowanym robotem.<\/p>\n

Odkrywamy wi\u0119c now\u0105 mo\u017cliwo\u015b\u0107 zdefiniowania cz\u0142owieka, o kt\u00f3rej nie \u015bni\u0142o si\u0119 staro\u017cytnym ani ich nast\u0119pcom, a\u017c po wiek XX.\u00a0 Klasyczna metoda definiowania polega\u0142a na przyj\u0119ciu zbioru zwierz\u0105t za rodzaj nadrz\u0119dny, w kt\u00f3rym wyr\u00f3\u017cnia si\u0119 gatunek ludzki jako podzbi\u00f3r, za r\u00f3\u017cnic\u0119 gatunkow\u0105 bior\u0105c cech\u0119 rozumno\u015bci. Teraz bierzemy jako rodzaj nadrz\u0119dny klas\u0119 uk\u0142ad\u00f3w zdolnych do rozwi\u0105zywania problem\u00f3w, kt\u00f3rej podzbiorami s\u0105:\u00a0 (A) zwierz\u0119ta nie b\u0119d\u0105ce lud\u017ami, (B) roboty, (C) ludzie.\u00a0 Klasa C podziela z klas\u0105 A umiej\u0119tno\u015b\u0107 rozwi\u0105zywania problem\u00f3w w spos\u00f3b instynktowny, a z klas\u0105 B – w spos\u00f3b algorytmiczny.<\/p>\n

Rozwa\u017cmy sum\u0119\u00a0 klas B+C. Co w tym zbiorze\u00a0 zsumowanym odr\u00f3\u017cnia ludzi od pozosta\u0142ych jego element\u00f3w? To samo, co odr\u00f3\u017cnia doros\u0142ego od dziecka z powy\u017cszego przyk\u0142adu; albo pocz\u0105tkuj\u0105cego kuchcika od wytrawnego kucharza, kt\u00f3ry sam tworzy receptury potraw i przekazuje kuchcikowi do wiernego wykonania wed\u0142ug instrukcji. Jest to zdolno\u015b\u0107 tworzenia\u00a0 algorytm\u00f3w na podstawie\u00a0 posiadanej wiedzy<\/em>.\u00a0 Towarzyszy jej w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 nie mniej dla tw\u00f3rczego my\u015blenia istotna – specyficznie ludzka zdolno\u015b\u0107 do stawiania pyta\u0144 i do\u015bwiadczania w\u0105tpliwo\u015bci,\u00a0 ale w obecnym\u00a0 punkcie rozwa\u017ca\u0144 poprzestaniemy na pierwszej.<\/p>\n

Zdolno\u015b\u0107 do konstruowania algorytm\u00f3w wymaga dw\u00f3ch dyspozycji,\u00a0 kt\u00f3re Alan Turing (1938) uwa\u017ca\u0142 za niezb\u0119dne w rozumowaniu matematycznym cz\u0142owieka. S\u0105 nimi intuicja<\/em> oraz pomys\u0142owo\u015b\u0107 <\/em>czyli inwencja.\u00a0 T\u0119 obserwacj\u0119 Turinga mo\u017cemy bez zastrze\u017ce\u0144 uog\u00f3lni\u0107 na wszelkie rozumowania,\u00a0 maj\u0105c na uwadze tworzenie algorytm\u00f3w\u00a0 jako jedn\u0105 z odmian w zbiorze rozumowa\u0144. Tak dochodzimy do nowoczesnej definicji cz\u0142owieka,\u00a0 w\u0142a\u015bciwej epoce informatycznej. Cz\u0142owiek jest to istota zdolna do rozwi\u0105zywania\u00a0 (A) jednych problem\u00f3w na drodze instynktownej, (B) innych na drodze\u00a0 algorytmicznej , (C) jeszcze innych na drodze rozumowa\u0144 wymagaj\u0105cych intuicji i pomys\u0142owo\u015bci, <\/em>m.in. rozumowa\u0144, kt\u00f3rych produktami s\u0105 algorytmy.<\/p>\n

Intuicja jest wa\u017cnym \u017ar\u00f3d\u0142em wiedzy dla tworzenia algorytm\u00f3w. Np.\u00a0 intuicja niesko\u0144czonego zbioru liczb naturalnych, z zerem i relacj\u0105 nast\u0119pnika, stanowi t\u0119 porcj\u0119 wiedzy o \u015bwiecie liczb,\u00a0 dzi\u0119ki kt\u00f3rej jaki\u015b pomys\u0142owy Hindus w g\u0142\u0119bokim \u015bredniowieczu\u00a0 stworzy\u0142 algorytm pozycyjnego zapisu dowolnej liczby naturalnej. Nazwiska tego geniusza nie znamy, wiemy natomiast, \u017ce notacj\u0119 t\u0119 dopracowa\u0142\u00a0 i upowszechni\u0142\u00a0 uczony arabski Al-Chwarizmi, kt\u00f3rego przekr\u0119cone przez \u0142acinnik\u00f3w imi\u0119 da\u0142o pocz\u0105tek s\u0142owu ,,algorytm”.<\/p>\n

W\u00a0 powy\u017cszym okre\u015bleniu nie wyst\u0119puje s\u0142owo ,,zwierz\u0119”, obecne od tysi\u0105cleci w filozoficznej definicji cz\u0142owieka, mamy wi\u0119c w tym jakby \u015bwitanie nowej humanistyki. W tym \u015bwietle, do istoty cz\u0142owieka nie nale\u017cy to, \u017ceby mia\u0142 w\u0105trob\u0119 i trzustk\u0119. Wprawdzie w obecnym stanie rzeczy bez tych i innych narz\u0105d\u00f3w nie dzia\u0142a\u0142by m\u00f3zg Al-Chwarizmiego ani \u017cadnego innego cz\u0142owieka, ale je\u015bli przyroda lub ludzka technika wytworzy kiedy\u015b istot\u0119 bez takich atrybut\u00f3w cielesno\u015bci, lecz maj\u0105c\u0105 dar intuicji i pomys\u0142owo\u015bci,\u00a0 a wi\u0119c zdoln\u0105 r\u00f3wnie\u017c do pyta\u0144 i w\u0105tpliwo\u015bci, bez wahania jej przyznamy atrybut cz\u0142owiecze\u0144stwa.\u00a0 Natomiast miano robot\u00f3w zachowamy dla urz\u0105dze\u0144 zdolnych rozwi\u0105zywa\u0107 problemy tylko dzi\u0119ki algorytmom. Mog\u0105 to by\u0107 algorytmy gotowe, od pocz\u0105tku wbudowane przez programist\u0119, a mog\u0105 by\u0107 takie kt\u00f3re sprawiaj\u0105, \u017ce uk\u0142ad jest\u00a0 zdolny uczy\u0107 si\u0119\u00a0 (w wyniku interakcji z otoczeniem) rozwi\u0105zywania problem\u00f3w, ale tak czy inaczej nie s\u0105 one ekwiwalentem intuicji i pomys\u0142owo\u015bci. Gdyby jednak ten drugi proces doprowadzi\u0142 jakim\u015b sposobem do wykszta\u0142cenia si\u0119\u00a0 jednej i drugiej w\u00a0 jestestwach nie organicznych,\u00a0 to nie odm\u00f3wimy im awansu z klasy robot\u00f3w do klasy <\/em>istot rozumnych.<\/p>\n

\u00a72. Dynamika dodatnich sprz\u0119\u017ce\u0144 zwrotnych mi\u0119dzy umys\u0142em i j\u0119zykiem<\/strong><\/p>\n

2.1. <\/strong>Algorytmy jako instrukcje rozwi\u0105zywania problem\u00f3w powstaj\u0105 dzi\u0119ki ludzkiej\u00a0 intuicji i pomys\u0142owo\u015bci. Z drugiej strony, te cnoty umys\u0142u nie wydawa\u0142yby owoc\u00f3w, gdyby nie mia\u0142y do dyspozycji algorytm\u00f3w jako swych niezast\u0105pionych narz\u0119dzi. Niezliczone problemy le\u017ca\u0142yby od\u0142ogiem nie rozwi\u0105zane, inne nie zosta\u0142yby w og\u00f3le zauwa\u017cone, gdyby nie to ca\u0142e instrumentarium rachowania oparte na algorytmie pozycyjnego zapisu liczb i algorytmach podstawowych dzia\u0142a\u0144 arytmetycznych.\u00a0 Droga od intuicji do ugruntowanego twierdzenia prowadzi przez obliczenia sterowane algorytmami. M\u00f3g\u0142 Pierre Fermat mie\u0107 siln\u0105 intuicj\u0105 prawdziwo\u015bci swego twierdzenia i pomys\u0142 dowodu, ale dop\u00f3ki Andrew Wiles w roku 1995 (po trzystu przesz\u0142o latach po Fermacie) nie opublikowa\u0142\u00a0 swych\u00a0 sk\u0142adaj\u0105cych si\u0119 na dow\u00f3d 130 stron oblicze\u0144,\u00a0 nie mogli\u015bmy na tym twierdzeniu polega\u0107 jako na wiarogodnym wgl\u0105dzie w \u015bwiat liczb.<\/p>\n

