W kawiarniach z dawnych dobrych czas\u00f3w bywa\u0142o g\u0119sto od dymu z papieros\u00f3w, a w „Cafe Aleph” g\u0119sto si\u0119 zrobi\u0142o od rozwa\u017ca\u0144 o niesko\u0144czono\u015bci (ponad 20 komentarzy). Cieszy ta zgodno\u015b\u0107 z szyldem, bo przecie\u017c Alephy, od zera w g\u00f3r\u0119 i w g\u00f3r\u0119, to kolejne liczby pozasko\u0144czone, kt\u00f3re oznaczaj\u0105 coraz to wy\u017csze pi\u0119tra zbior\u00f3w niesko\u0144czonych.<\/p>\n
Ale taka harmonia szyldu i tre\u015bci jeszcze nie znaczy, \u017ce ka\u017cdemu, kto tu zajrzy \u0142atwo si\u0119 b\u0119dzie „po\u0142apa\u0107” w w\u0119dr\u00f3wkach po\u015br\u00f3d chmur abstrakcji. Aby te w\u0119dr\u00f3wki u\u0142atwi\u0107, zdecydowali\u015bmy si\u0119 zamie\u015bci\u0107 kr\u00f3tki tekst Paw\u0142a Stacewicza uj\u0119ty w dialog — form\u0119, do kt\u00f3rej zach\u0119ca wiekowa, poczynaj\u0105c od Platona, tradycja pisarstwa filozoficznego.<\/p>\n
Wybrany przez nas tekst pochodzi z projektu „Archipelag Matematyki”, kt\u00f3ry jest realizowany w Politechnice Warszawskiej (m.in. z naszym udzia\u0142em), a ma na celu popularyzacj\u0119 matematyki w\u015br\u00f3d uczni\u00f3w szk\u00f3\u0142 \u015brednich. Przynale\u017cy do cyklu tzw. mat-wywiad\u00f3w, czyli rozm\u00f3w ze zwyk\u0142ymi lud\u017ami o poj\u0119ciach i teoriach matematycznych.<\/p>\n
W tytule dialogu jest zawarta fraza „na ch\u0142opski rozum”, kt\u00f3ra wyja\u015bnia zar\u00f3wno intencj\u0119 autora (opowiedzie\u0107 maksymalnie prosto o nie\u0142atwych zagadnieniach matematycznych), jak i wyb\u00f3r rozm\u00f3wcy – rolnika pracuj\u0105cego przy \u017cniwach.
\nA zatem: to co wymy\u015bli\u0142y rozumy naukowc\u00f3w, zostanie wy\u0142o\u017cone na ch\u0142opski rozum. Czy do wszystkich rozum\u00f3w trafi? Tego oczywi\u015bcie nie wiemy — zapraszamy jednak wszystkich ch\u0119tnych do czytania i komentowania.<\/p>\n
Witold Marciszewski i Pawe\u0142 Stacewicz.<\/p>\n
******<\/p>\n
Reporterka matematycznego radia MAT (znana z innych materia\u0142\u00f3w Archipelagu Matematyki) zapuszcza si\u0119 tym razem na wie\u015b, by porozmawia\u0107 o teorii mnogo\u015bci. Widzimy j\u0105 tu\u017c przy rozleg\u0142ym polu pszenicy, gdzie pracuj\u0105 maszyny: traktor i kombajn. Reporterka podchodzi do nadzoruj\u0105cego prace rolnika. M\u00f3wi do\u0144 g\u0142o\u015bno, a w\u0142a\u015bciwie wo\u0142a, przekrzykuj\u0105c warkoc\u0105ce maszyny:<\/span><\/p>\n – Dzie\u0144 dobry! Jak tam zbiory\u2026?<\/i><\/span><\/p>\n – Kiepsko. Susza.<\/span><\/p>\n – To niedobrze. Ale mo\u017ce chcieliby\u015bcie Panowie porozmawia\u0107 o teorii zbior\u00f3w\u2026?<\/i><\/span><\/p>\n – \u017be niby co? Jak teoretycznie du\u017co zebra\u0107\u2026?<\/span><\/p>\n – Nie. O matematycznej teorii zbior\u00f3w.<\/i><\/span><\/p>\n – Eee, to chyba nie\u2026 My wszyscy dawno po szkole.