W sprawie „Horror Infiniti” — w Boże Narodzenie

Żeby nastrój świąteczny pojawił się też na tym blogu, komentuję tekst Pawła Stacewicza nie na sposób komentarza lecz na zasadzie wpisu mającego prawo do własnego tytułu, w którym pojawi się zwrot „Boże Narodzenie”. Jest to święto, które podpowiada temat nieskończoności słowami „MA GRANICE NIESKOŃCZONY” w najbardziej filozoficznej kolędzie — „Bóg się rodzi”. Daje do myślenia fakt, że w intencji autora miała to być figura poetycka w typie paradoksu, w kontekście innych metafor paradoksalnych, jak „blask ciemnieje” etc. Tymczasem, jeśli ma to być metafora wzięta z matematyki, to jest chybiona, bo przecież nie ma nic paradoksalnego w tym, że ciąg nieskończony ma granicę. W tym poetyckim potknięciu potwierdza się diagnoza Pawła Stacewicza o słabym jakby oswojeniu się ogółu ludzi z ideą nieskończoności.

A skoro jest taka świąteczna okazja do teologicznych spekulacji, to warto podnieść kwestię poważniejszą, którą zdarzało mi się zadawać teologom, ale nie udawało mi się uzyskać odpowiedzi. Jeśli o tym, którego narodziny oznajmia kolęda mówi się „Niekończony”, to jak  to rozumieć w świetle  Cantorowskiego aksjomatu  zbioru potęgowego?  Po pierwsze, czy jest sens, by teologia  przyswajała sobie matematyczne  pojęcie nieskończoności? Owszem, czynili tak np. Augustyn i Leibniz, ale może współczesna teologia powinna by rzecz przemyśleć od nowa — na gruncie aktualnego stanu matematyki?  A jeśli  jednak posłuży się matematyką w kwestii nieskończoności Boga, to stanie przed  zadaniem zmodernizowania myśli Augustyna, który uważał, że cechą umysłu Boskiego  jest operowanie zbiorem liczb — nieskończonym w sensie  nieskończoności aktualnej.  Jeśli tak, to  dzisiaj trzeba sprecyzować (czego nie potrafiono do czasów Cantora i Dedekinda) czy jest to zbiór przeliczalny, czy kontinuum, czy zbiór potęgowy zbioru o mocy kontinuum itd.?  Sam Cantor dawał na to  odpowiedź, ale sformułowaną na tak zawrotnym szczeblu teorii mnogości, że nie potrafię zacytować tego ze zrozumieniem.

Kwestii tej można dać formę eksperymentu myślowego, zapytując, czy do stworzenia świata wystarczyłaby Stwórcy (jeśliby istniał) skończona, choć kolosalna, moc obliczeniowa (tak uważa np. Ed  Fredkin), czy potrzebowałby mocy nieskończonej przeliczalnej (Frank Tippler), czy kontinuum (Freeman Dyson), czy jeszcze wyższej?  Pytanie to pozostaje także wtedy, gdy w wersji laickiej  pominiemy postać Stwórcy,  mianowicie jako pytanie o to,  jaka jest moc wszechświata jako zbioru elementów.

Oto parę tematów do świątecznej  medytacji, co daje obecnemu autorowi okazję życzyć  Czytelnikom, żeby to była medytacja owocna i przynosząca jak najwięcej ukontentowania i ukojenia  intelektualnego.

Print Friendly, PDF & Email
Ten wpis został opublikowany w kategorii Epistemologia i ontologia, Światopogląd informatyczny i oznaczony tagami . Dodaj zakładkę do bezpośredniego odnośnika.

12 odpowiedzi na „W sprawie „Horror Infiniti” — w Boże Narodzenie

  1. Paweł Stacewicz pisze:

    Medytując nad matematyczno-kolędową częścią wpisu, doszedłem do takich oto spostrzeżeń.

    Przytoczony fragment kolędy pod pewnymi warunkami może brzmieć paradoksalnie, ale przede wszystkim jest niejednoznaczny. Nie wyjaśnia bowiem JAKIE „ma granice NIESKOŃCZONY”?