Liczba 130 stron to wska\u017anik niezwyk\u0142ej d\u0142ugo\u015bci dowodu, a ta z kolei jest miar\u0105 stopnia z\u0142o\u017cono\u015bci, a wi\u0119c i stopnia trudno\u015bci, tego problemu, na kt\u00f3ry konkluzja dowodu jest odpowiedzi\u0105.\u00a0 Kwestia z\u0142o\u017cono\u015bci dowodu matematycznego, podobnie jak kwestia z\u0142o\u017cono\u015bci oprogramowania dla komputera, dostarcza nam niejako laboratorium do badania stosunku mi\u0119dzy intuicj\u0105 i algorytmem. Wiedz\u0105c\u00a0 o zmaganiach Andrew Wilesa z t\u0105 gigantyczn\u0105 trudno\u015bci\u0105 (dziesi\u0119\u0107 lat wy\u0142\u0105cznie temu po\u015bwi\u0119conych), kt\u00f3rej przez 300 lat nie zdo\u0142ali pokona\u0107 atakuj\u0105cy ten problem wybitni matematycy, mo\u017cemy sobie przedstawi\u0107,\u00a0 jak wielkiej wymaga\u0142o to intuicji i pomys\u0142owo\u015bci. Wiemy te\u017c,\u00a0 jak trudne by\u0142o dla recenzent\u00f3w sprawdzenie poprawno\u015bci dowodu, a gdy po paru miesi\u0105cach od og\u0142oszenia (1993) pierwszej wersji wykryli\u00a0 oni b\u0142\u0105d, kolejne miesi\u0105ce zaj\u0119\u0142a autorowi praca nad jego poprawieniem. O czym to \u015bwiadczy? O tym, \u017ce intuicja nawet znakomitych umys\u0142\u00f3w bywa zawodna, dobrze by wi\u0119c by\u0142o, \u017ceby przysz\u0142a jej z pomoc\u0105 jaka\u015b procedura algorytmiczna. Z tego jednak, co wiemy o komputerowym sprawdzaniu poprawno\u015bci dowod\u00f3w,\u00a0 to tekst dowodu tak opracowany, \u017ceby m\u00f3g\u0142 go interpretowa\u0107 program testuj\u0105cy, bywa dziesi\u0105tki razy d\u0142u\u017cszy (mierz\u0105c liczb\u0105 wierszy) ni\u017c tekst dowodu intuicyjnego, co w przypadku wywod\u00f3w Wilesa oznacza\u0142oby tysi\u0105ce stron do prze\u015bledzenia.\u00a0 A to musia\u0142oby stanowi\u0107 nieprzekraczaln\u0105 barier\u0119 dla ludzkiej pami\u0119ci (typu pami\u0119ci operacyjnej,\u00a0 je\u015bli u\u017cy\u0107 por\u00f3wnania do komputera).\u00a0 Nie ma wi\u0119c w badaniach naukowych odwrotu od pos\u0142ugiwania si\u0119 intuicj\u0105, i nie stanie si\u0119 tak,\u00a0 jak eksperymentowa\u0142 my\u015blowo Leibniz, \u017ce dla ka\u017cdego problemu znajdzie si\u0119 kiedy\u015b algorytm, kt\u00f3ry pozwoli nawet umys\u0142om t\u0119pym znale\u017a\u0107 na\u0144 odpowied\u017a w spos\u00f3b mechaniczny, bez my\u015blowego wysi\u0142ku.\u00a0 Z drugiej strony, nawet gdy nic nie wiemy o tre\u015bci dowodu Wilesa, mo\u017cemy by\u0107 pewni, \u017ce do zapisu liczb pos\u0142ugiwa\u0142 si\u0119 on algorytmem zapisu pozycyjnego, a do obliczania pot\u0119g (kt\u00f3rych dotyczy twierdzenie Fermata) stosowa\u0142 algorytm pot\u0119gowania, nie usi\u0142uj\u0105c przedstawia\u0107 sobie w my\u015bli, ile to b\u0119dzie gdy jakie\u015b x<\/em> pomno\u017cy\u0107 przez siebie n<\/em> razy.\u00a0 Gdyby z takich \u015brodk\u00f3w algorytmicznych nie korzysta\u0142,\u00a0 rozbi\u0142by si\u0119 o barier\u0119 praktycznej niewykonalno\u015bci. Tak wi\u0119c, znajdujemy w tej historii wymowny przyk\u0142ad wsp\u00f3\u0142dzia\u0142ania mi\u0119dzy intuicj\u0105 i pomys\u0142owo\u015bci\u0105 z jednej strony oraz algorytmem\u00a0 z drugiej, a wi\u0119c interakcji przynosz\u0105cej wzmocnienie po obu stronach.<\/p>\n

Na potrzeby dalszych rozwa\u017ca\u0144 uog\u00f3lnijmy ten przypadek na dwa sposoby. Zachodz\u0105ca w nim interakcja algorytmu z intuicj\u0105 i pomys\u0142owo\u015bci\u0105 to szczeg\u00f3lny przypadek sprz\u0119\u017cenia zwrotnego mi\u0119dzy umys\u0142em (intuicja i pomys\u0142owo\u015b\u0107) z tekstem j\u0119zykowym,\u00a0 jakim jest algorytm, czyli (og\u00f3lniej) z j\u0119zykiem. Sprz\u0119\u017cenie zwrotne<\/em> jest to wzajemne oddzia\u0142ywanie mi\u0119dzy dwoma czynnikami cechuj\u0105ce si\u0119 takim rytmem, \u017ce je\u015bli czynnik X wywo\u0142a pewn\u0105 zmian\u0119 w czynniku Y,\u00a0 to wtedy Y wp\u0142ywa analogicznie na X, potem zn\u00f3w X na Y itd.\u00a0 Zmiana polega na wzmocnieniu lub na os\u0142abieniu intensywno\u015bci procesu. Os\u0142abianie zachodzi\u00a0 m.in. w zjawiskach regulacji, gdy wbudowany w tym celu mechanizm zapobiega przekroczeniu jakiego\u015b niebezpiecznego progu intensywno\u015bci, np. ci\u015bnienia w maszynie parowej\u00a0 (tak\u0105 kontrol\u0119 sprawuje regulator Watta).\u00a0 Zjawisko to okre\u015blamy jako sprz\u0119\u017cenie zwrotne ujemne<\/em>.\u00a0 Natomiast sprz\u0119\u017cenie zwrotne<\/em> dodatnie<\/em> zachodzi\u00a0 wtedy, gdy ka\u017cdy z dw\u00f3ch proces\u00f3w oddzia\u0142uje na drugi wzmacniaj\u0105co. Mo\u017ce to by\u0107 np. zwarcie mi\u0119dzy mikrofonem i \u017ar\u00f3d\u0142em d\u017awi\u0119ku czy eskalacja ostro\u015bci sporu, w miar\u0119, jak ka\u017cda ze stron po retorsjach drugiej czuje si\u0119 coraz bardziej poszkodowana. Pr\u00f3cz takich sytuacji, raczej negatywnych, istniej\u0105 w \u017cyciu spo\u0142ecznym sytuacje\u00a0 rozwijania si\u0119 r\u00f3\u017cnych warto\u015bci dzi\u0119ki ich\u00a0 wspieraniu si\u0119 wzajemnemu na zasadzie sprz\u0119\u017cenia. \u00a0 I tak,\u00a0 proces rozwoju gospodarki sprzyja wzrostowi stabilizacji politycznej i wolno\u015bci,\u00a0 oba za\u015b te stany przyczyniaj\u0105 si\u0119, zwrotnie, do rozwoju gospodarki.\u00a0 Rosn\u0105cy poziom edukacji\u00a0 tak\u017ce sprzyja wzrostowi gospodarczemu, a ten si\u0119 odwzajemnia wzrostem nak\u0142ad\u00f3w na edukacj\u0119. Podobnie pozytywne wzmocnienia zachodz\u0105 mi\u0119dzy edukacj\u0105 i badaniami naukowymi, itd.<\/p>\n

Niebywa\u0142y rozw\u00f3j nauk w naszej cywilizacji t\u0142umaczy si\u0119\u00a0 pot\u0119\u017cnym sprz\u0119\u017ceniem dodatnim, kt\u00f3re zachodzi mi\u0119dzy tw\u00f3rczym umys\u0142em i algorytmem;\u00a0 jak ko\u0142o zamachowe nap\u0119dza ono post\u0119p nauki, wprawiaj\u0105c go w coraz szybsze obroty. Ten szczeg\u00f3lny zwi\u0105zek\u00a0 trzeba ujmowa\u0107 w kontek\u015bcie prawid\u0142owo\u015bci og\u00f3lniejszej, mianowicie sprz\u0119\u017cenia mi\u0119dzy my\u015bl\u0105 i mow\u0105. Pojawia si\u0119 ta prawid\u0142owo\u015b\u0107 nie tylko na wy\u017cynach poznania naukowego. Do\u015bwiadczamy jej w codziennym \u017cyciu,\u00a0 kiedy my\u015bl wyprzedza mow\u0119. Tak by\u0142o,\u00a0 gdy jaki\u015b nasz praprzodek po raz pierwszy ujrza\u0142 ogie\u0144, a z ust wydar\u0142 mu si\u0119 okrzyk podziwu czy strachu (czy mo\u017ce jednego z drugim). Ten d\u017awi\u0119k, je\u015bli si\u0119 powt\u00f3rzy\u0142,\u00a0 je\u015bli powt\u00f3rzyli go te\u017c ile\u015b razy\u00a0 inni, sta\u0142 si\u0119 w danej grupie nazw\u0105 ognia. Mamy tu model sytuacji \u015bwiadcz\u0105cy o pierwsze\u0144stwie my\u015bli przed mow\u0105, bo zauwa\u017cenie czego\u015b,\u00a0 wyodr\u0119bnienie\u00a0 tego\u00a0 uwag\u0105 z otoczenia oraz wzi\u0119cie za reprezentacje pewnej szerszej klasy zjawisk,\u00a0 to s\u0105 pierwociny my\u015bli abstrakcyjnej.\u00a0 A gdy ju\u017c nazwa ognia si\u0119 utrwali\u0142a, zacz\u0119\u0142a oddawa\u0107 przys\u0142ugi my\u015blom,\u00a0 jak ogie\u0144 pozyska\u0107,\u00a0 jak ugasi\u0107, do czego u\u017cy\u0107 itd.<\/p>\n

