{"id":2734,"date":"2012-12-23T20:56:54","date_gmt":"2012-12-23T20:56:54","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.marciszewski.eu\/?p=2734"},"modified":"2025-09-23T11:15:35","modified_gmt":"2025-09-23T09:15:35","slug":"horror-infiniti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/marciszewski.eu\/?p=2734","title":{"rendered":"Horror infiniti"},"content":{"rendered":"

Do niniejszego wpisu zainspirowa\u0142a mnie dyskusja nad zagadnieniem poznawczego optymizmu, w kt\u00f3rej pojawi\u0142o si\u0119 poj\u0119cie niesko\u0144czono\u015bci, a wraz z nim zosta\u0142o przywo\u0142ane cantorowskie okre\u015blenie strachu przed niesko\u0144czono\u015bci\u0105, czyli horror infiniti<\/em>.
\nWydaje mi si\u0119, \u017ce w\u0105tek \u00f3w zas\u0142uguje na osobn\u0105 dyskusj\u0119 \u2013 i st\u0105d niniejszy wpis.<\/p>\n

Zaczn\u0119 zgodnie ze swoim belferskim temperamentem. Ot\u00f3\u017c z moich szkolnych obserwacji wynika, \u017ce wielu uczni\u00f3w odczuwa odruchowy strach przed niesko\u0144czono\u015bci\u0105. Zwyk\u0142e liczby, nawet bardzo du\u017ce, i zwyk\u0142e dzia\u0142ania na nich, nawet do\u015b\u0107 skomplikowane \u2013 to jest dla uczniowskiej wyobra\u017ani co\u015b uchwytnego. Gdy natomiast przychodzi policzy\u0107 granic\u0119 funkcji przy x<\/em> d\u0105\u017c\u0105cym do niesko\u0144czono\u015bci \u2013 wtedy zjawia si\u0119 problem.
\nIntuicja uczniowska zawodzi na przyk\u0142ad wtedy, gdy pojawia si\u0119 wyra\u017cenie typu \u201ezero razy niesko\u0144czono\u015b\u0107\u201d (czyli m\u00f3wi\u0105c obrazowo: splataj\u0105 si\u0119 ze sob\u0105 dwa procesy, z kt\u00f3rych pierwszy prowadzi do wielko\u015bci coraz mniejszych, a drugi do wielko\u015bci coraz wi\u0119kszych), albo wyra\u017cenie typu \u201ejeden do pot\u0119gi niesko\u0144czono\u015b\u0107\u201d (czyli: jeden proces ci\u0105\u017cy ku jedynce, a r\u00f3wnoleg\u0142y do niego, ten w wyk\u0142adniku, p\u0119dzi ku niesko\u0144czono\u015bci). W wypadku pierwszym intuicja uczniowska podpowiada b\u0142\u0119dnie, \u017ce szukan\u0105 granic\u0105 musi by\u0107 zero (bo zero razy cokolwiek daje zero), a w drugim, \u017ce nieuchronnie musi wypa\u015b\u0107 jeden (bo jedynka podniesiona do dowolnej pot\u0119gi daje jedynk\u0119). Wiadomo tymczasem \u2013 o czym pouczaj\u0105 twierdzenia analizy matematycznej i wcale nietrywialny rachunek granic \u2013 \u017ce odpowied\u017a ka\u017cdorazowo zale\u017cy od dok\u0142adniejszego kszta\u0142tu \u201esplecionych ze sob\u0105\u201d wyra\u017ce\u0144, a m\u00f3wi\u0105c nieco inaczej: od tempa opisywanych przez nie proces\u00f3w. Przede wszystkim od tego, jak szybko dany proces zmierza ku niesko\u0144czono\u015bci, czyli jak \u201edu\u017ce\u201d niesko\u0144czono\u015bci wchodz\u0105 w gr\u0119.<\/p>\n