    Przyjmijmy – raczej dla zabawy, choć może i pouczającej – że istnieje jakaś paralela między wziętym z kolędy słówkiem „nieskończony” a znanym z analizy matematycznej pojęciem „liczbowy ciąg nieskończony”.
    Jeśli tak, to musimy rozróżnić co najmniej cztery sytuacje:
    a) nasz ciąg ma granicę skończoną, choć różną od zera (np. ciąg {n/(2n+1)} ma granicę ½);
    b) nasz ciąg ma granicę nieskończoną (jak np. ciąg {2n+1}),
    c) nasz ciąg ma granicę zerową (jak np. ciąg {1/n}),
    d) nasz ciąg nie ma żadnej granicy, bo np. „oscyluje” (jak chociażby {cos(nπ}).

    W sytuacjach b) i d) słowa kolędy mogą brzmieć paradoksalnie: bo choć matematyczna wiedza poucza, że ciąg nie ma granicy skończonej, to kolęda zdaje się oznajmiać, że jednak ma.

    W sytuacjach a) i c) paradoksu nie ma, zjawia się natomiast tajemnica.
    Widać ją najlepiej, gdy niedopowiedzianą w kolędzie granicą miałoby być zero.
    Cóż to miałoby znaczyć bowiem, że jedną z granic NIESKOŃCZONEGO (kolęda mówi o granicach, a nie o jednej granicy) jest ZERO?
    Czy na przykład nie to, że będący dziełem i/lub manifestacją NIESKOŃCZONEGO świat materialny dzieli się w nieskończoność na coraz mniejsze cząstki, zbiegające granicznie – ale tylko granicznie – do rozmiarów zerowych?
    Czy nie wynikałoby z tego zatem, że materię cechuje nieskończona podzielność – cecha raczej tajemnicza i przez naukę chyba nierozstrzygalna…?

  2. Radek pisze:

    Zainspirowany wpisem i matematycznym komentarzem Pawła doń, postanowiłem podzielić się własnymi refleksjami na podany temat. W komentarzu skupiono się na analitycznym rozumieniu pojęcia granicy, ja zaś chciałbym pójść w stronę zgoła nieanalityczną. Kierunek wyznaczać tu będzie punkt d) w komentarzu. Sugeruję mianowicie, że pojecie odrzucone przez Pawła jako nie nadające się do definiowania granicy, może w istocie stanowić ważny trop pozwalający nam wyjść poza zaklęty krąg czystej matematyki (jak w Psalmie 122, gdzie „kamień odrzucony przez budowniczych stał się kamieniem węgielnym”). Od razu też się zastrzegam: poniższe rozmyślania (po części) dalekie są od precyzji i traktują terminy matematyczne niejako metaforycznie. Mam tego świadomość i uprzejmie proszę potraktować to jako moją świąteczno-noworoczną licentia poetica.

    W punkcie d) pojawia się pojęcie „oscylacji”, które mam za ważne z tego powodu, iż w aczasowe, matematyczne rozważania wprowadza ono pewien ersatz czasowości. Zauważmy, że w punktach a) i c) rozumienie granicy jest statyczne, punktowe (intuicyjnie rzecz ujmując – jej osiągnięcie nie prowadzi do niczego ciekawego i nietrywialnego); z kolei w punkcie b) granica de facto nie istnieje (chyba, że obstajemy przy aktualnym rozumieniu nieskończoności i po platońsku traktujemy istnienie liczb kardynalnych). Zupełnie inaczej rzecz się ma w przypadku punktu d). Otóż jest to jedyna propozycja, w którą wpisana jest jakaś dynamika – oscylacja przywodzi mianowicie na myśl zmianę dokonującą się W CZASIE. Z tego też powodu, punkt d) jest dla mnie (jako dyżurnego „empiryka” niniejszego blogu) szczególnie interesujący. Aby jednakże nie pozostać wyłącznie na poziomie metafor, poniżej nieco dokładniej proponuję, w jaki sposób pożenić pojęcie „oscylacji” z pojęciami „granicy” i „nieskończoności”. Posłuży mi do tego z jednej strony aparatura teorii sieci boolowskich z drugiej zaś jeden z kluczowych terminów z zakresu teorii układów dynamicznych – pojęcie „atraktora”.

