Motto: Wir m\u00fcssen wissen. Wir werden wissen.<\/em><\/span><\/p>\n Wiedza, kt\u00f3r\u0105 mia\u0142 na uwadze David Hilbert pod s\u0142owem „wissen” to wiedza matematyczna w postaci sformalizowanej, a wi\u0119c osi\u0105galna dla uniwersalnej maszyny Turinga zaopatrzonej w odpowiedni\u0105 aksjomatyk\u0119 i regu\u0142y dowodzenia.<\/p>\n Czy Turing poj\u0119ty jako maszyna Turinga spe\u0142nia maksym\u0119 Hilberta? Nie, je\u015bli jako\u00a0 model umys\u0142u we\u017amiemy maszyn\u0119 Turinga [1936-7] .\u00a0 Tak\u00a0 — je\u015bli O-maszyn\u0119:\u00a0 <\/em>oracle machine.<\/span> Po polsku:\u00a0 maszyna wyroczna<\/span>.<\/em> To zagadkowe poj\u0119cie\u00a0 Turing w „Systems of logic defined by ordinals”,\u00a0 1939, \u00a74)\u00a0 wyja\u015bnia nast\u0119puj\u0105co.<\/p>\n [There are] formulae seen intuitively to be correct, but which the G\u00f6del theorem<\/span><\/em> shows are unprovable in the original system.<\/em><\/span>\u00a0 Czy jest spos\u00f3b uczyni\u0107 je dowodliwymi?\u00a0 Turing odpowiada.<\/span><\/span><\/p>\n Let us suppose we are supplied with some unspecified means of solving number-theoretic problems; a kind of oracle <\/span><\/em>as it were.\u00a0 This oracle cannot be a machine. With the help of the oracle we could form a new kind of machine (call them O-machines<\/em>) having as one of its fundamental processes that of solving a given number-theoretic problem.<\/span> Komentatorzy Turinga<\/a>\u00a0 terminem A-machine<\/span> okre\u015blaj\u0105 uniwersaln\u0105 maszyn\u0119 Turinga [1936-7].\u00a0 Maszyna wyroczna<\/span> powstaje w ten spos\u00f3b, \u017ce do A-maszyny do\u0142\u0105cza si\u0119 wyroczni\u0119<\/a>, kt\u00f3ra\u00a0 — dodaje Turing\u00a0 —\u00a0 sama nie jest maszyn\u0105.\u00a0 Je\u015bli A-maszyna nie mo\u017ce rozstrzygn\u0105\u0107 np. czy proces obliczania warto\u015bci\u00a0 okre\u015blonej funkcji zostanie zako\u0144czony (problem stopu), zwraca si\u0119\u00a0 z pytaniem do wyroczni, a ta odpowiada „tak” lub „nie”.\u00a0 Zadaniem wyroczni jest te\u017c , wg Turinga, wskazanie „kiedy dany krok czyni u\u017cytek z intuicji<\/span>, a kiedy ma charakter czysto formalny<\/em>.”<\/p>\n Przyk\u0142adem „g\u0142osu” wyroczni jest zdanie g\u00f6dlowskie sformu\u0142owane w j\u0119zyku arytmetyki. Jest ono intuicyjnie prawdziwe (gdyby nie, to arytmetyka by\u0142aby sprzeczna). A w swej tre\u015bci stwierdza, \u017ce nie jest\u00a0 ono formalnie dowodliwe z aksjomat\u00f3w (np. arytmetyki Peano) ma wi\u0119c charakter intuicyjny. Poj\u0119cie wyroczni jest \u00a0 fundamentalne dla epistemologii matematyki: pozwala\u00a0 ono tak\u00a0 interpretowa\u0107\u00a0 optymistyczn\u0105 maksym\u0119 Hilberta, \u017ce staje si\u0119\u00a0 ona\u00a0 przewidywaniem\u00a0 realistycznym.