<\/span><\/p>\n – Ale Panowie, mi w\u0142a\u015bnie o to chodzi. Jestem z radia i nagrywam wywiady ze zwyk\u0142ymi lud\u017ami o poj\u0119ciach matematycznych. Panowie mi jak najbardziej pasujecie\u2026<\/i><\/span><\/p>\n – Chwila\u2026 Bo strasznie trzeba krzycze\u0107. Wy\u0142\u0105czymy kombajn\u2026<\/span><\/p>\n M\u0119\u017cczyzna daje znak koledze, by wy\u0142\u0105czy\u0142 maszyn\u0119. Gdy silnik przestaje ha\u0142asowa\u0107, pyta:<\/span><\/p>\n – To jak Pani m\u00f3wi? \u017be z radia?<\/span><\/p>\n – Tak. Matematycznego. I chc\u0119 nam\u00f3wi\u0107 Pan\u00f3w na rozmow\u0119 o zbiorach.<\/i><\/span><\/p>\n – Czyli na czasie\u2026<\/span><\/p>\n – Jak najbardziej. Cho\u0107 w pewnym sensie zbi\u00f3r to obiekt ponadczasowy.<\/i><\/span><\/p>\n – <\/i>(???)<\/span><\/p>\n – Ju\u017c wyja\u015bniam\u2026 M\u00f3wicie Panowie, \u017ce macie kiepskie zbiory. Dla matematyk\u00f3w jednak s\u0105 to takie same zbiory jak wszelkie inne. Dla nich zbi\u00f3r, inaczej mnogo\u015b\u0107, to ka\u017cda grupa przedmiot\u00f3w o wsp\u00f3lnej w\u0142asno\u015bci. Na przyk\u0142ad: mogliby zdefiniowa\u0107 i oznaczy\u0107 literk\u0105 A zbi\u00f3r wszystkich ziaren pszenicy o takiej a takiej wadze; ale by\u0142by to tylko przyk\u0142ad, przyk\u0142ad czego\u015b, co spe\u0142nia pewne og\u00f3lne prawa. <\/i><\/span><\/p>\n – Noo\u2026 Konkretne to, to nie jest?<\/span><\/p>\n – No nie. Bo zbi\u00f3r to przedmiot abstrakcyjny<\/i>… <\/b>My\u015blimy sobie o jakiej\u015b cesze konkretnych przedmiot\u00f3w, np. kulisto\u015bci. I abstrahuj\u0105c od innych cech tych przedmiot\u00f3w, powo\u0142ujemy do \u017cycia inny jakby-przedmiot: zbi\u00f3r rzeczy kulistych.<\/i><\/span><\/p>\n – W\u0142a\u015bciwie to po co, jak Pani m\u00f3wi, powo\u0142ujemy?<\/span><\/p>\n – W\u0142a\u015bciwie to dla wygody. Czyni\u0105c co\u015b zbiorem, czynimy to co\u015b przedmiotem og\u00f3lnej teorii. Takiej teorii, kt\u00f3rej wyniki pozostaj\u0105 s\u0142uszne dla wszelkich zbior\u00f3w \u2013 r\u00f3wnie\u017c takich, kt\u00f3re odpowiadaj\u0105 cesze kulisto\u015bci. <\/i><\/span><\/p>\n – Je\u015bli jednak mamy si\u0119 dogada\u0107, to musimy konkretniej\u2026<\/span><\/p>\n – Okay. To jakby\u015bcie Panowie policzyli, ile element\u00f3w ma dany zbi\u00f3r?<\/i><\/span><\/p>\n – W\u0142a\u015bciwie sama Pani powiedzia\u0142a: policzyli. Liczymy element po elemencie, np. ziarnko po ziarnku pszenicy, i wychodzi nam, ile jest wszystkich. Troch\u0119 to oczywi\u015bcie potrwa, ale do wyniku dojdziemy.<\/span><\/p>\n – Czy\u017cby? A co wtedy, gdy zbi\u00f3r jest niesko\u0144czony?<\/i><\/span><\/p>\n – No nie\u2026 Mia\u0142o by\u0107 konkretnie\u2026 A tu znowu: niesko\u0144czono\u015b\u0107. Ch\u0119tnie bym zobaczy\u0142 niesko\u0144czenie wielki w\u00f3r pszenicy.<\/span><\/p>\n – Do tego spokojnie dojdziemy. Na pocz\u0105tek jednak, pomy\u015blcie Panowie, jak mo\u017cna ustali\u0107 bez liczenia \u2013 bo nie spos\u00f3b przecie\u017c liczy\u0107 w niesko\u0144czono\u015b\u0107 \u2013 \u017ce dwa zbiory maj\u0105 tyle samo element\u00f3w. Ni mniej, ni wi\u0119cej \u2013 tylko tyle samo.