Sformu\u0142ujmy to og\u00f3lnie:\u00a0 gdy si\u0119 uda my\u015bl wys\u0142owi\u0107, wspomaga to my\u015bl,\u00a0 \u017ceby sta\u0142a si\u0119 pe\u0142niejsza i ja\u015bniejsza;\u00a0 gdy\u00a0 damy wyraz s\u0142owny tej nowej,\u00a0 to kolejne takie wys\u0142owienie s\u0142u\u017cy doj\u015bciu do my\u015bli\u00a0 bardziej pog\u0142\u0119bionej, kt\u00f3ra rzecz ujmie jeszcze trafniej.\u00a0 To s\u0105 te zmagania naszej\u00a0 my\u015bli i mowy,\u00a0 kt\u00f3re Norwid uj\u0105\u0142 fraz\u0105 odpowiednie da\u0107 rzeczy s\u0142owo<\/em> (cho\u0107 mo\u017ce nie ka\u017cdy zmaga\u0144 takich do\u015bwiadcza, oszcz\u0119dzone one s\u0105 np. grafomanom).\u00a0 Jest to wi\u0119c taka sekwencja: najpierw my\u015bl\u00a0 bez s\u0142\u00f3w, potem jej wys\u0142owienie, kt\u00f3re pomaga narodzi\u0107 si\u0119 my\u015bli postrzegaj\u0105cej\u00a0 nast\u0119pnie wys\u0142owienia tego niedoskona\u0142o\u015b\u0107,\u00a0 dzi\u0119ki czemu nasuwa si\u0119 werbalizacja bardziej trafna, i tak a\u017c do punktu, w kt\u00f3rym uznamy, \u017ce ,,to jest to”, czyli \u017ce s\u0142owo przylega do my\u015bli jak dobrze skrojona szata, a my\u015bl ujmuje sedno rzeczy.\u00a0 Na sw\u00f3j spos\u00f3b do\u015bwiadczaj\u0105 takiego stanu prawdziwi poeci, a na sw\u00f3j spos\u00f3b matematycy.<\/p>\n

2.2. <\/strong> Matematycy s\u0105 w tej dobrej sytuacji,\u00a0 \u017ce\u00a0 wsp\u00f3\u0142czesna logika dostarcza\u00a0 jasnego i w pe\u0142ni sprawdzalnego kryterium,\u00a0 czy werbalizacja jest ju\u017c doskona\u0142a. Trzeba w tym celu teori\u0119 zaksjomatyzowa\u0107 i przyj\u0105\u0107 odpowiednie regu\u0142y wnioskowania, a nast\u0119pnie wykaza\u0107, \u017ce ka\u017cde prawdziwe zdanie danej teorii da si\u0119 wywnioskowa\u0107 z jej aksjomat\u00f3w,\u00a0 a \u017cadne fa\u0142szywe wywnioskowa\u0107 si\u0119 nie da. M\u00f3wi\u0105c bardziej technicznie, trzeba udowodni\u0107 o danej teorii, \u017ce jest zupe\u0142na<\/em> oraz niesprzeczna.<\/em> B\u0119dzie to \u015bwiadczy\u0107 niezbicie, \u017ce aksjomaty bez reszty opisuj\u0105 t\u0119 dziedzin\u0119 rzeczywisto\u015bci, do kt\u00f3rej opisu zosta\u0142y powo\u0142ane.\u00a0 Je\u015bliby natomiast by\u0142o tak, \u017ce jakie\u015b zdanie wyra\u017cone w j\u0119zyku danej teorii jest prawdziwe, a wywnioskowa\u0107 z aksjomat\u00f3w si\u0119 nie da, to powiemy o danej teorii, \u017ce jest niezupe\u0142na. A to znaczy, \u017ce aksjomatom nie udaje si\u0119 wyrazi\u0107 tego, do czego nasza my\u015bl\u00a0 bez nich dociera, gdy uda si\u0119 jej rozpozna\u0107 jakie\u015b zdanie prawdziwe, a nie daj\u0105ce si\u0119 z aksjomat\u00f3w wywnioskowa\u0107.<\/p>\n

Dowodzenie, o kt\u00f3rym tu mowa jest zdefiniowane rygorystyczne. Maj\u0105\u00a0 to by\u0107 regu\u0142y tak precyzyjne,\u00a0 jak te stosowane w algorytmach, a wi\u0119c dyktuj\u0105ce krok po kroku, jak przekszta\u0142ca\u0107 aksjomaty w ich konsekwencje, a te w kolejne konsekwencje, a\u017c dojdzie si\u0119 do konsekwencji\u00a0 b\u0119d\u0105cej tym zdaniem, kt\u00f3rego prawdziwo\u015bci chcemy dowie\u015b\u0107.\u00a0 Przy tym,\u00a0 owe s\u0142u\u017c\u0105ce wnioskowaniu regu\u0142y przekszta\u0142cania formu\u0142 dotycz\u0105 ich postrzegalnych zmys\u0142owo cech fizycznych, mianowicie kszta\u0142tu i po\u0142o\u017cenia, a nie ich tre\u015bci (por. to z definicj\u0105 algorytmu na pocz\u0105tku eseju).\u00a0 Tego rodzaju dow\u00f3d nazywa si\u0119\u00a0 formalnym<\/em>, a ze wzgl\u0119du na wy\u017cej opisany charakter regu\u0142 dowodzenia mo\u017cna go te\u017c okre\u015bli\u0107 jako algorytmiczny.<\/p>\n

Gdy z ko\u0144cem XIX wieku pojawi\u0142a si\u0119, jako nowa dziedzina wiedzy, logika matematyczna, s\u0142u\u017c\u0105ca do analizy i oceny rozumowa\u0144 w matematyce,\u00a0 ufano, \u017ce dostarczy ona \u015brodk\u00f3w, \u017ceby\u00a0 w spos\u00f3b zupe\u0142ny m\u00f3c zaksjomatyzowa\u0107 dowoln\u0105 teori\u0119 matematyczn\u0105; to znaczy tak dobra\u0107 jej aksjomaty,\u00a0 \u017ceby da\u0142y si\u0119\u00a0 a nich wyprowadzi\u0107 w drodze dowodu wszystkie zdania w danej teorii prawdziwe i tylko prawdziwe. By\u0142o to, m\u00f3wi\u0105c swobodnie, r\u00f3wnoznaczne z przekonaniem,\u00a0 \u017ce \u00a0 w matematyce jej precyzyjny j\u0119zyk symboliczny ma moc ekspresji zdoln\u0105 wyrazi\u0107 adekwatnie wszystkie nasze zrozumienia dotycz\u0105ce matematycznej rzeczywisto\u015bci.\u00a0 Okaza\u0142o si\u0119\u00a0 jednak,\u00a0 \u017ce te oczekiwania spe\u0142niaj\u0105 si\u0119 tylko w odniesieniu do bardzo prostych teorii, jak niekt\u00f3re teorie algebraiczne, ale ju\u017c gdy wejdziemy w \u015bwiat liczb naturalnych,\u00a0 j\u0119zyk przestaje nad\u0105\u017ca\u0107 za my\u015bl\u0105. Pojawiaj\u0105 si\u0119 zdania,\u00a0 kt\u00f3rych prawdziwo\u015b\u0107 my\u015bl nasza rozpoznaje, ale dowodu formalnego, czyli bez reszty zamkni\u0119tego w symbolach, dostarczy\u0107 si\u0119 nie da.<\/p>\n

Nie musi to jednak oznacza\u0107 zastygni\u0119cia teorii formalnej w takim kszta\u0142cie. B\u0119d\u0105c niezupe\u0142na, jest ona jednak uzupe\u0142nialna <\/em>do wy\u017cszego poziomu, na kt\u00f3rym pozb\u0119dzie si\u0119 poprzedniego braku, a cho\u0107 swoiste braki pojawi\u0105 si\u0119 na tym nowym etapie, da si\u0119 ona uzupe\u0142ni\u0107 do kolejnego poziomu, i tak dalej.\u00a0 Wchodzi bowiem do gry taka sama dynamika interakcji my\u015bli i j\u0119zyka, jak ta opisana wy\u017cej w odniesieniu do werbalizacji w j\u0119zyku naturalnym. I podobnie jak w wersji ,,naturalnej”, wy\u017cszy poziom werbalizacji, kt\u00f3ra jest w tym przypadku\u00a0 formalizacj\u0105, umo\u017cliwia rodzenie si\u0119 nowych my\u015bli, kt\u00f3re nie mia\u0142yby szans zaistnienia, gdyby nie dost\u0105pi\u0142y wsparcia\u00a0 ze strony precyzyjnego j\u0119zyka formalnego.<\/p>\n