<\/span><\/em><\/p>\n Niech pierwszym elementem tego ci\u0105gu b\u0119dzie maszyna AP’ wyposa\u017cona w aksjomaty\u00a0 arytmetyki Peano i logik\u0119 pierwszego rz\u0119du. Pytana, czy prawdziwe jest jej\u00a0 zdanie g\u00f6dlowskie, nie daje ona rozstrzygni\u0119cia. Pod\u0142\u0105czamy wi\u0119c do niej wyroczni\u0119 W1, i ta odpowiada twierdz\u0105co. Do\u0142\u0105czamy\u00a0 zdanie g\u00f6dlowskie do aksjomat\u00f3w AP’ i\u00a0 dostajemy maszyn\u0119 wyroczn\u0105 AP” o wi\u0119kszej ni\u017c AP’ (dzi\u0119ki wzmocnionej aksjomatyce) mocy obliczeniowej.\u00a0 Symbolicznie:\u00a0 AP”>AP’.\u00a0 Z kolei,\u00a0 dostawszy odpowied\u017a wyroczni W2 na pewien problem nierozstrzygalny\u00a0 dla maszyny AP”,\u00a0\u00a0 do\u0142\u0105czamy j\u0105 do aksjomat\u00f3w.\u00a0 Tak otrzymujemy AP”’, z odpowiednio wi\u0119ksz\u0105\u00a0 moc\u0105 obliczeniow\u0105. Powstaje sekwencja:<\/p>\n AP'<AP”<AP”'<AP”” … itd.\u00a0 ad infinitum<\/p>\n Teraz wida\u0107, w jakim sensie nale\u017cy si\u0119 zgodzi\u0107 z maksym\u0105 Hilberta.\u00a0 Nie ma wprawdzie maszyny z tak wszechwiedz\u0105c\u0105 wyroczni\u0105, \u017ceby mog\u0142a rozwi\u0105za\u0107 wszystkie<\/em> problemy, kt\u00f3rych bez wyroczni rozstrzygn\u0105\u0107 si\u0119 nie da. Natomiast, dla ka\u017cdego<\/em> problemu istnieje zdolna do jego rozwi\u0105zania maszyna z odpowiednio zaawansowan\u0105 wyroczni\u0105. Przy takim rozumieniu\u00a0 hilbertowskiego optymizmu,\u00a0 rozumiemy te\u017c co mia\u0142 na my\u015bli G\u00f6del m\u00f3wi\u0105c (do Hao Wanga), \u017ce jego twierdzenia nie podwa\u017caj\u0105 maksymy Hilberta.<\/p>\n Z tego wida\u0107, \u017ce ka\u017cdy problem rozwi\u0105zalny dla maszyny o pewnym numerze jest rozwi\u0105zalny\u00a0 dla ka\u017cdej maszyny z numerem wy\u017cszym, lecz nie odwrotnie.\u00a0 Mamy wi\u0119c do czynienia z obliczalno\u015bci\u0105 wzgl\u0119dn\u0105 <\/span>—\u00a0 relative computability. <\/a>Znaczy to, \u017ce co\u015b, co jest nieobliczalne dla\u00a0 maszyny nr N,\u00a0 jest obliczalne dla\u00a0 maszyny nr N+x (gdzie x>0).<\/p>\n Mamy\u00a0 st\u0105d odpowied\u017a na pytanie tytu\u0142owe.\u00a0 Je\u015bli ma si\u0119 na uwadze maszyn\u0119 bez wyroczni, to Alan Turing nie jest maszyn\u0105 Turinga.<\/em> <\/strong>Dysponuje on wysoko zaawansowan\u0105 wyroczni\u0105, jak\u0105 jest\u00a0 intuicja niesko\u0144czonego ci\u0105gu liczb w argumencie przek\u0105tniowym.\u00a0\u00a0 \u00d3w\u00a0 ci\u0105g\u00a0 r\u00f3\u017cni si\u0119 od ka\u017cdego, kt\u00f3ry zosta\u0142 wyprodukowany przez kt\u00f3r\u0105\u015b z niesko\u0144czonego zbioru maszyn obliczaj\u0105cych\u00a0 okre\u015blone funkcje. Obejmuje on wszystkie mo\u017cliwe funkcje arytmetyczne,\u00a0 a wi\u0119c zawiera wszystkie liczby obliczalne. W takim razie, liczba\u00a0 reprezentowana przez \u00f3w ci\u0105g cyfr odczytany „po przek\u0105tni” musi by\u0107 liczb\u0105 nieobliczaln\u0105.