<\/i><\/span><\/p>\n – Bez liczenia?<\/span><\/p>\n – Bez.<\/i><\/span><\/p>\n – Nie podpuszcza nas Pani?<\/span><\/p>\n – W \u017cadnym wypadku. W jaki spos\u00f3b, na przyk\u0142ad, stwierdzicie Panowie \u2013 o ile przejdziemy od zbior\u00f3w pszenicy do jej spo\u017cycia \u2013 \u017ce na dobrze zastawionym stole le\u017cy tyle samo widelc\u00f3w co no\u017cy.<\/i><\/span><\/p>\n – Tutaj akurat jest prosto. Je\u015bli kto\u015b dobrze pouk\u0142ada\u0142, to obok ka\u017cdego widelca musi le\u017ce\u0107 n\u00f3\u017c.<\/span><\/p>\n – Czyli ka\u017cdemu widelcowi musi odpowiada\u0107 dok\u0142adnie jeden n\u00f3\u017c?<\/i><\/span><\/p>\n – No tak.<\/span><\/p>\n – No a tak samo mo\u017cna zrobi\u0107 zawsze. Wystarczy stwierdzi\u0107, \u017ce ka\u017cdemu elementowi zbioru A odpowiada dok\u0142adnie jeden element zbioru B. Matematycy powiedzieliby: istnieje funkcja r\u00f3\u017cnowarto\u015bciowa przekszta\u0142caj\u0105ca zbi\u00f3r A na zbi\u00f3r B. Je\u015bli znamy tak\u0105 funkcj\u0119, nie musimy liczy\u0107 element\u00f3w \u2013 wiemy, \u017ce jest ich tyle samo w A co w B. Czy tak?<\/i><\/span><\/p>\n – Niby tak. Ale sk\u0105d mamy wiedzie\u0107, co to za funkcja? I gdzie tu niesko\u0144czono\u015b\u0107?<\/span><\/p>\n – Powoli. Funkcje znajduj\u0105 matematycy: s\u0105 w tym r\u00f3wnie dobrzy, jak Panowie w koszeniu. A niesko\u0144czono\u015b\u0107 pojawia si\u0119 wtedy, gdy chcemy por\u00f3wnywa\u0107 ze sob\u0105 zbiory niesko\u0144czone.<\/i><\/span><\/p>\n – Na przyk\u0142ad?<\/span><\/p>\n – Na przyk\u0142ad zbi\u00f3r liczb naturalnych N (1, 2, 3 itd.) ze zbiorem liczb parzystych P (2, 4, 6 itd.). Obydwa s\u0105 niesko\u0144czenie liczne, przy okazji jednak – r\u00f3wnoliczne. A r\u00f3wnoliczne s\u0105 dlatego, \u017ce istnieje funkcja f przekszta\u0142caj\u0105ca zbi\u00f3r N na P. Ma ona bardzo prosty wz\u00f3r: f(n)=2n. Przyk\u0142adowo: f(1)=2 czyli jedynce odpowiada dw\u00f3jka, f(2)=4 czyli dw\u00f3jce odpowiada czw\u00f3rka i tak dalej. <\/i><\/span><\/p>\n – Czyli, wed\u0142ug Pani, zbiory N i P s\u0105 tak samo liczne\u2026?<\/span><\/p>\n – Nie tyle wed\u0142ug mnie, co wed\u0142ug naszych zasad.<\/i><\/span><\/p>\n – Tak na oko jednak, to bzdura! Liczb parzystych jest dwa razy mniej ni\u017c naturalnych.<\/span><\/p>\n – Na oko mo\u017ce i bzdura. Ale nasze oko kiepsko widzi niesko\u0144czono\u015b\u0107\u2026<\/i><\/span> – W takim razie, czy nie b\u0119dzie tak, \u017ce wszystkie zbiory niesko\u0144czone s\u0105 tak samo liczne?<\/span><\/p>\n – Brawo! Wci\u0105gn\u0119li\u015bcie si\u0119 Panowie w nasz abstrakcyjny temat. Ale nie. Tak nie jest! Nie wszystkie zbiory niesko\u0144czone s\u0105 r\u00f3wnoliczne.<\/i><\/span><\/p>\n –<\/i> Bo?<\/span><\/p>\n – Bo, na przyk\u0142ad, zbi\u00f3r liczb naturalnych nie jest r\u00f3wnoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, czyli wszelkich mo\u017cliwych liczb dziesi\u0119tnych z cz\u0119\u015bci\u0105 u\u0142amkow\u0105, np. 1.75, 2.43, liczba Pi, itd\u2026Liczb rzeczywistych – zgodnie z naszymi zasadami – jest wi\u0119cej.