Mamy zatem jeden z objaw\u00f3w cantorowskiego horror infiniti<\/em>: chorob\u0119 jakby dzieci\u0119c\u0105, bo typow\u0105 dla os\u00f3b, kt\u00f3re stykaj\u0105 si\u0119 z niesko\u0144czono\u015bci\u0105 po raz pierwszy.
\nSk\u0105d si\u0119 \u00f3w objaw bierze? Z\u0142o\u015bliwo\u015bci\u0105 by\u0142oby stwierdzi\u0107, \u017ce z nieuctwa. Wydaje mi si\u0119, \u017ce po cz\u0119\u015bci z trudnej materii zagadnienia, a po cz\u0119\u015bci, z odruchowego protestu: \u201epo co to? po co bada\u0107 funkcje w jakich\u015b abstrakcyjnych sytuacjach granicznych (coraz bli\u017cej zera i coraz dalej, ku niesko\u0144czono\u015bci), skoro mamy kalkulator\/komputer i zawsze mo\u017cemy obliczy\u0107 warto\u015b\u0107 funkcji dla konkretnego x<\/em> (bardzo ma\u0142ego lub bardzo du\u017cego); co wi\u0119cej, mo\u017cemy obejrze\u0107 wykres funkcji na ekranie\u201d.
\nO niepoprawno\u015bci takiego nastawienia dalej.
\nTeraz za\u015b przejd\u017amy do filozof\u00f3w.<\/p>\n

Szczeg\u00f3lnie dobrym przyk\u0142adem filozoficznego horror infiniti<\/em> jest stosunek do zagadnienia indukcji, indukcji niezupe\u0142nej. Ot\u00f3\u017c zastanawiaj\u0105c si\u0119 nad istot\u0105 my\u015blenia o czymkolwiek (czy to o faktach z \u017cycia codziennego, czy to o faktach naukowych), nieuchronnie dochodzimy do wniosku, \u017ce ka\u017cda pr\u00f3ba uog\u00f3lnienia (indukcyjnego) musi by\u0107 zawodna. Niezliczon\u0105 ilo\u015b\u0107 razy wsiadamy do samochodu, przekr\u0119camy kluczyk w stacyjce i ruszamy \u2013 nie mo\u017cemy jednak przyj\u0105\u0107, \u017ce tak b\u0119dzie za ka\u017cdym razem. Podobnie w nauce: stawiamy dobrze uzasadnione hipotezy, akceptujemy je, bo maj\u0105 oparcie w dotychczas zaobserwowanych faktach \u2013 nie mo\u017cemy za\u0142o\u017cy\u0107 jednak, \u017ce jakie\u015b przysz\u0142e fakty ich nie obal\u0105.
\nPesymistycznym uog\u00f3lnieniem tego rodzaju spostrze\u017ce\u0144 jest wszelka my\u015bl sceptycka, g\u0142osz\u0105ca \u2013 m\u00f3wi\u0105c bardzo zgrubnie \u2013 \u017ce nie ma na \u015bwiecie nic pewnego, \u017ce nie istnieje \u017cadna niepow\u0105tpiewalna wiedza og\u00f3lna. A nie istnieje dlatego, \u017ce musia\u0142aby czerpa\u0107 swoje uzasadnienie z niesko\u0144czonej liczby przes\u0142anek i musia\u0142aby opisywa\u0107 niesko\u0144czon\u0105 mnogo\u015b\u0107 mo\u017cliwo\u015bci.
\nTrzeba zauwa\u017cy\u0107 przy tym, \u017ce konsekwentny pesymista-sceptyk, podwa\u017caj\u0105c s\u0142usznie niezawodno\u015b\u0107 indukcyjnych uog\u00f3lnie\u0144, po prostu musi przejawia\u0107 horror infiniti<\/em>. Nie mo\u017ce stwierdzi\u0107 ozdrowie\u0144czo, \u017ce posiad\u0142 wiedz\u0119 bezwzgl\u0119dnie pewn\u0105 (o tym \u017ce nie istnieje wiedza bezwzgl\u0119dnie pewna); musi l\u0119ka\u0107 si\u0119, \u017ce wszelka wiedza \u2013 r\u00f3wnie\u017c i ta, kt\u00f3r\u0105 g\u0142osi \u2013 jest dotkni\u0119ta zaraz\u0105 niesko\u0144czono\u015bci.<\/p>\n