\u00a0 Wymaga ten argument\u00a0 niesko\u0144czenie wielu krok\u00f3w, tote\u017c maszyna nigdy by si\u0119 nie zatrzyma\u0142a. Tymczasem,\u00a0 m\u00f3zg, czy te\u017c umys\u0142, Turinga obejmuje \u00f3w niesko\u0144czony ci\u0105g jednym ruchem my\u015bli, jakby w jednym kroku, i\u00a0 tak znajduje rozwi\u0105zanie. Jest to\u00a0 zatem owoc niezwykle przenikliwej intuicji, czyli wyroczni o bardzo wysokim numerze. Jest wi\u0119c Alan Turing maszyn\u0105 Turinga, ale maszyn\u0105<\/span> wyroczn\u0105<\/span> na bardzo wysokiej w hierarchii takich maszyn pozycji. <\/em><\/strong><\/p>\n Na gruncie tych ustale\u0144 rodz\u0105 si\u0119\u00a0 dwojakiego rodzaju pytania: jedne nale\u017c\u0105 do logiki oraz informatycznej teorii z\u0142o\u017cono\u015bci, drugie do\u00a0 filozofii informatyki w\u00a0 jej warstwie epistemologicznej i ontologicznej. Te pierwsze bior\u0105 si\u0119 z potrzeby dopracowania\u00a0 do\u015b\u0107 enigmatycznej idei wyroczni, kt\u00f3ra okaza\u0142a si\u0119 p\u0142odna informatycznie i filozoficznie, ale pod warunkiem odpowiednich\u00a0 doprecyzowa\u0144.\u00a0 W zakresie informatyki podj\u0119li t\u0119 prac\u0119 Post, Kleene, Davies i inni. Zdanie sprawy\u00a0 z tej\u00a0 literatury\u00a0 to temat na osobne\u00a0 studium, sygnalizuj\u0119 wi\u0119c tylko przyk\u0142adowo\u00a0 kilka pozycji:<\/p>\n Hodges, A. „Alan Turing”\u00a0\u00a0<\/a><\/p>\n Soare, R.I. „Turing Oracle Machines” <\/a><\/p>\n Appel, A.W. „The Birth of Computer Science <\/a>at Princeton in the 1930s”:=<\/p>\n Feferman, S. „Turing’s Thesis”<\/a><\/p>\n W poszukiwaniu wyja\u015bnie\u0144,\u00a0 sk\u0105d si\u0119 bierze intuicja matematyczna, naturalny jest trend,\u00a0 \u017ceby\u00a0 szuka\u0107 wyt\u0142umaczenia w fizycznych\u00a0 w\u0142a\u015bciwo\u015bciach\u00a0 ludzkiego m\u00f3zgu, r\u00f3\u017cni\u0105cych go w spos\u00f3b istotny od maszyny Turinga. \u0179r\u00f3d\u0142a\u00a0 przewagi m\u00f3zgu nad maszyn\u0105\u00a0 jeden z nurt\u00f3w tego trendu upatruje w\u00a0 zachodz\u0105cych w m\u00f3zgu efektach kwantowych.\u00a0 S\u0105 w tym\u00a0 tym nurcie tak znakomite nazwiska, jak Eugene Wigner,\u00a0 Freeman Dyson, David Bohm, John Eccles,\u00a0 czy szczeg\u00f3lnie na tym polu aktywny Roger Penrose.<\/p>\n Dalece inny nurt reprezentuje Raymond Kurzweil, przekonany, \u017ce wci\u0105\u017c jeszcze trwaj\u0105ca wy\u017cszo\u015b\u0107 m\u00f3zgu nad maszyn\u0105 bierze si\u0119 z jego wi\u0119kszej z\u0142o\u017cono\u015bci,\u00a0 kt\u00f3rej nie dor\u00f3wnuje dot\u0105d z\u0142o\u017cono\u015b\u0107 mikroprocesor\u00f3w. Ta ilo\u015bciowa przewaga ma konsekwencje jako\u015bciowe. Mianowicie, procesy tw\u00f3rcze (jak intuicja) wymagaj\u0105 programowania za pomoc\u0105 algorytm\u00f3w tak z\u0142o\u017conych, \u017ce dopiero ten rz\u0105d z\u0142o\u017cono\u015bci „hardware’u”, jaki mamy w m\u00f3zgu, stanowi dla ich kodowania dostateczny substrat fizyczny Obie jednak odmienno\u015bci zdaniem Kurzweila, maj\u0105 si\u0119 ku ko\u0144cowi. Bior\u0105c pod uwag\u0119 daj\u0105c\u0105 si\u0119 obliczy\u0107 r\u00f3\u017cnic\u0119 w z\u0142o\u017cono\u015bciach m\u00f3zgu i komputera, oraz stosuj\u0105c prawo Moore’a, da si\u0119 wyliczy\u0107, \u017ce te wielko\u015bci zr\u00f3wnaj\u0105 si\u0119 w latach 40-tych naszego wieku. A co do wyposa\u017cenia no\u015bnika fizycznego w odpowiednie algorytmy, to je poznamy dzi\u0119ki post\u0119pom nanotechnologii. Superminiaturowe czujniki przebadaj\u0105 m\u00f3zg od wewn\u0105trz i odczytaj\u0105 kod najbardziej nawet z\u0142o\u017conych algorytm\u00f3w, co pozwoli je skopiowa\u0107 w m\u00f3zgu elektronicznym<\/p>\n Jeszcze inny nurt\u00a0 uznaje\u00a0 przewag\u0119 obliczania analogowego nad cyfrowym, co przy za\u0142o\u017ceniu, \u017ce m\u00f3zg przynajmniej po cz\u0119\u015bci dzia\u0142a analogowo, da\u0142oby mu przewag\u0119 nad komputerem cyfrowym. Wtedy m\u00f3zg Turinga nie da\u0142by si\u0119 zredukowa\u0107 do maszyny Turinga. W\u015br\u00f3d wybitnych fizyk\u00f3w,\u00a0 pogl\u0105du o wi\u0119kszej mocy obliczeniowej system\u00f3w analogowych\u00a0 broni Freeman Dyson\u00a0 min. w tek\u015bcie „Is Life Analog or Digital?<\/a>”<\/p>\n Odnotowuj\u0119 te nurty\u00a0 dla cel\u00f3w por\u00f3wnawczych z\u00a0 omawian\u0105 poni\u017cej koncepcj\u0105 von Neumanna. Bierze si\u0119 0na z pewnych danych\u00a0 o systemie nerwowym, \u00a0 a zarazem z refleksji nad histori\u0105 matematyki. Pozwala to na snucie przypuszcze\u0144 o genezie intuicji, czyli wyroczni. Oto\u00a0 inspiruj\u0105cy tekst z polskiego przek\u0142adu\u00a0 („Maszyna matematyczna i m\u00f3zg ludzki”, s.92n) ksi\u0105\u017cki\u00a0 von Neumanna”The Computer and the Brain”, 1958.<\/p>\n „Istniej\u0105 tutaj struktury logiczne r\u00f3\u017cne od tych, kt\u00f3rymi si\u0119 zazwyczaj pos\u0142ugujemy w logice i matematyce. […] Logika i matematyka centralnego systemu nerwowego — je\u015bli rozpatrujemy je jako j\u0119zyki — musz\u0105 strukturalnie r\u00f3\u017cni\u0107 si\u0119 w istotny spos\u00f3b od tych j\u0119zyk\u00f3w, kt\u00f3re s\u0105 nam dane w codziennym do\u015bwiadczeniu. […] Kiedy m\u00f3wimy o matematyce, omawiamy, by\u0107\u00a0 mo\u017ce, j\u0119zyk\u00a0 wt\u00f3rn<\/em>y, zbudowany na j\u0119zyku\u00a0 pierwotnym<\/em>, kt\u00f3rym centralny system nerwowy pos\u0142uguje si\u0119 naprawd\u0119. Zewn\u0119trzne zatem formy nasze<\/em>j matematyki nie maj\u0105 znaczenia absolutnego z punktu widzenia docieka\u0144, czym\u00a0 jest j\u0119zyk matematyczny lub logiczny, faktycznie u\u017cywany przez centralny system nerwowy. […] Bez wzgl\u0119du na to, jaki jest \u00f3w system, nie mo\u017ce on nie r\u00f3\u017cni\u0107 si\u0119 w wysokim stopniu od tego, co \u015bwiadomie i wyra\u017anie uwa\u017camy za matematyk\u0119.”<\/span><\/p>\n Szczeg\u00f3lnie w tym tek\u015bcie znacz\u0105ce jest (wypunktowane przez von Neumanna kursyw\u0105) traktowanie matematyki m\u00f3zgu\u00a0<\/span> jako pierwotnej, tej za\u015b, kt\u00f3ra ukszta\u0142towa\u0142a si\u0119\u00a0 kulturowo — jako wt\u00f3rnej w stosunku do m\u00f3zgowej.\u00a0 Wraz ze stwierdzeniem, \u017ce „j\u0119zyk jest w znacznej mierze kwesti\u0105 historycznego przypadku” (s.91),\u00a0 a wi\u0119c r\u00f3wnie\u017c j\u0119zyk matematyki, daje to obraz, w kt\u00f3rym matematyka m\u00f3zgu wraz z okoliczno\u015bciami\u00a0 kulturowymi wsp\u00f3\u0142determinuje nasz\u0105\u00a0\u00a0 matematyk\u0119 kulturow\u0105<\/span>. Oddzia\u0142ywanie tych okoliczno\u015bci jest dobrze udokumentowane historycznie: wp\u0142yw potrzeb geodezyjnych i architektonicznych na geometri\u0119 egipsk\u0105, prawa spadkowego (min.) na algebr\u0119 babilo\u0144sk\u0105, demokracji ate\u0144skiej (rola debaty) na logik\u0119 greck\u0105, itd.\u00a0 Czynnik za\u015b geograficzny, \u0142atwo\u015b\u0107 komunikacji przez morze \u015br\u00f3dziemne, przyczyni\u0142 si\u0119 do rych\u0142ej syntezy tych pierwiastk\u00f3w. W ka\u017cdym za\u015b przypadku kulturowa posta\u0107 matematyki jest funkcj\u0105 dw\u00f3ch czynnik\u00f3w: matematyki m\u00f3zgu i \u015brodowiska kulturowego.<\/p>\n W tych kategoriach,\u00a0 intuicj\u0119 matematyczn\u0105 wypada poj\u0105\u0107 jako jeden z rodzaj\u00f3w oddzia\u0142ywania\u00a0 matematyki m\u00f3zgu na matematyk\u0119 (nazwijmy) kulturow\u0105,\u00a0 przy czym czynnikiem, od kt\u00f3rego wsp\u00f3\u0142zale\u017cy wynik oddzia\u0142ywa\u0144 jest czynnik kulturowy. Mo\u017cna sobie np. wyobrazi\u0107, \u017ce podobne intuicje teoriomnogo\u015bciowe \u00a0 kierowa\u0142y autorami teorii typ\u00f3w i teorii mnogo\u015bci Cantora, ale ka\u017cdego inaczej ukszta\u0142towa\u0142a interakcja z jego akademickim \u015brodowiskiem, st\u0105d r\u00f3\u017cne postacie matematyczne ich teorii. Na tej\u00a0 zasadzie mamy kilka\u00a0 alternatywnych teorii mnogo\u015bci. Gdyby nie dzia\u0142a\u0142 w ka\u017cdym przypadku czynnik intuicji, nie mia\u0142by z czym wsp\u00f3\u0142dzia\u0142a\u0107 wsp\u00f3\u0142czynnik \u015brodowiskowy.