    Rozważmy sieć składającą się ze skończonej liczby węzłów (N). Każdy z węzłów w sieci potraktowany może być jako zmienna, której wartość zależna jest od wartości innych zmiennych, służących za wejścia. Każdy węzeł może mieć wejścia od wielu innych węzłów. Liczba możliwych wejść (K) do pojedynczego węzła mieści się w przedziale od K=0 (węzeł nie ma żadnego wejścia) do K=N (węzeł ma wejścia od wszystkich innych węzłów łącznie z samym sobą). Każdy węzeł ma tylko jedno wyjście połączone z jednym wybranym węzłem w sieci.
    Węzły sieci przyjmować mogą jedną z binarnych wartości (o/1). Ewolucja sieci odbywa się w czasie dyskretnym – stan całej sieci w czasie tn ściśle determinuje jej stan w czasie tn+1. Zasady przejścia między kolejnymi stanami dla poszczególnych węzłów wyznaczane są przez proste funkcje logiczne działające na poziomie ściśle lokalnym (pomiędzy połączonymi ze sobą węzłami).
    W każdym kolejnym stanie sieci, na każdym z K wejść do danego węzła może pojawić się wartość 0 lub 1. W odpowiedzi na wartości wejściowe węzeł aktywuje się i generuje wartość wyjściową przekazując ją do węzła, z którym jest połączony. O tym jaka wartość zostanie wygenerowana przez węzeł na wyjściu decyduje przypisana do węzła jedna z klasycznych funkcji boolowskich.
    Następstwo kolejnych stanów danej sieci to jej trajektoria. Jedną z najważniejszych cech sieci boolowskich jest to, że liczba stanów, w których może znaleźć się dana sieć jest skończona (pamiętajmy, że rozważana sieć jest skończona!). Oznacza to, że sieć – prędzej, czy później – musi powrócić do stanu, w którym znalazła się już uprzednio. Gdy tak się stanie – skazana jest na oscylowanie w zapętlonych cyklach powtarzających się stanów – czyli właśnie atraktorach. Kiedy trajektoria danej sieci dojdzie do atraktora nie może go już opuścić. Istotna jest również obserwacja, że każda sieć boolowska posiada co najmniej jeden atraktor (zazwyczaj ma ich znacznie więcej).

    Tyle – i tylko tyle – o sieciach boolowskich. Celowo nie wnikałem w jakiekolwiek szczegóły pragnąc jedynie naszkicować sylwetę całej konstrukcji. Sądzę, że na powyższym tle rysuje się nam już waga pojęcia „oscylacji” jako możliwego ograniczenia dla tego, co nieskończone. Użyjmy mianowicie wyobraźni i zinterpretujmy węzły w naszej sieci jako podstawowe elementy konstrukcyjne rzeczywistości czy to fizycznej (cząstki elementarne), czy to biologicznej (komórki). Otrzymamy wówczas model matematyczny, w którym poszczególne elementy są ze sobą dynamicznie powiązane w czasie, zaś dynamika ich wzajemnych powiązań nieuchronnie dąży do wyłonienia z siebie pewnego wzoru, regularności, porządku – atraktora. Jeżeli teraz dorzucimy do tego modelu założenie o odwieczności całego procesu, to otrzymamy obraz, w którym dynamicznie powiązane elementy konstrukcyjne ewoluują w gigantycznych skalach czasowych po to aby finalnie osiąść w niewiarygodnie złożonych i długich (ale wciąż skończonych, ograniczonych) cyklach oscylacji. Mamy więc ograniczenie (oscylowanie po skończonym atraktorze) dla zasadniczo nieskończonego procesu (zmian konfiguracji, stanów sieci w czasie). Tym samym dotarliśmy do zaiste apokatastatycznego obrazu wiecznego powrotu, którego skali i złożoności zapewne nie przeczuwali jego stoiccy twórcy…

  3. km pisze:

    Może więc by uniknąć nieporozumień należy sformalizować przekaz poetycki z użyciem bardziej trafnego eksplikatu (potocznie rozumianego słowa)?

    „MA GRANICE NIESKOŃCZONY (…) jeśli ma to być metafora wzięta z matematyki, to jest chybiona, bo przecież nie ma nic paradoksalnego w tym, że ciąg nieskończony ma granicę. W tym poetyckim potknięciu potwierdza się diagnoza Pawła Stacewicza o słabym jakby oswojeniu się ogółu ludzi z ideą nieskończoności.”

    Czy od teraz należy śpiewać „ma granice nieograniczony”?

    -tak by od roku 2013 poprawić błąd w rozumieniu matematycznych pojęć autora tekstu kolędy i jednocześnie zachować znaczenie zgodne z domniemanym zamysłem poety (zgodnie z tym, „że w intencji autora miała to być figura poetycka w typie paradoksu”).