A jak si\u0119 ma nasz horror infiniti<\/em> do dyskusji, kt\u00f3ra ju\u017c rozgorza\u0142a w blogu. Moim zdaniem ma si\u0119 tak, \u017ce niekt\u00f3rzy dyskutanci (w tym ja) zestawiaj\u0105 niesko\u0144czono\u015bciowy charakter niekt\u00f3rych problem\u00f3w (np. takich, dla kt\u00f3rych trzeba si\u0119 liczy\u0107 z niesko\u0144czonym lub nierozs\u0105dnie d\u0142ugim czasem algorytmicznego rozwi\u0105zywania) ze sko\u0144czono\u015bci\u0105 ludzkiego umys\u0142u i otaczaj\u0105cego go fizycznego \u015bwiata.
\nNiekt\u00f3rzy powiadaj\u0105 tak: c\u00f3\u017c nam po tym, \u017ce pewne problemy s\u0105 rozwi\u0105zywalne\/obliczalne w zasadzie, skoro do ich faktycznego rozwi\u0105zania potrzeba wi\u0119cej czasu ni\u017c liczba mikrosekund od pocz\u0105tku znanego nam Wszech\u015bwiata i\/lub wi\u0119cej cz\u0105stek elementarnych ni\u017c znajduje si\u0119 w znanym nam Wszech\u015bwiecie. A je\u015bli rzecznicy takich pogl\u0105d\u00f3w przyjm\u0105, \u017ce umys\u0142 ludzki nie dysponuje jakim\u015b przyrodzonym (intuicyjnym?) wgl\u0105dem w niesko\u0144czono\u015b\u0107, to mog\u0105 (cho\u0107 chyba nie musz\u0105) odczuwa\u0107 zrozumia\u0142y l\u0119k przed niesko\u0144czono\u015bci\u0105.<\/p>\n

******<\/p>\n

W tym momencie mogliby\u015bmy stwierdzi\u0107 smutno, \u017ce horror infiniti<\/em> istnieje, \u017ce ma ca\u0142kiem uzasadnione \u017ar\u00f3d\u0142a, i \u017ce ci, kt\u00f3rzy zastanawiaj\u0105 si\u0119 nad niesko\u0144czono\u015bci\u0105 musz\u0105 \u2013 w takim czy innym stopniu \u2013 \u00f3w horror prze\u017cywa\u0107.<\/p>\n

Mogliby\u015bmy tak stwierdzi\u0107 gdyby…
\nNo w\u0142a\u015bnie, gdyby nie fakt, \u017ce natura ludzka ma odruchow\u0105 sk\u0142onno\u015b\u0107 do przezwyci\u0119\u017cania l\u0119ku, a jedna z najbardziej skutecznych terapii polega na oswajaniu (czy mo\u017ce lepiej: przyswajaniu) zjawiska, kt\u00f3re l\u0119k powoduje.<\/p>\n

I dok\u0142adnie tak\u0105 terapi\u0119 zastosowano w przypadku niesko\u0144czono\u015bci.
\nW toku wielowiekowego rozwoju nauk \u015bcis\u0142ych, g\u0142\u00f3wnie za\u015b matematyki, uda\u0142o si\u0119 wytworzy\u0107 poj\u0119cia, kt\u00f3re da\u0142y nam lepszy wgl\u0105d w zagadnienie niesko\u0144czono\u015bci (by\u0107 mo\u017ce poj\u0119cia te ods\u0142oni\u0142a ludzkiej wyobra\u017ani matematyczna intuicja). Co wi\u0119cej uda\u0142o si\u0119 zbudowa\u0107 wok\u00f3\u0142 tych\u017ce poj\u0119\u0107 ca\u0142e teorie i b\u0119d\u0105ce ich cz\u0119\u015bci\u0105 (algorytmiczne) rachunki.<\/p>\n