<\/i><\/span><\/p>\n – Wypada chyba uwierzy\u0107 na s\u0142owo.<\/span><\/p>\n – W tej chwili nie macie Panowie innego wyj\u015bcia. Bo dow\u00f3d wymaga troch\u0119 wi\u0119kszej znajomo\u015bci matematyki. Ale powiem Wam, \u017ce istnieje pewna niezwykle ciekawa zasada og\u00f3lna: ka\u017cdy zbi\u00f3r niesko\u0144czony jest mniej liczny ni\u017c zbi\u00f3r wszystkich jego podzbior\u00f3w.<\/i><\/span><\/p>\n – <\/i>Jak to podzbior\u00f3w?<\/span><\/p>\n – Ano tak: bierzemy jaki\u015b zbi\u00f3r z\u0142o\u017cony z konkretnych element\u00f3w — pierwszego, drugiego, trzeciego itd. Nast\u0119pnie grupujemy te elementy na wszelkie mo\u017cliwe sposoby, np. sam pierwszy element, pierwszy z drugim, pierwszy z trzecim itd., nazywaj\u0105c ka\u017cd\u0105 tak\u0105 grup\u0119 podzbiorem. Nast\u0119pnie liczymy podzbiory. Okazuje si\u0119, \u017ce zawsze b\u0119dzie ich wi\u0119cej ni\u017c element\u00f3w w samym zbiorze. A zatem: rodzina wszystkich podzbior\u00f3w danego zbioru jest bardziej liczna ni\u017c sam zbi\u00f3r. <\/i><\/span><\/p>\n – Czy\u017cby wynika\u0142o z tego, \u017ce istnieje niesko\u0144czenie wiele rodzaj\u00f3w niesko\u0144czono\u015bci?<\/span><\/p>\n – Bo?<\/i><\/span><\/p>\n – Bo wydaje mi si\u0119, \u017ce mo\u017cemy w niesko\u0144czono\u015b\u0107 tworzy\u0107 zbiory wszystkich podzbior\u00f3w. Najpierw rodzin\u0119 podzbior\u00f3w zbioru A, powiedzmy AA. Ma ona wi\u0119cej element\u00f3w ni\u017c A. Potem rodzin\u0119 podzbior\u00f3w zbioru AA, powiedzmy AAA. Ma ona wi\u0119cej element\u00f3w ni\u017c AA. I tak w niesko\u0144czono\u015b\u0107.<\/span><\/p>\n – Gratulacje! Brawo! Spostrzeg\u0142 Pan co\u015b, co tw\u00f3rca teorii zbior\u00f3w, George Cantor, okre\u015bli\u0142 obrazowo jako otch\u0142a\u0144 niesko\u0144czono\u015bci. Nie przera\u017ca to Pana?<\/i><\/span><\/p>\n – Czy ja wiem? Raczej niestrachliwe ze mnie ch\u0142opisko. A poza tym nasze \u201ech\u0142opskie\u201d zbiory by\u0142y i b\u0119d\u0105 sko\u0144czone.<\/span><\/p>\n – To fakt. A nasz wywiad tak\u017ce ma sko\u0144czony czas. Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c: musimy ko\u0144czy\u0107. Dzi\u0119kuj\u0119 bardzo za rozmow\u0119.<\/i><\/span><\/p>\n – Dzi\u0119kujemy i my.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" W kawiarniach z dawnych dobrych czas\u00f3w bywa\u0142o g\u0119sto od dymu z papieros\u00f3w, a w „Cafe Aleph” g\u0119sto si\u0119 zrobi\u0142o od rozwa\u017ca\u0144 o niesko\u0144czono\u015bci (ponad 20 komentarzy). Cieszy ta zgodno\u015b\u0107 z szyldem, bo przecie\u017c Alephy, od zera w g\u00f3r\u0119 i w … Czytaj dalej
\n Skoro zgodzili\u015bmy si\u0119 na \u201eno\u017cowo-widelcow\u0105\u201d metod\u0119 sprawdzania r\u00f3wnoliczno\u015bci, to musimy si\u0119 zgodzi\u0107 na r\u00f3wnoliczno\u015b\u0107 zbior\u00f3w N i P.<\/i><\/span><\/p>\n