O istnieniu takiej uzupe\u0142nialnej stopniowo niezupe\u0142no\u015bci dowiedziano si\u0119 po raz pierwszy w roku 1931, gdy Kurt G\u00f6del\u00a0 odkry\u0142,\u00a0 \u017ce jest to w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 arytmetyki\u00a0 liczb naturalnych. Wykaza\u0142 on,\u00a0 \u017ce \u017cadna aksjomatyka nie wystarczy, \u017ceby na jej podstawie udowodni\u0107 formalnie (algorytmicznie) wszystkie prawdziwe zdania arytmetyki. Mo\u017cemy natomiast uzyskiwa\u0107 coraz wi\u0119kszy zbi\u00f3r prawd dowiedzionych,\u00a0 w miar\u0119 jak wzbogacamy aksjomatyk\u0119 o nowe formu\u0142y, b\u0105d\u017a te\u017c wzmacniamy logiczne regu\u0142y dowodzenia algorytmicznego.\u00a0 Podsumujmy: na ka\u017cdym ze szczebli rozwijania aksjomatycznej arytmetyki liczb natualnych s\u0105 w niej prawdy niedowodliwe formalnie,\u00a0 ale zarazem z ka\u017cdego szczebla mo\u017cna wspi\u0105\u0107 si\u0119 na\u00a0 wy\u017cszy,\u00a0 to jest taki, na kt\u00f3rym niekt\u00f3re prawdy dot\u0105d niedowodliwe dadz\u0105 dowie\u015b\u0107.<\/em><\/p>\n

Takie pozyskiwanie za pomoc\u0105 dowod\u00f3w formalnych coraz wi\u0119kszego zbioru prawd jest procesem bez granic,\u00a0 potencjalnie niesko\u0144czonym. <\/em>Mamy wi\u0119c w perspektywie niesko\u0144czony proces post\u0119pu nauki.\u00a0 <\/em>Drug\u0105 okoliczno\u015bci\u0105 godn\u0105 uwagi jest\u00a0 powstawanie warunk\u00f3w do pojawienia si\u0119 dodatnich sprz\u0119\u017ce\u0144 zwrotnych – na zasadzie prawid\u0142owo\u015bci opisanej wy\u017cej w 2.1.\u00a0 Po intuicyjnym rozpoznaniu jakiej\u015b prawdy niedowodliwej formalnie, mo\u017cemy j\u0105 do\u0142\u0105czy\u0107 do aksjomat\u00f3w (one te\u017c zosta\u0142y przyj\u0119te bez dowodu), wzmacniaj\u0105c t\u0105 drog\u0105 moc dedukcyjn\u0105 teorii. Oznacza to przyrost\u00a0 informacji, a im wi\u0119cej informacji, czyli im wi\u0119ksza wiedza, tym wi\u0119ksza skala i tempo kolejnego przyrostu.\u00a0 T\u0119 nieograniczon\u0105 perspektyw\u0119 rozprzestrzeniania si\u0119 umys\u0142u nazywam tu g\u00f6dlowsk\u0105, poniewa\u017c G\u00f6del by\u0142 tym, kt\u00f3ry jej istnienie pierwszy dowodnie wykaza\u0142, czyni\u0105c to na polu tak sprawdzalnym,\u00a0 jakim jest arytmetyka.<\/p>\n

\u017beby si\u0119 osobi\u015bcie o tej perspektywie przekona\u0107, trzeba uzyska\u0107 jaki\u015b wgl\u0105d w tre\u015b\u0107 i uzasadnienie wyniku G\u00f6dla. Skala poziom\u00f3w tego wtajemniczenia mo\u017ce by\u0107 bardzo rozleg\u0142a: od kilku zda\u0144 og\u00f3lnikowej\u00a0 informacji po specjalistyczne monografie, gdy ca\u0142y poka\u017any tom stanowi wyk\u0142ad i interpretacj\u0119 twierdzenia G\u00f6dla o niezupe\u0142no\u015bci arytmetyki.\u00a0 Dwa nast\u0119puj\u0105ce dalej odcinki sprawie tej po\u015bwi\u0119cone s\u0105 bliskie raczej dolnego progu zrozumie\u0144. Ich celem jest doprowadzi\u0107 Czytelnika,\u00a0 je\u015bli nie do przekonania o prawdziwo\u015bci twierdzenia, to przynajmniej do wyobra\u017cenia sobie, co na czym taki stan przekonania m\u00f3g\u0142by polega\u0107.\u00a0 To jest minimum, do kt\u00f3rego powinien si\u0119 czu\u0107 zobowi\u0105zany wsp\u00f3\u0142czesny humanista. \u017beby odci\u0105\u017cy\u0107 i mo\u017cliwie skr\u00f3ci\u0107\u00a0 tok wywodu, nie opisuj\u0119 tu metody arytmetyzacji j\u0119zyka przez kodowania liczbowe, mog\u0105c odes\u0142a\u0107 Czytelnika do poprzedniego eseju, gdzie by\u0142a o tym mowa z innego jeszcze wzgl\u0119du, lecz przede wszystkim ze wzgl\u0119du na przygotowanie do obecnego sprawozdania z argumentacji G\u00f6dla.<\/p>\n

\u00a73.\u00a0 MAG:\u00a0 samopotwierdzalne MetaArytmetyczne zdanie G\u00f6dlowskie
\n<\/strong><\/p>\n

Istnieje osobliwa klasa wypowiedzi, mo\u017cna\u00a0powiedzie\u0107, egocentrycznych,\u00a0\u017ce taka wypowied\u017a\u00a0m\u00f3wi jedynie co\u015b o sobie samej, a\u00a0 nic na inny temat. Oto przyk\u0142ad: „Niniejsze zdanie sk\u0142ada si\u0119 z siedmiu wyraz\u00f3w”. Wypowiedzi tego rodzaju s\u0105 poprawne gramatycznie, a przy tym spe\u0142niaj\u0105 bez zarzutu warunek wymagany od ka\u017cdego zdania, \u017ce ma\u00a0by\u0107 prawdziwe lub fa\u0142szywe. Powy\u017csze\u00a0 zdanie jest prawdziwe,\u00a0 a je\u015bliby s\u0142owo „siedmiu” zamieni\u0107 na inny liczebnik, stanie si\u0119 fa\u0142szywe. Nie mo\u017cna mu wi\u0119c nic zarzuci\u0107 poza pewnego rodzaju dziwaczno\u015bci\u0105, ale to\u00a0 mu nie odbierze statusu zdania w sensie logicznym.<\/p>\n

Mamy w tej klasie zdania jeszcze osobliwsze, do kt\u00f3rych\u00a0 zastosujemy okre\u015blenie: zdanie samopotwierdzalne<\/em>., w skr\u00f3cie SP. Z tre\u015bci takiego zdania\u00a0wynika, \u017ce jest ono z konieczno\u015bci prawd\u0105, czyli samo siebie potwierdza.\u00a0Do tej\u00a0 kategorii nale\u017cy\u00a0wyra\u017cenie b\u0119d\u0105ce bohaterem tego eseju, zwane zdaniem g\u00f6dlowskim.<\/em> Swe kluczowe znaczenie\u00a0dla\u00a0 dyskutowanego problemu zawdzi\u0119cza ono temu, \u017ce wyst\u0119puje w dw\u00f3ch wersjach. Jedna z nich jest samopotwierdzalna w spos\u00f3b oczywisty i bezpo\u015bredni. Druga za\u015b dzi\u0119ki temu, \u017ce\u00a0 z pierwsz\u0105 jest r\u00f3wnowa\u017cna, okazuje si\u0119 r\u00f3wnie\u017c samopotwierdzalna. \u00a0 Ta druga jest sformu\u0142owana w j\u0119zyku arytmetyki, co b\u0119dzie nam przypomina\u0142 skr\u00f3t AG – Arytmetyczne zdanie G\u00f6dlowskie<\/em>. Pierwsza jest sformu\u0142owana w j\u0119zyku, kt\u00f3rym si\u0119 m\u00f3wi o arytmetyce, czyli w jej metaj\u0119zyku, st\u0105d skr\u00f3t MAG – MetaArytmetyczne<\/em> zdanie G\u00f6dlowskie<\/em>. W obecnym odcinku zajmiemy si\u0119 AG-iem,\u00a0 a MAG-iem w odcinku nast\u0119pnym.<\/p>\n

\u017beby zrozumie\u0107 istot\u0119 zda\u0144 samopotwierdzalnych, trzeba mie\u0107 na uwadze, \u017ce zdanie takie\u00a0 bierze si\u0119 z zanegowania jakiego\u015b zdania antynomialnego czyli, kr\u00f3cej, antynomii. Antynomia <\/em>jest to wypowied\u017a, z kt\u00f3rej wynika jej w\u0142asne zaprzeczenie, co j\u0105 nieuchronnie skazuje na fa\u0142szywo\u015b\u0107. A je\u015bli antynomia jest z konieczno\u015bci fa\u0142szywa, to jej zaprzeczenie musi by\u0107 prawdziwe na mocy samej swej tre\u015bci, co znaczy, \u017ce jest zdaniem\u00a0 samopotwierdzalnym.<\/p>\n

