{"id":4490,"date":"2013-03-30T08:02:11","date_gmt":"2013-03-30T08:02:11","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.marciszewski.eu\/?p=4490"},"modified":"2025-09-23T11:10:19","modified_gmt":"2025-09-23T09:10:19","slug":"o-liczbach-nieobliczalnych-na-chlopski-rozum","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/marciszewski.eu\/?p=4490","title":{"rendered":"O liczbach nieobliczalnych – na ch\u0142opski rozum"},"content":{"rendered":"

Oko\u0142o dw\u00f3ch miesi\u0119cy temu wprowadzi\u0142em do blogu \u2013 troch\u0119 na pr\u00f3b\u0119, a troch\u0119 dla zabawy \u2013 nowy jakby gatunek tekst\u00f3w typu \u201eo rzeczach trudnych \u2013 na ch\u0142opski rozum<\/i>\u201d. Na dobry pocz\u0105tek zamie\u015bci\u0142em dialog z rolnikiem<\/a>, kt\u00f3rego ch\u0142opski rozum wnikn\u0105\u0142 ca\u0142kiem dobrze w nie\u0142atwy temat niesko\u0144czono\u015bci zbior\u00f3w. \u017bywa reakcja na tamten tekst (oko\u0142o 20 burzliwych miejscami komentarzy) zach\u0119ci\u0142a mnie do kontynuacji\u2026<\/p>\n

W kolejnym dialogu ch\u0142opa zast\u0105pi\u0142 ksi\u0119gowy, a zbiory ust\u0105pi\u0142y miejsca liczbom. Konwencja jednak pozosta\u0142a ta sama: rozm\u00f3wca matematycznej reporterki nie za bardzo \u201ewyznaje si\u0119\u201d na dyskutowanym poj\u0119ciu, stopniowo jednak oswaja si\u0119 z nim i pr\u00f3buje przymierzy\u0107 do\u0144 sw\u0105 nie-matematyczn\u0105 intuicj\u0119.
\nW zamierzeniu autora ma to by\u0107 wst\u0119p do dyskusji z czytelnikiem, kt\u00f3ry by\u0107 mo\u017ce zechce dowiedzie\u0107 si\u0119 czego\u015b wi\u0119cej, a by\u0107 mo\u017ce te\u017c, dysponuj\u0105c wi\u0119ksz\u0105 od autora wiedz\u0105, pewne jego wyja\u015bnienia skoryguje lub uzupe\u0142ni\u2026<\/p>\n

Zapraszam do lektury \u2013 Pawe\u0142 Stacewicz.<\/p>\n

******<\/p>\n

Z \u00a0KSI\u0118GOWYM O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH<\/strong><\/span>
\n (czyli o tym, czego nie mog\u0105 policzy\u0107 komputery)<\/strong><\/span><\/p>\n

W niewielkim pomieszczeniu biurowym pracuje przy komputerze m\u0142ody m\u0119\u017cczyzna. Przypatruje mu si\u0119 stoj\u0105ca w drzwiach m\u0142oda dziewczyna z charakterystyczn\u0105 reportersk\u0105 torb\u0105 na ramieniu. Gdy m\u0119\u017cczyzna przerywa pisanie na komputerze, odzywa si\u0119 do\u0144.<\/span><\/p>\n

– Dzie\u0144 dobry. Przypatruj\u0119 si\u0119 Panu od d\u0142u\u017cszej chwili i widz\u0119, \u017ce Pan ostro liczy\u2026<\/i><\/span><\/p>\n

– Taka praca. A Pani, przepraszam, do kogo? By\u0142a Pani um\u00f3wiona?<\/span><\/p>\n

– A i owszem. Chyba nawet z Panem<\/i>: 17.30, \u00a0wywiad z ksi\u0119gowym o liczbach.<\/i><\/span><\/p>\n

– Oj, faktycznie. Bardzo Pani\u0105 przepraszam. Za chwilk\u0119 b\u0119d\u0119 gotowy\u2026<\/span><\/p>\n

Odwraca si\u0119 do komputera. Wpisuje pospiesznie ostatnie dane, zamyka laptop i m\u00f3wi:<\/span><\/p>\n