    Używając języka (i słów) w określonych okolicznościach gramy w określoną grę (mamy poczucie zrozumienia „intencji autora”- wypowiedzi ‘innego’ ale i przecież naszych słów w danym kontekście)
    a potem słowa zaczynamy używać w innej grze (zagranie zgodne z określonymi regułami przenosimy do innego kontekstu, do gry o innych zasadach )
    – czy to przypadkiem nie mechanizm tworzenia metafizyki jaki opisywał Wittgenstein?

    Uzyskaliśmy matematyczną metafizykę- wstęp/ zarys matematycznej teologii (niewielkim kosztem zasady życzliwości interpretacyjnej).

  4. Paweł Stacewicz pisze:

    Choć nie jestem znawcą myśli L. Wittgensteina, to wyrywkowa znajomość jego prac (a także pewnych wiarygodnych opracowań) każe mi stwierdzić, że cierpiał on, zwłaszcza w drugim okresie swojej twórczości, na pewną chroniczną anty-filozoficzną fobię.
    Fobia ta kazała mu nazywać filozofię „wyrazem opętania umysłu przez złudzenia lingwistyczne” i uprawiać ją tylko po to, by uświadomić sobie jej nieprzydatność. Na takim wgłębianiu się w filozoficzny bezsens miałaby polegać wittgensteinowska terapia – zmierzająca do ostatecznego wyzwolenia się ze skłonności do filozoficznych dociekań.
    Pokrętne? Raczej tak. Ale taką właśnie umysłowość miał nasz bohater.

    A na czym miałyby polegać owe dręczące umysł filozofa „złudzenia lingwistyczne”? Pokrótce na tym, o czym pisał km.
    Wyrywamy pewien wyraz lub nawet całe zagadnienie z macierzystego kontekstu (zwykle dość dobrze określonego, np. naukowego) i zaczynamy nabudowywać na nim, wg. Wittgensteina obłąkańczo, pewne spostrzeżenia filozoficzne.
    Na przykład: bierzemy wyraz „nieskończoność” i całe (matematyczne w istocie) zagadnienie nieskończoności, po czym zaczynamy generować różne teologiczno/metafizyczne domysły na temat wszechświata, struktury materii, Boga itp. Według Witgensteina robimy to zupełnie niepotrzebnie, dręcząc siebie i innych obietnicą uzyskania jakichś pozytywnych rezultatów.

    Zauważmy, jak bardzo kontrastuje tego rodzaju myśl z życzeniami Witolda Marciszewskiego:
    „Oto parę tematów do świątecznej medytacji, co daje obecnemu autorowi okazję życzyć Czytelnikom, żeby to była medytacja owocna i przynosząca jak najwięcej ukontentowania i ukojenia intelektualnego”.
    Z jednej strony zatem: filozofia jako męka i wyraz obłąkania. A z drugiej: owocna medytacja wiodąca do „intelektualnego ukojenia”. Czy mogą być bieguny bardziej od siebie oddalone?

    Wypada nawiązać na koniec do kwestii „horror infiniti”.
    Według mojej diagnozy Wittgenstein cierpiał na pewien szczególny przypadek tego lęku, będący jednocześnie szczególnym przypadkiem jego fobii. Po co nam filozoficzna gra z nieskończonością? Zostawmy nieskończoność tam, gdzie istnieje szansa na owocne rozważania, czyli w matematyce. Nie dręczmy siebie i innych filozofowaniem na temat nieskończoności…

    Sęk w tym – to już próbka moich myśli – że różne gry z nieskończonością wzajemnie się przenikają. Bez filozoficznych domysłów starożytnych Greków (Zenona z Elei, Anaksymandra, Arystotelesa), niekiedy paradoksalnych i przez to męczących umysł, nie byłoby prób matematycznego ujęcia nieskończoności. Bez infinitystycznych intuicji Leibniza nie byłoby rachunku różniczkowego. I tak dalej, i tak dalej…
    Współcześnie także: niby-ostateczne, matematyczne ujęcie nieskończoności prowokuje do wielu filozoficznych pytań, z których (być może) w przyszłości urodzi się nowe matematyczne ujęcie nieskończoności.
    A jeśli komuś filozofowanie na temat nieskończoności przynosi po prostu radość, to i szansa jest duża, że wykoncypuje coś owocnego.