Nim opiszemy ten mechanizm dla zdania g\u00f6dlowskiego, przyjrzyjmy si\u0119 mu na przyk\u0142adzie s\u0142ynnej antynomii k\u0142amcy, wyst\u0119puj\u0105cej w rozmaitych szatach s\u0142ownych. Rozwa\u017cmy j\u0105 ubran\u0105 w kr\u00f3tkie zdanie, kt\u00f3re oznaczymy jako: Ant.1 – JESTEM ZAWSZE\u00a0OMYLNY. To znaczy, cokolwiek s\u0105dz\u0119, zawsze to jest fa\u0142szywe.\u00a0 W takim razie, fa\u0142szywe jest r\u00f3wnie\u017c zdanie \u00a0Ant.1, a w takim razie prawdziwe jest jego zaprzeczenie, czyli s\u0105d, \u017ce nie zawsze jestem omylny. Gdy uznaje za prawd\u0119 jaki\u015b s\u0105d (tutaj Ant.1) i zarazem musz\u0119 uzna\u0107 jego konsekwencj\u0119 stanowi\u0105c\u0105 jego zaprzeczenie, to popadam w sprzeczno\u015b\u0107, co mnie zobowi\u0105zuje do odrzucenia s\u0105du Ant.1.\u00a0 Odrzucenie go oznacza, i\u017c uznaj\u0119 za prawd\u0119, \u017ce nie zawsze jestem nieomylny” czyli SP.1 : CZASEM JESTEM OMYLNY. To\u00a0 wnioskowanie ka\u017ce zaliczy\u0107 SP.1 do zda\u0144 samopotwierdzalnych.\u00a0 Skoro bowiem\u00a0 jego zaprzeczeniem jest zdanie antynomialne,\u00a0 a wi\u0119c sprzeczno\u015b\u0107, zobowi\u0105zuje to,\u00a0 pod sankcj\u0105 popadni\u0119cia w antynomi\u0119,\u00a0 do uznania s\u0105du SP.1 za prawd\u0119\u00a0 na mocy samej jego tre\u015bci, bez potrzeby konfrontowania z jakimi\u015b faktami; a to znaczy, \u017ce jego potwierdzenie dokonuje si\u0119 samo, niejako automatycznie.<\/p>\n

MAG jest zdaniem, kt\u00f3re stwierdza o sobie samym,\u00a0 \u017ce w arytmetyce liczb naturalnych nie ma da\u0144 dowodu formalnego. To znaczy takiego, \u017ce regu\u0142y dowodzenia twierdze\u0144, to jest, wyprowadzania ich z aksjomat\u00f3w,\u00a0 maj\u0105 charakter czysto formalny czyli odnosz\u0105 si\u0119 do fizycznego kszta\u0142tu ci\u0105g\u00f3w symboli, nie za\u015b do ich sensu. T\u0119 cech\u0119 odwo\u0142ywania si\u0119 przez regu\u0142y wy\u0142\u0105cznie do fizycznej postaci symboli, to znaczy do ich kszta\u0142tu i usytuowania w przestrzeni, dow\u00f3d formalny podziela z\u00a0 procedurami algorytmicznymi. Mo\u017cna go jeszcze bardziej przybli\u017cy\u0107 do algorytmu, tak dobieraj\u0105c regu\u0142y dowodzenia, \u017ceby w przypadku ka\u017cdej daj\u0105cej si\u0119 dowie\u015b\u0107 formu\u0142y\u00a0 dow\u00f3d doprowadza\u0142 do niej w spos\u00f3b mechaniczny, to znaczy bez potrzeby pos\u0142ugiwania si\u0119 jak\u0105kolwiek inwencj\u0105 (podczas gdy dowody twierdze\u0144 matematycznych nie korzystaj\u0105ce z takiej procedury wymagaj\u0105 czasem od matematyk\u00f3w nieprzeci\u0119tnej inwencji).\u00a0 W obecnym jednak rozwa\u017caniu ta druga cecha, mechaniczno\u015b\u0107 dochodzenia do konkluzji, nie jest istotna, jest natomiast istotny \u00f3w formalny charakter krok\u00f3w dowodowych.\u00a0 B\u0119dziemy go mieli w domy\u015ble, ilekro\u0107 dalej b\u0119dzie mowa o dowodzie lub dowodliwo\u015bci; domy\u015ble b\u0119dzie tak\u017ce to, \u017ce chodzi o dow\u00f3d wychodz\u0105cy z aksjomat\u00f3w arytmetyki liczb naturalnych. Pomijaj\u0105c, dla skr\u00f3tu, te klauzule rozwa\u017camy nast\u0119puj\u0105c\u0105 wypowied\u017a, w kt\u00f3rej\u00a0 ,,dowodliwe” znaczy, \u017ce zdanie da si\u0119 dowie\u015b\u0107 na podstawie aksjomat\u00f3w, nie koniecznie natomiast dow\u00f3d ten ma by\u0107 aktualnie wykonany.<\/p>\n

MAG:\u00a0 Niniejsze zdanie nie jest dowodliwe.<\/em><\/p>\n

Jest to zdanie samopotwierdzalne, a wi\u0119c z konieczno\u015bci prawdziwe – przy za\u0142o\u017ceniu, \u017ce s\u0105 prawdziwe, a wi\u0119c nie rodz\u0105ce sprzeczno\u015bci, aksjomaty arytmetyczne.<\/em> Jest to za\u0142o\u017cenie istotne; na nim\u00a0 si\u0119 opiera nast\u0119puj\u0105ca argumentacja. Gdyby MAG by\u0142o zdaniem fa\u0142szywym, to\u00a0 by\u0142oby dowodliwe. A jako dowodliwe na podstawie prawdziwych przes\u0142anek, to jest, wynikaj\u0105ce z aksjomat\u00f3w na mocy regu\u0142 logiki, by\u0142oby\u00a0 prawdziwe. Tak wi\u0119c,\u00a0 zaprzeczenie zdania MAG implikuje jego prawdziwo\u015b\u0107. Gdy jakie\u015b zdanie wynika z w\u0142asnego zaprzeczenia, trudno o mocniejszy argument na rzecz jego prawdziwo\u015bci.\u00a0 Certyfikatem dla tego argumentu jest prawo logiki: (Np\u2192p)\u2192p<\/em>; mo\u017cna by je nazwa\u0107 prawem samopotwierdzania.<\/p>\n

Rozumowanie to ma by\u0107 punktem wyj\u015bcia dla argumentacji,\u00a0 \u017ce istniej\u0105 w arytmetyce zdania prawdziwe, a nie daj\u0105ce si\u0119 dowie\u015b\u0107 formalnie. Tak jednak,\u00a0 jak to zdanie obecnie wygl\u0105da,\u00a0 nie ma w nim odniesienia do arytmetyki (poza domy\u015bln\u0105 klauzul\u0105, \u017ce chodzi\u00a0 o dow\u00f3d na podstawie aksjomat\u00f3w tej teorii).\u00a0 Wszak niedowodliwe ma by\u0107 jakie\u015b jakie\u015b zdanie w j\u0119zyku arytmetyki, m\u00f3wi\u0105ce co\u015b o liczbach,\u00a0 MAG natomiast jest zdaniem z jej metaj\u0119zyka.\u00a0 Potrzebne jest wi\u0119c co\u015b w rodzaju przek\u0142adu tego zdania metaj\u0119zykowego na j\u0119zyk arytmetyczny. A m\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, powinno to by\u0107 co\u015b wi\u0119cej ni\u017c przek\u0142ad bo to zdanie arytmetyczne, podzielaj\u0105c z MAG-iem przypisanie sobie samemu niedowodliwo\u015bci (w czym jest podobie\u0144stwo do przek\u0142adu), powinno wyra\u017ca\u0107 ponadto\u00a0 jak\u0105\u015b prawd\u0119 arytmetyczn\u0105 (czego MAG nie czyni).\u00a0 Zabieg, kt\u00f3ry tu si\u0119 wykonuje nazywa si\u0119 technicznie odwzorowaniem<\/em>,\u00a0 w takim sensie, w jakim m\u00f3wi si\u0119 np. o odwzorowaniu pewnej geometrii nie-euklidesowej w geometrii Euklidesa. Odwzorowanie teorii A w teorii B gwarantuje, \u017ce ka\u017cde twierdzenie prawdziwe w A, gdy si\u0119 je odwzoruje w B,\u00a0 tak\u017ce w B b\u0119dzie prawdziwe.\u00a0\u00a0 W obecnym zagadnieniu chodzi o to, \u017ceby odwzorowa\u0107 MAG w arytmetycznym zdaniu g\u00f6dlowskim AG.<\/p>\n

\u00a7<\/em>4.\u00a0 AG: samopotwierdzalne Arytmetyczne zdanie G\u00f6dlowskie <\/strong><\/p>\n

Metod\u0105 odwzorowania u\u017cyt\u0105 przez G\u00f6dla jest pewien system kodowania napis\u00f3w za pomoc\u0105 cyfr. W ten spos\u00f3b zdanie MAG zamieni si\u0119 w formu\u0142\u0119 utworzon\u0105 z cyfr, a wi\u0119c nale\u017c\u0105c\u0105 do j\u0119zyka arytmetyki. Opis tej metody, nawet poczyniony w wielkim skr\u00f3cie, musi by\u0107 do\u015b\u0107 obszerny, tote\u017c aby nie odci\u0105ga\u0107 uwagi od g\u0142\u00f3wnego nurtu argumentacji, odsy\u0142am do opisu, kt\u00f3ry da\u0142em wcze\u015bniej (esej 17, \u00a73 dotycz\u0105cy arytmetyzacji j\u0119zyka) z my\u015bl\u0105 o przygotowaniu do obecnych rozwa\u017ca\u0144.<\/p>\n