– W porz\u0105dku, mo\u017cemy zaczyna\u0107.<\/span><\/p>\n

– W takim razie, raz jeszcze dzie\u0144 dobry. Wyja\u015bni\u0119 na pocz\u0105tek, \u017ce wywiad nasz uka\u017ce si\u0119 na antenie radia edukacyjnego MAT, a ma traktowa\u0107 o liczbach nieobliczalnych.<\/i><\/span><\/p>\n

– Pami\u0119tam, pami\u0119tam\u2026 I przyznam si\u0119, \u017ce temat ten nadal brzmi dla mnie do\u015b\u0107 frapuj\u0105co.<\/span><\/p>\n

– Domy\u015blam si\u0119, \u017ce to nie liczby Pana frapuj\u0105, lecz ich ewentualna nieobliczalno\u015b\u0107?<\/i><\/span><\/p>\n

– No tak! Na m\u00f3j zdrowy ksi\u0119gowy rozum liczba to co\u015b, co mo\u017cna obliczy\u0107. Nie zawsze samemu, cz\u0119\u015bciej za pomoc\u0105 kalkulatora lub komputera, ale zawsze jako\u015b mo\u017cna\u2026<\/span><\/p>\n

– A z jakimi liczbami ma Pan w swoim ksi\u0119gowym fachu do czynienia?<\/i><\/span><\/p>\n

– No c\u00f3\u017c. Ze zwyk\u0142ymi raczej. Przed chwil\u0105, na przyk\u0142ad, sumowa\u0142em w Excelu liczby czterocyfrowe z dwoma miejscami po przecinku.<\/span><\/p>\n

– Ale nie by\u0142y to liczby naturalne? <\/i><\/span><\/p>\n

– No nie. O ile dobrze pami\u0119tam, liczby naturalne to 1, 2, 3, 4 itd.,\u00a0 zawsze o jeden wi\u0119cej. Bez \u017cadnych miejsc po przecinku. Takie jakby najprostsze liczby ca\u0142kowite.<\/span><\/p>\n

– To si\u0119 oczywi\u015bcie zgadza. A te Pa\u0144skie \u201ezwyk\u0142e liczby z Excela\u201d s\u0105, rzecz jasna, bardziej skomplikowane. Jakby\u015bmy je nazwali?<\/i><\/span><\/p>\n

– Czy ja wiem? U\u0142amki? \u2026 Liczby dziesi\u0119tne z cz\u0119\u015bci\u0105 u\u0142amkow\u0105?…
\nWymierne chyba. Tak: wymierne.<\/span><\/p>\n

– No tak. Przypomn\u0119 s\u0142uchaczom, \u017ce jakkolwiek liczby wymierne mo\u017cna przedstawia\u0107 w postaci dziesi\u0119tnej (np. 7\/4 to 1.75), \u00a0to definiuje si\u0119 je jako liczby postaci \u201em dzielone przez n\u201d, gdzie zar\u00f3wno m, jak i n, nale\u017c\u0105 do liczb ca\u0142kowitych. <\/i><\/span>
\nA teraz pytanie do Pana: \u00a0czy wed\u0142ug Pana pr\u00f3cz wielko\u015bci wymiernych istniej\u0105 inne jeszcze rodzaje liczb? <\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– No tak! S\u0105 jeszcze liczby niewymierne.<\/span><\/p>\n

\u00a0– Mo\u017ce jaki\u015b przyk\u0142ad?<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Jasne. Na przyk\u0142ad Pi, czyli 3 i 14 setnych.<\/span><\/p>\n

\u00a0– A dalej?<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– No w\u0142a\u015bnie. Dalej to, po pierwsze, nie pami\u0119tam, a po drugie, pami\u0119tam, \u017ce nie ma \u017cadnej regu\u0142y, kt\u00f3ra pozwala\u0142aby wypisywa\u0107 kolejne cyfry.<\/span><\/p>\n

\u00a0– Dobrze Pan to uj\u0105\u0142. W\u0142a\u015bnie \u00f3w brak regu\u0142y powoduje, \u017ce Pi jest liczb\u0105 niewymiern\u0105, czyli tak\u0105, kt\u00f3rej nie da si\u0119 przedstawi\u0107 w postaci m\/n.<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Aaaha. Czyli to tu pojawia si\u0119 nieobliczalno\u015b\u0107 \u2026 Prawd\u0119 m\u00f3wi\u0105c, troch\u0119 si\u0119 rozczarowa\u0142em.<\/span><\/p>\n