    P.S. Niebawem odpowiem Radkowi, bo jego komentarz pobudził mnie do różnych polemicznych myśli.
    W tej chwili jednak poczułem natchnienie do rozwinięcia „tematu Wittgensteina”, który (być może) ktoś jeszcze podejmie…

    • W reakcji na ten komentarz cytuję niżej (pod kreską) fragment dłuższego tekstu, nad którym obecnie pracuję pt. „Amor Infiniti. Jakie doń prowadzą intuicje filozoficzne?” Na znak solidarności z argumentacją Pawła przytaczam zdanie w tejże materii jednego z wielkich autorytetów fizyki XX w. Oto ów fragment z mojego w/w tekstu (znajduje się on na naszym blogu, niedokończony, pod klauzulą „Private”, rezerwującą dostępność tylko dla administratorów).
      ================================================
      Intuicja filozoficzna nie jest jedynie wewnętrzną sprawą filozofów.
      Powstające za jej sprawą obrazy świata potrzebne są innym naukom, w szczególności fizyce. Oto jak o tym mówi jednej z najwybitniejszych fizyków kwantowych XX wieku, nawiązujący do idei filozoficznych Einsteina, David Bohm — w rozmowie zamieszczonej w cytowanej wyżej (§4) książce Daviesa i Browna (s.157n). „Pomysły naprawdę fundamentalnych nowych eksperymentów biorą się z rozważań filozoficznych. […] Nauka wymaga wielu elementów. Wymaga koncepcji ideowej, która wyprzedza doświadczenie. Jeśli wykluczy pan filozofię, ostatecznie wykluczy pan również te elementy. ” W dalszym toku rozmówca przypomina, że w matematyce do oceny teorii służy znacząco kryterium elegancji, na co Bohm odpowiada. „Jeśli godzi się pan na elegancję matematyczną, dlaczego nie na elegancję pojęć [filozoficznych]? Każdy fizyk milcząco przyjmuje jakąś filozofię, ale filozofia powszechnie dziś przyjmowana jest wyjątkowo nieelegancka.”

  5. Paweł Stacewicz pisze:

    Zgodnie z obietnicą odpowiem Radkowi.

    Skrótowa prezentacja teorii sieci boolowskich jest dla mnie interesująca nie tylko ze względów metafizycznych (czy może eschatologicznych), ale także: matematyczno-informatycznych. Do tematu warto wrócić.

    W kontekście rozważanym przez Radka (idea wszechświata oscylującego) przychodzi mi na myśl, na chwilę obecną, taka oto prosta refleksja:
    Choć model „zapętlonej, oscylującej” sieci boolowskiej jest naukowo pociągający (bo odnosi do ciekawego obiektu matematycznego), to czy tej samej myśli odnośnie dziejów świata nie może wyrazić prościej zwykła funkcja sinus (lub – jeśli chcemy większej komplikacji – jakaś bardziej złożona funkcja okresowa, będąca np. sumą wielu sinusów o różnych amplitudach i okresach)?

    Spostrzeżenie moje prowadzi wprost do kolejnej uwagi polemicznej, tym razem cięższego kalibru.

    Cytuję: „W punkcie d) pojawia się pojęcie „oscylacji”, które mam za ważne z tego powodu, iż w aczasowe, matematyczne rozważania wprowadza ono pewien ersatz czasowości”.

    Sugeruje się tu, że analiza matematyczna – wraz z kluczowymi dla niej pojęciami zmiennej, funkcji i granicy – nie nadaje się do opisu procesów zmiennych w czasie.
    Tu muszę stanowczo zaprotestować: analiza powstała właśnie po to, by opisywać procesy zmienne w czasie.
    Różne matematyczne funkcje (podstawowy przedmiot zainteresowania analizy) obrazują różne typy procesów zmiennych w czasie. Granice i pochodne pozwalają określać całościowe własności tych procesów (np. jak szybko biegną, jakie jest tempo wzrostu, co się dzieje na krańcach dziedziny?). Równania różniczkowe z kolei pozwalają związać ze sobą takie wielkości dot. ruchu jak położenie ciała (w zmiennym czasie t), prędkość ciała i przyspieszenie ciała.
    Podsumowując: podstawowym zadaniem stosowanej analizy matematycznej jest właśnie dostarczenie dobrych teoretycznych narzędzi do opisu zmienności istniejącej w świecie.