Za spraw\u0105 procedury kodowania ka\u017cde zdanie zapisane w j\u0119zyku logiki predykat\u00f3w, czy to arytmetyczne, czy meta-arytmetyczne, jest reprezentowane przez liczb\u0119 zwan\u0105 jego numerem g\u00f6dlowskim.\u00a0 Trzeba wi\u0119c zacz\u0105\u0107 od zapisania zdania MAG w postaci formu\u0142y logicznej.\u00a0 Pierwszym przybli\u017ceniem jest\u00a0 nast\u0119puj\u0105ca formu\u0142a, w pewien spos\u00f3b pochodna od MAG\u00a0 (co sygnalizuje\u00a0 apostrof).<\/p>\n

MAG’:\u00a0 Dla zdania g nie istnieje ci\u0105g formu\u0142 <\/em> x – taki, \u017ce<\/em> D(x, g).<\/em><\/p>\n

Predykat „D<\/em>” czytamy „jest dowodem”.\u00a0 Zwrot „nie istnieje” ma w logice odpowiednik z\u0142o\u017cony z dw\u00f3ch symboli, kt\u00f3rym s\u0105 przypisane numery g\u00f6dlowskie (por. 17,\u00a0\u00a0 \u00a73.1; w jednym z uj\u0119\u0107 rozumowania G\u00f6dla s\u0105 to liczby: 1 dla negacji oraz 4 dla kwantyfikatora egzystencjalnego). \u00a0 Zmiennej x,<\/em> r\u00f3wnie\u017c jest przypisany przez nasz klucz kodowy pewien numer,\u00a0 kt\u00f3ry oznaczymy przez x*<\/em>. Mamy te\u017c metod\u0119 obliczania numeru ca\u0142ego wyra\u017cenia jako liczby zale\u017cnej od wy\u017cej podanych.\u00a0 Trzeba jeszcze tylko dysponowa\u0107 symbolem dla zapisania relacji arytmetycznej zachodz\u0105cej mi\u0119dzy\u00a0 g<\/em>*\u00a0 jako numerem zdania g\u00f6dlowskiego g<\/em> oraz\u00a0 x*<\/em> jako numerem ci\u0105gu formu\u0142 x. <\/em>Relacja ta jest arytmetycznym odwzorowaniem stosunku, kt\u00f3ry nazywamy w metaj\u0119zyku dowodzeniem; oznaczmy j\u0105 przez D*<\/em> (gwiazdki\u00a0 tu i wcze\u015bniej oznaczaj\u0105\u00a0 odwzorowania poj\u0119\u0107 metaj\u0119zykowych\u00a0 w arytmetycznych). I tak otrzymamy formu\u0142\u0119 arytmetyczn\u0105:<\/p>\n

AG: \u00ac\u2211x* D*(x*, g*).<\/em><\/p>\n

Pominiemy te\u017c kwesti\u0119,\u00a0 zbyt dla tych rozwa\u017ca\u0144 techniczn\u0105, obliczenia warto\u015bci liczbowej D*. Pominiemy te\u017c szczeg\u00f3\u0142y techniczne rozwi\u0105zywania\u00a0 innej kwestii, ale\u00a0 jej samej nie mo\u017cemy tu ignorowa\u0107,\u00a0 jest\u00a0 bowiem dla naszej argumentacji kluczowa.<\/p>\n

Jest to pytanie, jak odda\u0107 s\u0142owo „niniejsze”, kt\u00f3re pe\u0142ni istotn\u0105 rol\u0119 w MAG, a kt\u00f3rego nie ma w MAG’\u00a0 (by\u0142o na to za wcze\u015bnie w tym pierwszym przybli\u017ceniu).\u00a0 Problem w tym, \u017ce w j\u0119zyku logicznym nie ma \u015brodk\u00f3w by odda\u0107 tego rodzaju s\u0142owa. W logicznej teorii j\u0119zyka nosz\u0105 one miano wyra\u017ce\u0144 okazjonalnych; mo\u017cna te\u017c rzec sytuacyjnych,\u00a0 maj\u0105 one bowiem t\u0119 osobliwo\u015b\u0107, \u017ce zachowuj\u0105c wci\u0105\u017c to samo brzmienie nieustannie zmieniaj\u0105 sens w zale\u017cno\u015bci od kontekstu sytuacyjnego, czyli okazji u\u017cycia zwi\u0105zanej z okoliczno\u015bciami czasu lub przestrzeni S\u0142owo „dzi\u015b” np. oznacza inny dzie\u0144, gdy si\u0119 je wypowie 1-go, a inny 2-go stycznia.<\/p>\n

Podobnie jest ze s\u0142owem „niniejsze”. \u00a0 \u017beby mog\u0142o ono co\u015b oznacza\u0107,\u00a0 trzeba\u00a0 stworzy\u0107 odpowiedni kontekst sytuacyjny, ale formu\u0142y matematyczne to s\u0105 w\u0142a\u015bnie takie, kt\u00f3re kontekstu takiego nie potrzebuj\u0105 i nawet mie\u0107 go nie mog\u0105, dotycz\u0105 bowiem obiekt\u00f3w bytuj\u0105cych poza czasem i przestrzeni\u0105. A jednak G\u00f6del znalaz\u0142 wielce pomys\u0142owy spos\u00f3b na stworzenie odpowiedniego kontekstu, kt\u00f3ry dostarcza\u00a0 ekwiwalentu dla s\u0142owa „niniejsze”. Sta\u0142 si\u0119 on mo\u017cliwy tylko dzi\u0119ki arytmetyzacji metaj\u0119zyka, a polega na tym, \u017ceby pisz\u0105c formu\u0142\u0119 AG, t\u0119\u00a0 jej\u00a0 sygnatur\u0119 zast\u0105pi\u0107 numerem formu\u0142y, i to koniecznie w taki spos\u00f3b, \u017ceby wypad\u0142 to numer g*<\/em>. Jak to zrobi\u0107, jest to nader skomplikowany problem, kt\u00f3rego rozwi\u0105zanie jest majstersztykiem techniki obliczeniowej G\u00f6dla. Nie b\u0119dziemy pr\u00f3bowali za ni\u0105 nad\u0105\u017cy\u0107, poprzestaniemy na przyjrzeniu si\u0119 wynikowi, kt\u00f3rego zapisem jest wiersz zaczynaj\u0105cy si\u0119 od numeru formu\u0142y, przy czym numer ten jest liczb\u0105 g*<\/em>,\u00a0 o kt\u00f3rej dana formu\u0142a stwierdza, \u017ce nie istnieje\u00a0 liczba x*<\/em>, kt\u00f3ra by\u0142aby numerem ci\u0105gu formu\u0142 b\u0119d\u0105cego dowodem formu\u0142y numerowanej liczb\u0105 g* <\/em>; a to znaczy, \u017ce oznaczona t\u0105 liczb\u0105 formu\u0142a g <\/em>nie ma w arytmetyce dowodu. Oto \u00f3w zapis:<\/p>\n

g*:\u00a0 \u00ac\u2211x* D*(x*, g*).<\/em><\/p>\n

Operowanie tym napisem wymaga nieco wyobra\u017ani. Trzeba sobie wyobrazi\u0107, \u017ce na miejscach gwiazdkowanych liter wyst\u0119puj\u0105 jakie\u015b konkretne liczby (ich zapisy by\u0142yby tak d\u0142ugie, \u017ce niewykonalne praktycznie na papierze).\u00a0 Mamy wi\u0119c do czynienia z twierdzeniem arytmetycznym, kt\u00f3re ma nam do powiedzenia dwie rzeczy: jedn\u0105, \u017ce zachodzi\u00a0 pewien fakt arytmetyczny, drug\u0105, \u017ce formu\u0142a z numerem g*\u00a0 nie ma dowodu formalnego z aksjomat\u00f3w arytmetyki. Tu drugie mo\u017ce by\u0107 kolejnym wyzwaniem dla naszej wyobra\u017ani, gdy ju\u017c poradzili\u015bmy sobie z wcze\u015bniejszym, \u017ceby w gwiazdkowanych symbolach upatrywa\u0107 liczby. Jak jednak dopatrze\u0107 si\u0119 w formule numer g*\u00a0 informacji o jej niedowodliwo\u015bci?<\/p>\n

Pom\u00f3\u017cmy sobie nast\u0119puj\u0105ca histori\u0105 w roli przyk\u0142adu, nie do ko\u0144ca mo\u017ce realistycznego, ale w granicach fizycznej i spo\u0142ecznej\u00a0 wykonalno\u015bci. Wyobra\u017amy sobie, \u017ce w pewnej wysoko zinformatyzowanej uczelni frekwencja na zaj\u0119ciach jest kontrolowana przez nast\u0119puj\u0105c\u0105 procedur\u0119. Ka\u017cdy przedmiot wyk\u0142adowy jest oznaczony pewnym numerem, numerowane s\u0105 tak\u017ce kolejne wyk\u0142ady z tego przedmiotu (np. 5,2 to drugi wyk\u0142ad z przedmiotu numer pi\u0119\u0107).\u00a0 Oczywi\u015bcie, ka\u017cdy student ma student ma sw\u00f3j w\u0142asny numer umieszczony w elektronicznej karcie stanowi\u0105cej legitymacj\u0119. Wchodz\u0105c do sali wyk\u0142adowej student rejestruje obecno\u015b\u0107 przez okazanie swej karty czytnikowi, kt\u00f3ry na \u017cyczenie drukuje listy z\u0142o\u017cone z samych zapis\u00f3w cyfrowych,\u00a0 np. na li\u015bcie pod tytu\u0142em 5,2 znajd\u0105 si\u0119 numery kart student\u00f3w zarejestrowane w danym dniu, m.in. numer 99. Taki wydruk informuje o pewnych relacjach liczbowych,\u00a0 np. \u017ce 99 znajduje si\u0119 w zbiorze liczb oznaczonym liczb\u0105 5,2.\u00a0 Ale nie tylko. Kto zna klucz kodowy<\/em> zastosowany do numerycznego odwzorowania<\/em> os\u00f3b (studenci) i zdarze\u0144 (wyk\u0142ady), temu jeden z napis\u00f3w na wydruku powie, \u017ce Jan Dyl\u0105g (student nr 99) nie by\u0142 obecny na drugim wyk\u0142adzie z zakresu przemys\u0142owej hodowli kaczek (przedmiot nr 5). \u00a0 Je\u015bli pod koniec roku oka\u017ce si\u0119 po przejrzeniu wszystkich list, \u017ce nie ma numeru takiej listy, na kt\u00f3rej widnia\u0142aby cyfra „99”, b\u0119dzie to zarazem<\/span> informacja, \u017ce\u00a0 nie ma takiego wyk\u0142adu, kt\u00f3ry Jan Dyl\u0105g\u00a0 zaszczyci\u0142by sw\u0105 obecno\u015bci\u0105.\u00a0 Przypomina to po cz\u0119\u015bci struktur\u0119 formu\u0142y z numerem g*, kt\u00f3ra na takiej\u00a0 samej zasadzie – odwzorowania przez kodowanie numeryczne – informuje, \u017ce nie ma takiej liczby, kt\u00f3ra by\u0142aby numerem ci\u0105gu formu\u0142 dowodz\u0105cego zdania numerowanego liczb\u0105 g*.<\/p>\n

W powy\u017cszym przyk\u0142adzie dwie informacje, nazwijmy je, numeryczna i faktograficzna, s\u0105\u00a0 r\u00f3wnowa\u017cne inferencyjnie, to znaczy, ka\u017cda z nich da si\u0119 wywnioskowa\u0107 z drugiej.\u00a0 Z tego,\u00a0 \u017ce na wszystkich listach brak numeru 99 wynika niezawodnie fakt,\u00a0 \u017ce na wszystkich wyk\u0142adach brak by\u0142o Dyl\u0105ga. I odwrotnie, z faktu nieobecno\u015bci Dyl\u0105ga wynika informacja o stanie zapis\u00f3w numerycznych na listach. A zatem, prawdziwo\u015b\u0107 ka\u017cdej z tych dwu informacji gwarantuje prawdziwo\u015b\u0107 drugiej.<\/p>\n

To,\u00a0 \u017ce wnioskowa\u0107 o prawdziwo\u015bci\u00a0 mo\u017cna w obu kierunkach, ma kluczowe znaczenie dla argumentacji o istnieniu w\u00a0 arytmetyce zda\u0144 niedowodliwych formalnie. Zdaniem,\u00a0 kt\u00f3rego prawdziwo\u015b\u0107 potrafimy rozpozna\u0107 jest wypowied\u017a metaj\u0119zykowa\u00a0 MAG, a dzi\u0119ki owej r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci zyskujemy\u00a0 pewno\u015b\u0107 o prawdziwo\u015bci zdania arytmetycznego na temat liczby g, maj\u0105cego numer\u00a0 g*. A \u017ce to zdanie m\u00f3wi o nieistnieniu liczby, kt\u00f3ra reprezentowa\u0142aby\u00a0 jego formalny dow\u00f3d, po\u015brednio stwierdza brak takiego dowodu czyli sw\u0105 niedowodliwo\u015b\u0107.\u00a0 Istnieje przeto w arytmetyce liczb naturalnych zdanie prawdziwe, kt\u00f3rego nie da si\u0119 formalnie dowie\u015b\u0107 z aksjomat\u00f3w arytmetyki.\u00a0 Podsumowujemy to okre\u015bleniem, \u017ce arytmetyka liczb naturalnych jest teori\u0105 niezupe\u0142n\u0105. <\/em><\/p>\n

\u00a75.\u00a0 Humanistyczna interpretacja niezupe\u0142no\u015bci\u00a0 arytmetyki<\/strong><\/p>\n

Przys\u0142owiowe stawianie kropki nad ,,i” jest zabiegiem jak najw\u0142a\u015bciwszym, jako \u017ce ,,i” bez kropki nie by\u0142oby sob\u0105.\u00a0 Stawianie dwu kropek by\u0142oby stanowczo przesad\u0105, a\u00a0 jednak dopuszcza si\u0119\u00a0 czego\u015b takiego w tym ko\u0144cowym odcinku. Powtarzam tu bowiem r\u00f3\u017cne rzeczy wcze\u015bniej w tym eseju na r\u00f3\u017cnych miejscach powiedziane. Usprawiedliwia to, jak s\u0105dz\u0119,\u00a0 tego rodzaju sytuacja, \u017ce pewne rzeczy powiedziane w dw\u00f3ch pierwszych odcinkach, przed zdaniem sprawy z argumentacji G\u00f6dla, maj\u0105 by\u0107 szans\u0119 g\u0142\u0119biej zrozumiane i przyswojone po zaznajomieniu si\u0119 z\u00a0 owym sprawozdaniem. Trzeba wi\u0119c stworzy\u0107 mozliwo\u015b\u0107 zetkni\u0119cia si\u0119 z nimi raz jeszcze.\u00a0 To tak, jak drugie widzenie si\u0119\u00a0 z kim\u015b raz ju\u017c spotkanym, gdy po pierwszym zapoznali\u015bmy si\u0119 z jego \u017cyciorysem; teraz\u00a0 patrzymy na jego posta\u0107 jakby innymi oczami.<\/p>\n

I tak, powracaj\u0105c do ko\u0144cowego zdania poprzedniego odcinka, postawmy pytanie: dobrze to czy \u017ale dla poznawania \u015bwiata, \u017ce arytmetyka jest\u00a0 niezupe\u0142na?\u00a0 Znaczna, mo\u017ce przewa\u017caj\u0105ca, cz\u0119\u015b\u0107 badaczy i autor\u00f3w pytania takiego nie stawia, uwa\u017caj\u0105c za oczywisty pogl\u0105d, \u017ce to \u017ale; pisuje si\u0119 nawet w dramatycznym niekiedy tonie, \u017ce jest to dotkliwa pora\u017cka nauki, bo przecie\u017c powo\u0142aniem nauki jest dowodzenie twierdze\u0144, a tu taka bariera dla dowodzenia!\u00a0 Najg\u0142o\u015bniejszy lament pochodzi z kr\u0119gu tych filozof\u00f3w, kt\u00f3rych ulubionym s\u0142\u00f3wkiem, streszczaj\u0105cym ich g\u0142\u00f3wn\u0105 tendencj\u0119 jest „tylko”.\u00a0 Stamt\u0105d s\u0142yszymy takie maksymy, jak\u00a0 „cz\u0142owiek to tylko jeden z gatunk\u00f3w zwierz\u0119cych”, „moralno\u015b\u0107 to tylko zbi\u00f3r uwarunkowanych\u00a0 historycznie konwencji”, i tak dalej, a w\u015br\u00f3d nich jest i ta sentencja: „umys\u0142 to tylko m\u00f3zg, a m\u00f3zg to tylko maszyna Turinga”.<\/p>\n

Tylko ta ostatnia maksyma \u0142\u0105czy si\u0119 bezpo\u015brednio z naszym problemem,\u00a0 inne za\u015b przytoczy\u0142em po to,\u00a0 by wskaza\u0107 na humanistyczny aspekt\u00a0 s\u0105d\u00f3w z tej kategorii. Wszystkie one dotycz\u0105 pytania ,,czym jest cz\u0142owiek?”, a wi\u0119c tego, w kt\u00f3rym ogniskuje si\u0119 humanistyka.\u00a0 Jest\u00a0 \u00f3w humanistyczny aspekt obecny tak\u017ce w zagadnieniu niezupe\u0142no\u015bci arytmetyki,\u00a0 \u015bci\u015ble powi\u0105zanym z ide\u0105 uniwersalnej maszyny Turinga.<\/p>\n

Zwi\u0105zek ten sygnalizuje s\u0142owo „formalny”, kt\u00f3re w tego rodzaju rozwa\u017caniach skrupulatnie trzeba dodawa\u0107 do s\u0142owa „dow\u00f3d”. Dow\u00f3d formalny to\u00a0 taki, kt\u00f3rego regu\u0142y dotycz\u0105 jedynie fizycznej formy wyra\u017ce\u0144, a wi\u0119c ich kszta\u0142tu i po\u0142o\u017cenia, a nie ich sensu, intencji, czy wyra\u017canej w nich intuicji. Zdanie niedowodliwe w sensie argumentacji G\u00f6dla to zdanie nie daj\u0105ce si\u0119 dowie\u015b\u0107 formalnie. Tylko takich mo\u017ce dotyczy\u0107 ca\u0142y jego wyw\u00f3d, bo tylko takie poddaj\u0105 si\u0119 kodowaniu numerycznemu. Jak to podkre\u015bla\u0142 Turing, kodowa\u0107 numerycznie mo\u017cna tylko fizyczne symbole. a wi\u0119c elementy tworz\u0105ce sekwencje dyskretne, czyli nieci\u0105g\u0142e, nie da si\u0119 natomiast kodowa\u0107 w ten spos\u00f3b my\u015bli,\u00a0 te bowiem si\u0119 zlewaj\u0105 w nieprzerwany strumie\u0144 \u015bwiadomo\u015bci, gdzie nie da si\u0119 wydziela\u0107\u00a0 odr\u0119bnych element\u00f3w, ka\u017cdy do oznaczenia osobnym numerem.<\/p>\n