Pora ujawni\u0107 jakie poj\u0119cia mam na my\u015bli.
\nS\u0105 to: poj\u0119cie r\u00f3wnoliczno\u015bci zbior\u00f3w<\/em> (przede wszystkim niesko\u0144czonych), poj\u0119cie granicy<\/em> (np. ci\u0105gu czy funkcji), oraz idea indukcji matematycznej<\/em>.<\/p>\n

S\u0142\u00f3w kilka o ka\u017cdym z nich.<\/p>\n

Dzi\u0119ki poj\u0119ciu r\u00f3wnoliczno\u015bci zbior\u00f3w<\/em> uda\u0142o si\u0119 uchwyci\u0107 wa\u017ckie r\u00f3\u017cnice mi\u0119dzy r\u00f3\u017cnymi typami niesko\u0144czono\u015bci, kt\u00f3re wcze\u015bniej zlewa\u0142y si\u0119 w jedno, nie do\u015b\u0107 jasne jeszcze, poj\u0119cie po-prostu-niesko\u0144czono\u015bci. Uda\u0142o si\u0119 nadto powi\u0105za\u0107 te typy z r\u00f3\u017cnymi rodzajami liczb (np. innego rodzaju niesko\u0144czono\u015b\u0107 trzeba by\u0142o przypisa\u0107 liczbom naturalnym, a innego rodzaju liczbom rzeczywistym). Dostrze\u017cono tak\u017ce, jako nieuchronny wniosek z twierdzenia Cantora o zbiorze pot\u0119gowym, \u017ce istnieje (przynajmniej w \u015bwiecie matematycznych konstrukt\u00f3w) niesko\u0144czenie wiele rodzaj\u00f3w niesko\u0144czono\u015bci. To wszystko mog\u0142o wprawdzie wzm\u00f3c czyj\u015b horror infiniti (wszak niesko\u0144czono\u015b\u0107 niesko\u0144czenie si\u0119 rozmno\u017cy\u0142a), z drugiej strony jednak, sprzyja\u0142o przyswojeniu nieznanego.<\/p>\n

Dzi\u0119ki poj\u0119ciu granicy<\/em> \u2013 moim zdaniem du\u017co bardziej p\u0142odnym poznawczo ni\u017c poprzednie \u2013 uda\u0142o si\u0119 zrozumie\u0107 \u015bci\u015ble, dok\u0105d mog\u0105 zmierza\u0107 procesy niesko\u0144czone. Okaza\u0142o si\u0119, na przyk\u0142ad, \u017ce niekt\u00f3re z nich pozornie tylko biegn\u0105 w niesko\u0144czono\u015b\u0107, naprawd\u0119 za\u015b s\u0105 ograniczone (co pozwoli\u0142o upora\u0107 si\u0119 z niekt\u00f3rymi paradoksami staro\u017cytnych). Na \u201egranicznym fundamencie\u201d wzniesiono imponuj\u0105cy gmach analizy matematycznej, wraz z kluczowymi dla niej rachunkami: rachunkiem granic w\u0142a\u015bnie oraz rachunkiem r\u00f3\u017cniczkowo-ca\u0142kowym.
\nCo bardzo wa\u017cne, z perspektywy tych rachunk\u00f3w mo\u017cemy spogl\u0105da\u0107 ca\u0142o\u015bciowo, jak gdyby \u201ez lotu ptaka\u201d, na pewne obiekty niesko\u0144czono\u015bciowe, chocia\u017cby funkcje. W formie prostej ilustracji przywo\u0142ajmy przyk\u0142ad „uczniowski” z pocz\u0105tkowej cz\u0119\u015b\u0107 wpisu. Ot\u00f3\u017c \u017caden kalkulator, \u017caden komputer nie pozwoli nam obejrze\u0107 funkcji w ca\u0142o\u015bci \u2013 mo\u017cemy j\u0105 \u201epodgl\u0105da\u0107\u2019 wyrywkowo tylko, w takim lub innym zakresie i powi\u0119kszeniu. Dzi\u0119ki analizie matematycznej zyskujemy natomiast precyzyjny obraz ca\u0142o\u015bci \u2013 widzimy, czy i gdzie funkcja jest ci\u0105g\u0142a, jak zachowuje si\u0119 przy punktach nieci\u0105g\u0142o\u015bci, gdzie ro\u015bnie, a gdzie maleje, jak\u0105 tendencj\u0119 wykazuje na niesko\u0144czonych kra\u0144cach swojej dziedziny. Zyskujemy zatem ca\u0142o\u015bciowy wgl\u0105d w przebieg analizowanej funkcji. To wszystko s\u0105 niby rzeczy elementarne, ale nader cz\u0119sto nie rozumiane.<\/p>\n