<\/p>\n W tym neumannowskim\u00a0 uj\u0119ciu relacji mi\u0119dzy matematyk\u0105 m\u00f3zgu i\u00a0 matematyk\u0105 kulturow\u0105,\u00a0 intuicja matematyczna wcielaj\u0105ca si\u0119 technicznie w wyroczni\u0119 to nie jest zagadkowy\u00a0 czynnik wymagaj\u0105cy wyja\u015bnienia. To czynnik wyja\u015bniaj\u0105cy powstawanie oraz rozw\u00f3j matematyki i\u00a0 logiki. Trzymaj\u0105c si\u0119 turingowskiej definicji wyroczni,\u00a0 traktujemy\u00a0 j\u0105 jako czynnik nie-mechaniczny. Ale jednocze\u015bnie, maj\u0105c na uwadze hipotez\u0119 von Neumanna, trzeba uzna\u0107, \u017ce\u00a0 zawiera si\u0119 ten czynnik w matematyce m\u00f3zgu,\u00a0 i jest integralnym wsp\u00f3\u0142czynnikiem matematyki kulturowej z jej warstw\u0105 algorytmiczn\u0105 czyli obliczeniow\u0105.\u00a0 Skoro co\u015b warunkuje\u00a0\u00a0 mo\u017cliwo\u015b\u0107 oblicze\u0144 algorytmicznych w matematyce kulturowej, a nale\u017cy do matematyki (m\u00f3zgu)\u00a0 i jest \u00a0 nie-mechaniczne, czyli nie-algorytmiczne, to trzeba to co\u015b zaliczy\u0107 do kategorii\u00a0 jakby super-algorytm\u00f3w, czyli\u00a0 hiperoblicze\u0144<\/span>. \u00a0\u00a0 Tak wi\u0119c,\u00a0 je\u015bli m\u00f3wi si\u0119 o algorytmach, \u017ce maj\u0105 tak\u0105 czy inn\u0105 moc obliczeniow\u0105, to o intuicji, czyli wyroczni — definiowanej w kategoriach\u00a0 matematyki m\u00f3zgu — trzeba powiedzie\u0107, \u017ce dokonuje ona hiperoblicze\u0144<\/span>.<\/p>\n Hipoteza von Neumanna owocuje tym jeszcze, \u017ce kieruje uwag\u0119 na zagadnienie oblicze\u0144 naturalnych , ewentualnie naturalnych hiperoblicze\u0144. M\u00f3zg nale\u017cy do \u015bwiata przyrody, a wi\u0119c je\u015bli oblicza czy hiper-oblicza, to s\u0105 to procesy przyrodnicze czyli naturalne.\u00a0 We wsp\u00f3\u0142czesnym sporze o to, czy jest sens przypisywa\u0107 przyrodzie moc obliczeniow\u0105 von Neumann odpowiedzia\u0142by twierdz\u0105co, skoro przypisuje t\u0119 moc m\u00f3zgowi,\u00a0 kt\u00f3ry niew\u0105tpliwie nale\u017cy do przyrody. W\u00a0 zagadnienie oblicze\u0144 naturalnych zwi\u0119\u017ale wprowadza\u00a0 wpis Paw\u0142a Stacewicza<\/a> i nast\u0119puj\u0105ca po nim dyskusja w blogu „Polemiki i Rozm\u00f3wki”.<\/p>\n \u00a74. G\u00f6dlowska hipoteza matematyki umys\u0142u a kwestia jego mocy<\/span> Zagadnienie intuicji\u00a0 intelektualnej jest kluczowe w rozwa\u017caniach epistemologicznych G\u00f6dla (zob. np. Wang [1996], gdzie pojawia si\u0119 kilkaset razy). \u00a0 To one inspirowa\u0142y Turinga do wprowadzenia poj\u0119cia wyroczni (por. \u00a71). Fundamentala rola\u00a0 intelektualnej intuicji na tym polega,\u00a0 \u017ce\u00a0\u00a0 prowadzi nas ona do znajdowania nowych aksjomat\u00f3w. Zachodzi\u00a0 np. co\u015b w rodzaju dostrzegania obiekt\u00f3w teorii mnogo\u015bci, jak\u00a0 wida\u0107 z faktu, \u017ce jej aksjomaty nieodparcie narzucaj\u0105 si\u0119 umys\u0142owi jako prawdziwe.\u00a0 7.0.1. We do have something like a perception also of the objects of set<\/span> theory, as is seen from the fact that axioms force themselves upon us as being <\/span>true.