    I jeszcze jedna uwaga, tym razem innego rodzaju, a powiązana z kolejnym cytatem:

    „… w punktach a) i c) rozumienie granicy jest statyczne, punktowe (intuicyjnie rzecz ujmując – jej osiągnięcie nie prowadzi do niczego ciekawego i nietrywialnego)”

    Przypomnę, że w punkcie a) chodziło mi o skończoną, choć różną od zera granicę ciągu.
    Muszę przyznać, że wyraziłem się w tym punkcie swojego komentarza nie dość precyzyjnie, bo niektóre z granic tego typu mogą być w pewnym sensie nieskończone. To znaczy: nie nieskończenie wielkie (oznaczane symbolem nieskończoności), ale nieskończenie długie (ze względu na długość ich dziesiętnego rozwinięcia). Najlepszy i nietrywialny wcale przykład (wbrew temu co pisze Radek) to liczby niewymierne, np. e (liczba Eulera) czy pierwiastek z dwóch.
    Niewymierne granice procesów są bardzo frapujące, bo niby istnieją, ale w gruncie rzeczy nie potrafimy ich poznać ostatecznie. Ujmując rzecz metaforycznie: są one niczym „czarne dziury” w świecie liczb.
    Matematyczne istnienie tego rodzaju granic wzmaga poczucie zagadkowości świata, który być może matematyka dobrze opisuje. Czemu bowiem miałyby odpowiadać niepoznawalne liczby niewymierne, do których zdają się dążyć granicznie niektóre procesy w świecie?

  6. Radek pisze:

    W swoim komentarzu do mojego wpisu Paweł, całkiem słusznie, wytyka mi zapomnienie o genealogicznym uwikłaniu analizy matematycznej w rozwój fizyki nowożytnej. Faktycznie z mojej skrótowo rzuconej uwagi o „aczasowości” matematyki można wyciągnąć taki wniosek. Dlatego spieszę sprostować, iż naturalnie mam świadomość kiedy i w jakim celu stworzono podwaliny analizy matematycznej (w postaci rachunku całkowego i różniczkowego). Natomiast wspomniana uwaga odnosiła się nie tyle do genezy i zastosowań analizy matematycznej ile raczej do fundamentalnej – w moim odczuciu – pozaczasowości OBIEKTÓW, którymi się matematyka w ogóle zajmuje.
    (Swoją drogą, myślę sobie, że osobną kwestią wartą głębszego namysłu byłoby rozważenie znaczenia i roli pojęcia „czasu” w matematyce czystej. Być może bowiem zbyt pochopnie, i powierzchownie, przyjąłem, iż w świecie obiektów matematyki czas nie odgrywa żadnej istotnej roli..?)

    Co się tyczy sugerowanej przez Pawła możliwości zastąpienia sieci boolowskiej przez zwykłą funkcję sinusa (lub jakąś skomplikowaną superpozycję takowej), to sądzę, że zaproponowany model sieciowy ma pewną istotną cechę dodatkową. Otóż pozwala on nam szczegółowo modelować dynamikę zmian układu w czasie (w rozmaitych skalach). Mówiąc krótko – możemy obserwować co się dzieje w układzie w kolejnych krokach, możemy obserwować zachowania indywidualnych węzłów lub ich grup, możemy wreszcie ingerować w reguły rządzące działaniem poszczególnych węzłów (np. przez losową zmianę przypisanej im funkcji boolowskiej, lub losową zamianę wartości generowanej przez węzeł na wyjściu). Na ile zresztą rozumiem, to właśnie ta cecha powoduje, że układy wieloagentowe cieszą się popularnością w komputerowym modelowaniu realnych procesów fizycznych (gdy zależy nam nie tylko na poznaniu wyniku, ale i na śledzeniu dynamiki układu w czasie).

    Co do mojej uwagi a propos punktu c) to szło mi naturalnie o „nietrywialność” rozumianą jako pewna płodność poznawczy lub heurytyczna. Poza tym całkowicie zgadzam się z Pawłem, zaś pod fragmentem: „Niewymierne granice procesów są bardzo frapujące, bo niby istnieją, ale w gruncie rzeczy nie potrafimy ich poznać ostatecznie. Ujmując rzecz metaforycznie: są one niczym „czarne dziury” w świecie liczb” podpisuję się obydwoma rękami.