\u00a0– Niech Pan si\u0119 nie denerwuje. To jeszcze nie TO…<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Jak to: nie TO?<\/span><\/p>\n

\u00a0– TO jeszcze nie jest liczba nieobliczalna. Liczba Pi, a razem z ni\u0105 wiele innych wielko\u015bci niewymiernych (cho\u0107by pierwiastek z dw\u00f3ch) ma t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107, \u017ce da si\u0119 j\u0105 obliczy\u0107 z dowoln\u0105 zadan\u0105 dok\u0142adno\u015bci\u0105.<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Tutaj si\u0119 ciutk\u0119 pogubi\u0142em. W jaki spos\u00f3b mo\u017cna j\u0105 obliczy\u0107 z dowoln\u0105 zadan\u0105 dok\u0142adno\u015bci\u0105, skoro nie znamy regu\u0142y generowania kolejnych cyfr jej rozwini\u0119cia dziesi\u0119tnego?<\/span><\/p>\n

\u00a0– W pewnym sensie regu\u0142\u0119 znamy. Ale jest ona dana w spos\u00f3b do\u015b\u0107 skomplikowany, za pomoc\u0105 niesko\u0144czonego szeregu liczbowego, kt\u00f3rego granic\u0105 jest w\u0142a\u015bnie liczba Pi. Ten szereg to jakby niesko\u0144czona suma liczb, kt\u00f3re okre\u015blamy jednolitym wzorem.<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Rozumiem. Mamy ten wz\u00f3r i mamy regu\u0142\u0119 sumowania. A to wystarczy, by nasz\u0105 liczb\u0119 oblicza\u0107 coraz dok\u0142adniej\u2026<\/span><\/p>\n

\u00a0– Dok\u0142adnie tak jest. A im wi\u0119cej sumujemy kolejnych liczb ( tak naprawd\u0119 s\u0105 to wyrazy pewnego ci\u0105gu), tym wi\u0119ksz\u0105 zyskujemy dok\u0142adno\u015b\u0107.<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Konkluduj\u0105c: Pi jest liczb\u0105 niewymiern\u0105, cho\u0107 obliczaln\u0105.<\/span><\/p>\n

\u00a0– Powiedzia\u0142 Pan jak matematyk.<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Bo rzecz mnie wci\u0105ga. Domy\u015blam si\u0119, \u017ce istniej\u0105 jakie\u015b specjalne liczby niewymierne, kt\u00f3rych nie spos\u00f3b obliczy\u0107 na podobie\u0144stwo Pi\u2026<\/span><\/p>\n

\u00a0– Tak jest. Ich istnienie udowodni\u0142 w XX wieku Alan Turing \u2013 jeden z pierwszych i najlepszych pod\u00f3wczas specjalist\u00f3w od maszyn licz\u0105cych.\u00a0 <\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Poda\u0142 jaki\u015b przyk\u0142ad?<\/span><\/p>\n

\u00a0– Nie. Lecz wykaza\u0142 \u015bci\u015ble, \u017ce za\u0142o\u017cenie o istnieniu liczb wy\u0142\u0105cznie obliczalnych prowadzi do logicznej sprzeczno\u015bci. Tym samym sta\u0142o si\u0119 jasne, \u017ce musz\u0105 istnie\u0107 nieuchwytne dla maszyn rodzaje liczb niewymiernych. A co wi\u0119cej: musi by\u0107 ich niesko\u0144czenie wiele.<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Powiedzia\u0142a Pani: \u201enieuchwytne dla maszyn\u201d. Ale jakich?<\/span><\/p>\n

\u00a0– Cyfrowych. Dow\u00f3d Turinga dotyczy maszyn cyfrowych, a konkretniej wszelkich mo\u017cliwych algorytm\u00f3w, kt\u00f3re mog\u0105 by\u0107 wykonane na wszelkich mo\u017cliwych maszynach cyfrowych. Powt\u00f3rz\u0119 jeszcze raz: wszelkich. Tych, kt\u00f3re ju\u017c skonstruowano, i tych, kt\u00f3re dopiero zostan\u0105 wynalezione.<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0<\/i>– Teoretycznie zatem: istniej\u0105 jakie\u015b problemy, np. z dziedziny ksi\u0119gowo\u015bci, kt\u00f3rym ani m\u00f3j laptop, ani \u017caden inny komputer cyfrowy, po prostu nie poradzi. By\u0142yby to takie problemy, kt\u00f3rych rozwi\u0105zaniami s\u0105 liczby nieobliczalne.<\/span><\/p>\n

\u00a0– Tak.<\/i> Tak wynika z matematycznych rozumowa\u0144 Turinga. Liczby nieobliczalne s\u0105 w pewnym sensie r\u00f3wnowa\u017cne problemom nierozwi\u0105zywalnym przez maszyny cyfrowe. No i \u00a0tutaj w\u0142a\u015bnie, w dziedzinie problem\u00f3w a nie samych liczb, poda\u0142 Turing sugestywny przyk\u0142ad.<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0<\/i>– ???<\/span><\/p>\n

\u00a0<\/i>– M\u00f3wi\u0105c z grubsza, postawi\u0142 problem napisania algorytmu, kt\u00f3ry sprawdza\u0142by, dla jakich danych inne algorytmy ko\u0144cz\u0105 prac\u0119, a dla jakich si\u0119 zap\u0119tlaj\u0105. Okaza\u0142o si\u0119, \u017ce jest to zadanie niewykonalne \u2013 innymi s\u0142owy, nieobliczalne. Potem za\u015b odkryto takich zada\u0144 wi\u0119cej.<\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– <\/i>Smutne\u2026<\/span><\/p>\n

\u00a0– Czy ja wiem? Mo\u017ce nawet krzepi\u0105ce. By\u0107 mo\u017ce ludzki umys\u0142 w tym w\u0142a\u015bnie przewy\u017csza komputery, \u017ce potrafi dostrzega\u0107 i rozwi\u0105zywa\u0107 problemy nieobliczalne? <\/i><\/span><\/p>\n

\u00a0– Hmm. Musz\u0119 nad tym pomy\u015ble\u0107. Bo filozoficznie rzecz bior\u0105c, je\u015bli Pani pozwoli, owo intryguj\u0105ce \u201eumys\u0142owe by\u0107-mo\u017ce\u201d jest, by\u0107 mo\u017ce, kolejnym nieuchwytnym dla maszyn problemem nieobliczalnym. To znaczy: trudno mi sobie wyobrazi\u0107, aby jaki\u015b komputer potrafi\u0142 Pani pytanie rozstrzygn\u0105\u0107?<\/span><\/p>\n

\u00a0– Hmm. Tym razem to i ja chyba, i s\u0142uchacze, b\u0119dziemy to musieli przemy\u015ble\u0107. Tymczasem pora ko\u0144czy\u0107. Dzi\u0119kuj\u0119 pi\u0119knie za wywiad i filozoficzne zako\u0144czenie<\/i>.<\/span><\/p>\n

*******<\/p>\n

Powy\u017cszy tekst pochodzi z materia\u0142\u00f3w projektu o nazwie \u201eArchipelag Matematyki\u201d, kt\u00f3ry jest realizowany (z moim udzia\u0142em) w Politechnice Warszawskiej. Gdyby kto\u015b poczu\u0142 si\u0119 mocno zainspirowany i\/lub zainteresowany, to mam dla niego inny tekst\u00a0 autorstwa G. Chaitina, odkrywcy pierwszej liczby nieobliczalnej.\u00a0 Artyku\u0142 Chaitina<\/a> jest napisany bardzo przejrzy\u015bcie i lekko; poprzedza go ciekawa przedmowa J\u00f3zefa D\u0119bowskiego.<\/p>\n

Zapraszam do dyskusji poni\u017cej – Pawe\u0142 Stacewicz.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Oko\u0142o dw\u00f3ch miesi\u0119cy temu wprowadzi\u0142em do blogu \u2013 troch\u0119 na pr\u00f3b\u0119, a troch\u0119 dla zabawy \u2013 nowy jakby gatunek tekst\u00f3w typu \u201eo rzeczach trudnych \u2013 na ch\u0142opski rozum\u201d. Na dobry pocz\u0105tek zamie\u015bci\u0142em dialog z rolnikiem, kt\u00f3rego ch\u0142opski rozum wnikn\u0105\u0142 ca\u0142kiem … Czytaj dalej →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[46,20,8],"tags":[],"class_list":["post-4490","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-dydaktyka","category-filozofia-informatyki","category-informatyzm"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4490","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4490"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4490\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":12743,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4490\/revisions\/12743"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4490"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4490"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/marciszewski.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4490"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}