\u00a0<\/span> (Numeracja odcink\u00f3w wg ksi\u0105\u017cki: Hao Wang, „A Logical Journey: From G\u00f6del to Philosophy” MIT 1996, ost.wyd. 2016). <\/span><\/p>\n W odr\u00f3\u017cnieniu\u00a0 od umys\u0142u, maszyna Turinga [1936-7] (bez wyroczni) jest\u00a0 pozbawiona zdolno\u015bci\u00a0 dostrzegania nowych obiekt\u00f3w oraz ich opisu w aksjomatach. Trzy cechy, wed\u0142ug G\u00f6dla. r\u00f3\u017cni\u0105 j\u0105 od umys\u0142u. Jedna, kt\u00f3rej przyk\u0142adem\u00a0 jest poznawanie nowych prawd ujmowanych w aksjomaty, to (a)<\/strong> zdolno\u015b\u0107 umys\u0142u do nieustannego rozwoju. Inna to (b)<\/strong>\u00a0 zdolno\u015b\u0107 do\u00a0 postrzegania granicy, ku kt\u00f3rej zmierza\u00a0 niesko\u0144czenie wiele krok\u00f3w. Wzorcowym tego\u00a0 tego przyk\u0142adem zdaje si\u0119 by\u0107 przek\u0105tniowy dow\u00f3d istnienia liczb nieobliczalnych. Jego autor lub adresat przebiega wzrokiem tylko sko\u0144czon\u0105 ilo\u015b\u0107 wynik\u00f3w dostarczonych przez\u00a0 maszyny, ale ma \u015bwiadomo\u015b\u0107, \u017ce niesko\u0144czona ilo\u015b\u0107 krok\u00f3w doprowadza do liczby, kt\u00f3ra si\u0119 nie zawiera w niesko\u0144czonej tabeli wynik\u00f3w obliczonych maszynowo, a wi\u0119c musi to by\u0107\u00a0 — w granicy –liczba nieobliczalna.\u00a0 (c)<\/strong> Jest to akt tw\u00f3rczy, jaki si\u0119 mie\u015bci w repertuarze procedur mechanicznych. (zob. Wang, odc. 6.3.17).<\/p>\n Czy taki proces, jak dowodzenie istnienia liczb nieobliczalnych zalicza si\u0119 do hiperoblicze\u0144? Nie jest on mechaniczny, lecz intuicyjny, co przemawia na „tak”.\u00a0 Nasuwa si\u0119 jednak pytanie: czy anga\u017cuj\u0105cy intuicj\u0119 proces hiperobliczania odznacza si\u0119 niezawodno\u015bci\u0105, tak jak proces obliczania, kt\u00f3remu gwarantuje niezawodno\u015b\u0107 odpowiedni algorytm? Wang [1996, odc. 0.0.1] zauwa\u017ca, jak ma\u0142o znana jest w tym wzgl\u0119dzie my\u015bl G\u00f3dla. Z faktu, \u017ce\u00a0 si\u0119 opowiada\u0142 za \u00a0 plato\u0144skim racjonalizmem mo\u017cna by wnioskowa\u0107,\u00a0 \u017ce podobnie jak Platon, Kartezjusz, Leibniz etc. przypisywa\u0142 on intuicji intelektualnej definitywn\u0105 pewno\u015b\u0107.\u00a0 Tymczasem,\u00a0 jak relacjonuje Wang, uwa\u017ca\u0142 on intuicj\u0119 matematyczn\u0105 za nara\u017con\u0105 na pomy\u0142ki,\u00a0 a w zale\u017cno\u015bci od przedmiotu poznania dostrzega\u0142 w matematyce r\u00f3\u017cne stopnie jasno\u015bci i pewno\u015bci. Najwy\u017cszy przypisywa\u0142 arytmetyce\u00a0 liczb\u00a0 naturalnych, ni\u017cszy — teorii mnogo\u015bci. By\u0142 to fallibilizm na wz\u00f3r takich pragmatyst\u00f3w,\u00a0 jak np. Quine.