Dochodzimy wreszcie do idei indukcji matematycznej<\/em>. Dzi\u0119ki niej jeste\u015bmy w stanie posi\u0105\u015b\u0107 wiedz\u0119 bezwzgl\u0119dnie pewn\u0105 o niesko\u0144czonym zbiorze obiekt\u00f3w (przeliczalnych). Na przyk\u0142ad tak\u0105, \u017ce liczno\u015b\u0107 zbioru wszystkich podzbior\u00f3w zbioru n-elementowego wynosi dok\u0142adnie 2 do pot\u0119gi n-tej. W ten spos\u00f3b (oczywi\u015bcie nie za pomoc\u0105 przytoczonego twierdzenia, lecz og\u00f3lnie, za pomoc\u0105 matematycznej indukcji) pokonujemy niesko\u0144czono\u015b\u0107 definitywnie \u2013 potrafimy bowiem orzeka\u0107 prawdziwie o niesko\u0144czonych zbiorach obiekt\u00f3w. Za nasz\u0105 pewno\u015b\u0107 p\u0142acimy oczywi\u015bcie pewn\u0105 cen\u0119 \u2013 nie orzekamy bowiem o obserwowanych tu i teraz obiektach \u015bwiata fizycznego (do kt\u00f3rych mia\u0142aby zastosowanie indukcja nie-matematyczna), lecz o naszych konstruktach teoretycznych, przynale\u017cnych do \u015bwiata obiekt\u00f3w matematycznych (kt\u00f3re, by\u0107 mo\u017ce, ale to ju\u017c zale\u017cnie od interpretacji filozoficznej, odpowiadaj\u0105 w miar\u0119 \u015bci\u015ble jakim\u015b zbiorom obiekt\u00f3w fizycznych).<\/p>\n

Mimo wszystko jednak co\u015b zyskujemy.
\nZyskujemy kolejny wgl\u0105d w krain\u0119 niesko\u0144czono\u015bci, kt\u00f3ra nawet je\u015bli jest naszym tylko wytworem, napawa nas zrozumia\u0142ym l\u0119kiem.<\/p>\n

******<\/p>\n

Tyle tytu\u0142em wst\u0119pu do dyskusji, kt\u00f3r\u0105 zagai\u0142em ze swojej perspektywy, zgodnie ze swoimi filozoficzno-matematycznymi zainteresowaniami.
\nCzekam na g\u0142osy ukazuj\u0105ce inne perspektywy\u2026<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Do niniejszego wpisu zainspirowa\u0142a mnie dyskusja nad zagadnieniem poznawczego optymizmu, w kt\u00f3rej pojawi\u0142o si\u0119 poj\u0119cie niesko\u0144czono\u015bci, a wraz z nim zosta\u0142o przywo\u0142ane cantorowskie okre\u015blenie strachu przed niesko\u0144czono\u015bci\u0105, czyli horror infiniti. Wydaje mi si\u0119, \u017ce w\u0105tek \u00f3w zas\u0142uguje na osobn\u0105 dyskusj\u0119 … Czytaj dalej →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[20,8],"tags":[],"class_list":["post-2734","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-filozofia-informatyki","category-informatyzm"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2734","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2734"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2734\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":12758,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2734\/revisions\/12758"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2734"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2734"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2734"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}