    A propos ostatniego akapitu wpisu Pawła przypomniał mi się frapujący tekst Johna Castiego pt. „Przekroczyć logiczne ograniczenia nauki” opublikowany w „Świecie Nauki” z grudnia 1996 r. dotyczący sensowności stosowania metod infinitystycznych do opisu skończonej rzeczywistości przyrodniczej. W dużym skrócie: Casti twierdzi, że przyroda ma cechę bycia zarazem niesprzeczną i zupełną natomiast matematyka, która służy do jej opisu – bynajmniej nie, co wiemy za sprawą wyników Gödla. Jednakże, jak pisze Casti, „Problemy odkryte przez Gšödla i innych pojawiajˆą się w przypadku systemó—w liczbowych o nieskończonej ilości element—ów, takich jak zbi—ór
    liczb całkowitych.” Jeżeli więc, konkluduje Casti, uda nam się konsekwentnie ograniczyć formalizm matematyczny używany do opisu rzeczywistości fizykalnej wyłącznie do narzędzi finitystycznych, to rozmaite problemy, które do tej pory jawiły się nam jako niebywale tajemnicze (jak ten wspomniany przez Pawła na samym końcu jego wpisu: „Czemu bowiem miałyby odpowiadać niepoznawalne liczby niewymierne, do których zdają się dążyć granicznie niektóre procesy w świecie?”) okażą się być pseudoproblemami generowanymi nie przez samą rzeczywistość, lecz przez przez nieadekwatnie dobrany do jej opisu aparat matematyczny.

  7. Żywo mnie zaciekawił ostatni akapit powyższego komentarza. Trudno nie zgodzić się z Castim, że przyroda jest niesprzeczna i zupełna, trudniej natomiast się zgodzić, że zupełność implikuje skończoność. Uzna się taką implikację, gdy się należy do tej zacnej szkoły, której liderem jest Arystoteles, głoszącej, że nie istnieje nieskończoność aktualna. Ale równie czcigodne są szkoły Demokryta, Leibniza czy Cantora (pomijam pewne współczesne kosmologie), które akceptują, choć każda w innej odmianie ontologicznej, nieskończoność aktualną. W tej drugiej wersji nie da się powiedzieć, że matematyka pogödlowska nie nadaje się na model świata fizycznego. Nie jest to argument przeciw Casti’emu, raczej zachęta, żeby przy tego rodzaju stwierdzeniach na temat nauki ujawniać ich założenia filozoficzne.

  8. Paweł Stacewicz pisze:

    Do dwóch powyższych głosów mam naiwne – być może – pytanie.
    Co to znaczy, że przyroda jest zupełna?
    W przypadku teorii sformalizowanej opisującej przyrodę (całość przyrody?) znaczyłoby to chyba, że w przypadku kazdej poprawnie zbudowanej formuły tej teorii istnieje dowód (wywodzący się z aksjomatów tejże teorii), który uzasadnia prawdziwość tej właśnie formuły lub jej negacji.
    Ale co to znaczy w przypadku samej przyrody?

  9. Odebrałem z żywą aprobatą zdanie Castiego, że „przyroda ma cechę bycia zarazem niesprzeczną i zupełną, natomiast matematyka, która służy do jej opisu — bynajmniej nie.” Nie wiem, co miał na myśli ten autor i co przytaczający go nasz Kolega, ale co do mnie, to miałbym następującą tego zdania interpretację.

    Co do negacji przez „bynajmniej nie” dotyczącej własności matematyki,
    nie podpisałbym się pod takim rozumieniem, że matematyka nie jest
    niesprzeczna; także w intencji autora chyba ta negacja dotyczy jedynie
    zupełności, a wyszło tak niejasno przez skrótowość wypowiedzi. Nie mamy
    dowodu niesprzeczności matematyki, ale mamy dobre powody sądzić, że
    niesprzeczna jest arytmetyka liczb naturalnych i dobre parę innych teorii, a
    jedynie co do niektórych może być uzasadniona jakaś w tej sprawie rezerwa.

    Tezę o zupełności przyrody rozumiem jako wyraz realizmu ontologicznego,
    który się przeciwstawia idealizmowi traktującemu przyrodę jako wytwór
    umysłu. Wg idealisty przyroda ma taki sam status ontologiczny, jaki ma teoria przyrody, będąca wytworem ludzkiego umysłu, a więc jest naznaczona cechą niezupełności.

    Można to ująć jeszcze i tak, że podczas gdy teoria niezupełna nie spełnia pewnej wersji prawa wyłączonego środka (nie jest tak, że każda formuła jest jej twierdzeniem lub negacja tej formuły jest twierdzeniem), to rzeczywistość nie ma ze spełnieniem tego prawa żadnych kłopotów: księżyc jest z sera lub nie jest z sera; jedno z dwojga musi być prawdą.