<\/p>\n Jedna z w\u0142asnych w tej kwestii wypowiedzi G\u00f6dla jest nast\u0119puj\u0105ca. ” 7.1.10. Strictly speaking, we only have clear propositions about physically\u00a0 given sets and then only about\u00a0 simple examples of them”. <\/span><\/p>\n Nie znaczy to,\u00a0 \u017ce inne poj\u0119cia skazane s\u0105 na tkwienie\u00a0 w niejasno\u015bci, Chodzi o to, \u017ceby w wyniku odpowiednich procedur zbli\u017ca\u0142y si\u0119 one do tego stanu jasno\u015bci,\u00a0 jaki ma np. poj\u0119cie „pi\u0119\u0107”\u00a0 gdy je odnosimy\u00a0 do tak widzialnej struktury fizycznej, jak pi\u0119\u0107 palc\u00f3w. Dokonuje si\u0119 to na dw\u00f3ch drogach: empirycznej\u00a0\u00a0 i algorytmicznej. Elementarna arytmetyka potwierdza\u00a0 si\u0119 nam empirycznie w codziennych zastosowaniach, czego nie da si\u0119\u00a0 powiedzie\u0107 np. o teorii zbior\u00f3w niesko\u0144czonych.<\/p>\n Jednocze\u015bnie, poj\u0119cia arytmetyczne zyskuj\u0105 na jasno\u015bci dzi\u0119ki\u00a0 aksjomatyzacji i formalizacji. Uzdatnia to formu\u0142\u0119 do tego, \u017ceby da\u0142o si\u0119 j\u0105 sprawdzi\u0107 w\u00a0 spos\u00f3b najbardziej niezawodny — mechaniczny\u00a0 czyli komputerowy, — dow\u00f3d tej formu\u0142y lub jej negacji.\u00a0 Wraz z nowym tak dowiedzionym\u00a0 twierdzeniem o jakim\u015b obiekcie, nabieraj\u0105 wi\u0119kszej\u00a0 jasno\u015bci dotycz\u0105ce go poj\u0119cia. Jest to\u00a0 droga algorytmiczna, poniewa\u017c program dowodz\u0105cy twierdze\u0144\u00a0 opiera si\u0119 na odpowiednim algorytmie.\u00a0 Jako typowy przyk\u0142ad braku pewno\u015bci, czy zdanie jest prawdziwe, podawa\u0142 G\u00f6del hipotez\u0119 kontinuum. Wyra\u017ca\u0142 przy tym nadziej\u0119,\u00a0 \u017ce wnikliwy namys\u0142 pozwoli wzbogaci\u0107 teori\u0119 mnogo\u015bci o nowe aksjomaty, zdolne rozstrzygn\u0105\u0107 o\u00a0 prawdziwo\u015bci lub fa\u0142szywo\u015bci hipotezy.\u00a0 To za\u015b\u00a0 powinno rozja\u015bni\u0107 poj\u0119cie\u00a0 kontinuum.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Motto: Wir m\u00fcssen wissen. Wir werden wissen. Wiedza, kt\u00f3r\u0105 mia\u0142 na uwadze David Hilbert pod s\u0142owem „wissen” to wiedza matematyczna w postaci sformalizowanej, a wi\u0119c osi\u0105galna dla uniwersalnej maszyny Turinga zaopatrzonej w odpowiedni\u0105 aksjomatyk\u0119 i regu\u0142y dowodzenia. \u00a71.\u00a0 Maszyna wyroczna … Czytaj dalej \u00a71.\u00a0 Maszyna wyroczna jako\u00a0 formalny model intuicji matematycznej<\/span><\/h3>\n
\n<\/em><\/p>\n\u00a72. Niesko\u0144czona sekwencja\u00a0 maszyn wyrocznych o rosn\u0105cej mocy obliczeniowej. Zasadno\u015b\u0107 maksymy Hilberta. Wzgl\u0119dno\u015b\u0107 obliczalno\u015bci
\n<\/span><\/h3>\n\u00a73.\u00a0 Von\u00a0 Neumanna hipoteza matematyki m\u00f3zgu a kwestia\u00a0 jego mocy hiperobliczeniowej
\n<\/span><\/h3>\n
\nhiperobliczeniowej<\/span><\/p>\n