Uprzytomnienie\u00a0 kluczowej r\u00f3\u017cnicy mi\u0119dzy tym,\u00a0 co ci\u0105g\u0142e i tym, co dyskretne, matematycznie oddanej\u00a0 w odr\u00f3\u017cnieniu\u00a0 liczb rzeczywistych od naturalnych,\u00a0 stanowi podstaw\u0119 dla humanistycznej interpretacji G\u00f6dlowskiego odkrycia niezupe\u0142no\u015bci arytmetyki. W tych bowiem kategoriach trzeba nam zdefiniowa\u0107 umys\u0142 ludzki dla odr\u00f3\u017cnienia go od maszyny Turinga. Maszyna rozwi\u0105zuje problemy tylko drog\u0105 procedur dyskretnych, umys\u0142 za\u015b ma do dyspozycji tak\u017ce ci\u0105g\u0142e. Operuj\u0105c\u0105 nimi w\u0142adz\u0119 umys\u0142u okre\u015blamy,\u00a0 wzorem Turinga, mianem intuicji. <\/em>Wiadomo\u015b\u0107 przeto, i\u017c pewnych\u00a0 prawd nie da si\u0119 dowie\u015b\u0107 formalnie,\u00a0 a wi\u0119c procedur\u0105 dyskretn\u0105,\u00a0 w spos\u00f3b maszynowy, k\u0142adzie tam\u0119 mo\u017cliwo\u015bciom maszyny, ale nie potencja\u0142owi ludzkiego umys\u0142u z jego talentem my\u015blenia intuicyjnego.<\/p>\n

Wszak\u00a0 argumentacja G\u00f6dla prowadz\u0105ca do wniosku o niezupe\u0142no\u015bci arytmetyki, uznana przez \u015bwiat uczonych za bezb\u0142\u0119dn\u0105 i\u00a0 fundamentaln\u0105, nie jest bynajmniej dowodem formalnym. Tym nie mniej bez wahania m\u00f3wi si\u0119 w literaturze naukowej o dowodzie twierdzenia G\u00f6dla, nie deprecjonuj\u0105c go bynajmniej z powodu charakteru nieformalnego.\u00a0 To jedno powinno wystarczy\u0107, \u017ceby uciszy\u0107 lament\u00a0 licznych autor\u00f3w z powodu g\u00f6dlowskiego odkrycia\u00a0 jako maj\u0105cego rzekomo ogranicza\u0107 aspiracje poznawcze umys\u0142u. Dowi\u00f3d\u0142szy nieformalnie niemo\u017cliwo\u015bci formalnego dowodu pewnych\u00a0 prawd rozpoznawanych jako prawdy w spos\u00f3b nieformalny, G\u00f6del wyni\u00f3s\u0142 umys\u0142 ludzki na wy\u017cyny, z kt\u00f3rych mo\u017ce spogl\u0105da\u0107 z g\u00f3ry na plemi\u0119 robot\u00f3w.<\/p>\n

To jest jeden aspekt humanistyczny odkrycia G\u00f6dla. Dotyczy on natury ludzkiego umys\u0142u i potencja\u0142u w\u0142a\u015bciwej mu intuicji jako przewodniczki rozumowa\u0144. Jest jeszcze inny, odnosz\u0105cy si\u0119 do rytmu i dynamiki rozwoju cywilizacyjnego. Zwa\u017cmy, jak wielk\u0105 w nim rol\u0119 odegra\u0142y algorytmy.\u00a0 Pomy\u015blmy,\u00a0 jaki by\u0142by kszta\u0142t cywilizacji, gdyby nie wynaleziono pozycyjnej notacji arytmetycznej. A przecie\u017c to tylko ona umo\u017cliwia dokonywanie niezliczonych i czasem zawrotnie z\u0142o\u017conych oblicze\u0144, jakich wymaga nowo\u017cytna cywilizacja (notacja rzymska z trudno\u015bci\u0105, wystarcza\u0142a na potrzeby cywilizacji antycznej i \u015bredniowiecznej,\u00a0 ale to by\u0142 limit jej mo\u017cliwo\u015bci). A jedna z notacji pozycyjnych, mianowicie binarna,\u00a0 jest tym,\u00a0 bez czego nie mog\u0142aby nasta\u0107 era informatyczna.\u00a0 Notacja pozycyjna to nic innego jak algorytm zapisywania w spos\u00f3b automatyczny (bez potrzeby wymy\u015blania wci\u0105\u017c nowych oznacze\u0144 i regu\u0142\u00a0 zapisu) dowolnie wielkich liczb. Gdyby jaki\u015b wirus odebra\u0142 naszym\u00a0 m\u00f3zgom zdolno\u015b\u0107 jej rozumienia i pos\u0142ugiwania si\u0119 ni\u0105, cywilizacja wstrzyma\u0142aby sw\u00f3j p\u0119d i zacz\u0119\u0142a gwa\u0142townie si\u0119 stacza\u0107.<\/p>\n

Wszechobecno\u015b\u0107\u00a0 i niezb\u0119dno\u015b\u0107 algorytm\u00f3w objawia si\u0119 dzi\u015b na ka\u017cdym kroku posiadaczom i u\u017cytkownikom urz\u0105dze\u0144 elektronicznych. Za ka\u017cdym uderzeniem w klawiatur\u0119,\u00a0 za ka\u017cd\u0105 funkcj\u0105 pralki, telefonu, bankomatu czy komputera,\u00a0 kryje si\u0119 jaki\u015b algorytm.\u00a0 Ta wszech-skuteczno\u015b\u0107 algorytm\u00f3w jest tym, co sprawia, ze coraz wi\u0119cej czasu i energii mo\u017cemy po\u015bwi\u0119ca\u0107 na tw\u00f3rcze my\u015blenie, wiedzione nasz\u0105 intuicj\u0105 intelektualn\u0105. Gdybym ten esej pisa\u0142 na mojej\u00a0 starej poczciwej maszynie marki Remington (rocznik 1930)\u00a0 zu\u017cy\u0142bym niepomiernie wi\u0119cej czasu oraz znu\u017cy\u0142 m.in. poprawianiem liter\u00f3wek (b\u0142\u0119dy wymazywa\u0142o si\u0119 \u017cyletk\u0105). Ile\u017c mniej mia\u0142bym\u00a0 wtedy czasu i si\u0142y na potrzebn\u0105 do tych wywod\u00f3w prac\u0119.<\/p>\n

Szczeg\u00f3lnie brzemiennym w konsekwencje rysem cywilizacji jest to, \u017ce dwa pot\u0119\u017cne strumienie tw\u00f3rczej\u00a0 intuicji s\u0105 kierowane na wytwarzanie nowych algorytm\u00f3w. Jest\u00a0 wytwarzanie bezpo\u015brednie, kt\u00f3rym zajmuj\u0105 si\u0119 programi\u015bci,\u00a0 jest te\u017c po\u015brednie, a zarazem bardziej podstawowe, b\u0119d\u0105ce domen\u0105 matematyk\u00f3w. Ka\u017cda nowa teoria w matematyce czy nowe\u00a0 udowodnione twierdzenie to potencjalne \u017ar\u00f3d\u0142o nowych algorytm\u00f3w, kt\u00f3re przyjd\u0105 w sukurs wiedzionej intuicj\u0105 tw\u00f3rczo\u015bci, ta za\u015b wyprodukuje nast\u0119pne\u00a0 algorytmy wzmacniaj\u0105ce tw\u00f3rczo\u015b\u0107, kt\u00f3ra zaowocuje\u00a0 kolejnymi algorytmami.<\/p>\n

Tak dokonuje si\u0119 \u00f3w proces wnikania w\u00a0 dynamik\u0119 post\u0119pu gatunku ludzkiego poprzez refleksj\u0119 nad tw\u00f3rcz\u0105 natur\u0105 Cz\u0142owieka – w my\u015bl sentencji Alexandra Pope’a. Kt\u00f3\u017c mo\u017ce lepiej ni\u017c humanista proces ten rozumie\u0107 i obja\u015bnia\u0107 go innym? A warunkiem, by si\u0119 do tego powo\u0142ania przysposobi\u0107\u00a0 jest zapoznanie si\u0119 z tre\u015bci\u0105 i przes\u0142ankami twierdzenia G\u00f6dla. Obecny esej ma by\u0107 w tej materii zach\u0119t\u0105 oraz czym\u015b w rodzaju pierwszej pomocy.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Wprowadzenie. Pojawia\u0142a si\u0119 nieraz w dziejach my\u015bl, \u017ce dla ka\u017cdego\u00a0 dobrze postawionego problemu da si\u0119 znale\u017a\u0107 wiod\u0105cy do\u00a0 jego rozwi\u0105zania algorytm.\u00a0 Znajdujemy j\u0105 u Leibniza, Hilberta, neopozytywist\u00f3w, a w wydaniu najnowszym – u entuzjast\u00f3w tzw. silnej teorii sztucznej inteligencji. Algorytm … Czytaj dalej →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[],"class_list":["post-235","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-informatyzm"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/235","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=235"}],"version-history":[{"count":126,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/235\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":12828,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/235\/revisions\/12828"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=235"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=235"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=235"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}