    Tak jest z rzeczywistością klasyczną. Mamy natomiast zgryz z kwantową. Zasadę nieoznaczoności, jak też opowieść o kocie Schrödingera, niektórzy traktują jako rebelię przeciw prawu wyłączonego środka. Jako profan totalny nie mam w tej kwestii zdania, ale mam pewność co do prawdziwości alternatywy „jestem filozofem lub nie jestem filozofem”. Wprawdzie do dziś nie wiem, który jej człon jest prawdą (to przypadek niezupełności wiedzy) ale wiem że ta alternatywa musi być prawdą. To zaś stanowi wyznanie wiary w zupełność tego świata, który zawiera w sobie filozofów.

  10. Paweł Stacewicz pisze:

    To ja z kolei mam zgryz z nieostrością słowa „filozof”.
    Jak to słowo zdefiniować, by móc powiedzieć z całą pewnością, że jest się filozofem lub nim nie jest?
    Można zrobić to stosunkowo prosto, przyjmując, że filozofem będziemy nazywać każdego, kto zdobył tytuł magistra lub doktora filozofii na jednej z uprawnionych do nadawania tegoż tytułu Uczelni. Ale domyślam się, że nie o to wyżej chodzi.
    Trudno z kolei przyjąć mi, że istnieje gdzieś obiektywnie uniwersalny wzorzec filozofa czy też uniwersalne kryteria bycia filozofem, na podstawie których mógłbym stwierdzić (przynajmniej hipotetycznie), że nim jestem lub nie.

    Widzę zatem dwa wyjścia: (1) jesteśmy filozofami w pewnym stopniu tylko, powiedzmy od 0 do 1 (przy czym odpowiedni stopień zmieniałby się zależnie od tego, jakie kryteria bycia filozofem na danym etapie życia uznaję za ważne, a także od tego jakie kryteria uznaje za ważne ogół); (2) jesteśmy „filozofami rozmytymi”, to znaczy przejawiamy różne filozoficzne umiejętności w różnych stopniach (przy czym tu znowu pojawiają się uwagi z nawiasu w punkcie 1).
    Koncepcję drugą możnaby wyrazić w miarę precyzyjnie w terminach zbiorów rozmytych. A mianowicie: zakres słowa „filozof” jest zbiorem rozmytym nad uniwersum umiejętności filozoficznych.

    A wracając do przyrody.
    Nauki o przyrodzie nie są, rzecz jasna, filozofią i możemy wierzyć, że terminy dotyczące przyrody (np. temperatura, wysokość n.p.m, prędkość ciała C w chwili t) nie są nieostre – tak jak termin „filozofia” i pochodzący od niego „filozof”.

    Ja w sumie do takiej wiary się skłaniam, ale nie bez pewnych oporów (które wyzwala m.in. znajomość teorii zbiorów rozmytych).

  11. Radek pisze:

    Krótko (jako że pora już późna) odpowiadam na wyjściowe pytanie Pawła. A jako że pytanie nie jest skierowane do mnie, lecz do przywoływanego Castiego, zatem odpowiedzią będzie obszerniejszy cytat ze wzmiankowanego artykułu:

    „Jak wyglądałby świat, gdyby przejawiało się w nim zjawisko braku logicznych odpowiedzi, które obserwujemy w matematyce? Twierdzę, że wówczas przyroda musiałaby być wewnętrznie sprzeczna (niekonsystentna) lub niepełna w następującym znaczeniu tych słów. Brak sprzeczności w przyrodzie oznacza, iż nie występują w niej prawdziwe paradoksy. Zazwyczaj gdy napotykamy efekty świadczące o podobnych paradoksach – takie jak strugi gazu wyrzucane z kwazarów z prędkością pozornie większą od prędkości światła – dalsze badania przynoszą rozwiązanie. (Te „nadświetlne” strugi okazały się złudzeniem wynikającym z efektów relatywistycznych.)
    Zupełność przyrody oznacza, że żaden stan stan fizyczny nie może powstać bez powodu, czyli – mówiąc krótko – każde zjawisko ma jakąś przyczynę. Niektórzy badacze mogliby ripostować: mechanika kwantowa przeczy temu, że przyroda jest konsystentna i zupełna. Jednak równanie opisujące funkcję falową zjawiska kwantowego daje przyczynową interpretację każdej obserwacji (zupełność) i jest dobrze określone w każdej chwili (konsystencja). Powszechnie znane paradoksy mechaniki kwantowej powstają wtedy, gdy usiłujemy traktować obiekty kwantowe, tak jakby były klasyczne.”

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *