Co matematyka może wnieść do filozofii

Podejmuję  wątek poruszony w komentarzu Mietusa (do wpisu dra Stacewicza) w zapytaniu o stosunek naszej ludzkiej matematyki do tej, która „zbiega się gdzieś w nieskończoności”. Należało to do głównych tematów rozmyślań Gödla. Słowo „nieskończoność” jest tu  w sam raz, bo z twierdzenia Gödla o nierozstrzygalności arytmetyki powstaje wizja jej niewyczerpywalności: po każdym wzbogaceniu języka i aksjomatów arytmetyki poznajemy więcej prawd, ale to nie zamyka poznania matematycznego, lecz przeciwnie. To tak, jakby wejście do pokoju i zamknięcie za sobą drzwi powodowało w czarodziejski sposób, że w innej ścianie tego pokoju otwierają się od razu drzwi do drugiego, Zamknięcie jednych problemów otwiera następne , i tak bez końca. Jest to wizja inicjująca nową filozofię umysłu i poznania.

Żeby wzbogacić materiał do takich rozważań, napisałem tekst „O pewnym stosunku między matematyką i filozofią w świetle twierdzenia o nierozstrzygalności arytmetyki”. Jest dość prowizoryczny, ale może nawet taki się przyda na tym etapie dyskusji. Pewne punkty tego zagadnienia rozwijam szerzej w książce „Umysł – komputer – świat” w rozdziale „ Dynamika umysłu  w perspektywie gödlowskiej” – §3.

Print Friendly, PDF & Email
Ten wpis został opublikowany w kategorii Filozofia informatyki, Światopogląd informatyczny. Dodaj zakładkę do bezpośredniego odnośnika.

2 odpowiedzi na „Co matematyka może wnieść do filozofii

  1. Paweł Stacewicz pisze:

    Po przeczytaniu tekstu, o którym mowa w powyższym wpisie („O pewnym stosunku między matematyką i filozofią…”), aż kusi mnie, by poczynić pewien komentarz na temat ważnego dla matematyki (a także jej filozofii) stosunku między prawdziwością i dowodliwością matematycznych twierdzeń.

    Komentarz będzie ciut heretycki, bo chciałbym spojrzeć nieco inaczej na powtarzaną niczym mantra frazę „że dowodliwość w matematyce należy odróżnić od prawdziwości”. Powtarzaną od czasu słynnych DOWODÓW Kurta Godla z lat 30-tych XX wieku.

    Do komentarza ośmielił mnie przeczytany wczoraj artykuł Romana Murawskiego „O pojęciu prawdy w matematyce” – opublikowany w Zagadnieniach Naukoznawstwa (nr 4/190). Artykuł ten kończą i wieńczą takie oto cytaty z Alfreda Tarskiego:

    (1) W istocie, w matematyce „dowód jest wciąż jedyną metodą używaną do ustalania prawdziwości””

    (2) „Zbiór zdań prawdziwych pełni funkcję idealnej granicy, której nigdy nie zdołamy osiągnąć, lecz ku której staramy się zbliżyć rozszerzając stopniowo zbiór zdań dowodliwych?”

    A zatem, czy nie jest tak, że prawdziwość zdań matematycznych (nie będących aksjomatami i definicjami) utożsamia się z ich dowodliwością? Czy nie jest tak, że matematyk pracujący w obrębie pewnej teorii ma prawo uznać (za prawdziwe) takie tylko zdanie, które ma dowód? Czy słynne zdanie godlowskie (mówiące o swojej niedowodliwości) nie zostało udowodnione i dlatego przyjęto je jako prawdziwe?

    Oczywiście trzeba przy tym mieć na uwadze ważną sprawę. Niektóre zdania są dowodliwe na gruncie aksjomatów ich teorii macierzystej, a inne (niczym zdanie godlowskie) wymagają dla swojego dowodu przyjęcia dodatkowych aksjomatów spoza teorii macierzystej. Wszystkie one są jednak dowodliwe, a jedyną metodą intersubiektywnego okazywania prawdziwości zdań matematycznych jest dowodzenie.

    A czy istnieje idealna granica zbioru zdań prawdziwych/dowodliwych? Może nie ma jej wcale, bo człowiek staje wciąż przed nowymi problemami, a niektóre z nich sam wytwarza rozmyślając nad problemami już rozwiązanymi. Trudno założyć zaś, że zbiór tychże problemów jest ograniczony, a zbiór twierdzeń matematycznych ich dotyczących nie jest nieskończony (czyli bezgraniczny)…

    Pora późna, więc kończę, ale mam nadzieję, że wywiąże się jakaś wymiana myśli….

  2. Wymiana myśli jest nieunikniona. Pobudza do niej użycie dwóch zdań Tarskiego w roli argumentu na rzecz poglądu Autora, że prawdziwość pokrywa się z dowodliwością. Cytuję te zdania.

    „(1) W matematyce dowód jest jedyną metodą używaną do ustalania
    prawdziwości.”

    „(2) Zbiór zdań prawdziwych pełni funkcję idealnej granicy, której nigdy nie
    zdołamy osiągnąć, lecz ku której staramy się zbliżyć rozszerzając stopniowo
    zbiór zdań dowodliwych”

    Porównajmy 1 ze zdaniem „Doświadczalne sprawdzanie hipotez jest w fizyce jedyną metodą ustalania ich prawdziwości”. Zbiór P hipotez prawdziwych jest sumą zbioru S hipotez już sprawdzonych i zbioru hipotez prawdziwych, ale jeszcze nie posiadanych (tj. o zjawiskach jeszcze nie odkrytych). Czy taka jedyność metody badawczej upoważnia do utożsamienia zbiorów S i P?

    Co do poglądu 2, to trzeba pamiętać, że w języku Hilberta, Gödla, Tarskiego etc. „dowodliwe” oznacza zdanie dowodliwe formalnie czyli dowodliwe procedurą algorytmiczną. Jeśli termin „dowodliwe” rozumieć szerzej (jak w mowie potocznej), obejmując nim dowody formalne na równi z intuicyjnymi, to istotnie według Gödla i Tarskiego (może też Hilberta) zbiór zdań prawdziwych pokrywa sie (W NIEOSIĄGALNEJ PRAKTYCZNIE GRANICY) z dowodliwymi. W tym się wyraża (jak to określa Hao Wang) optymistyczny racjonalizm Gödla (a może i Hilberta, ten wyryty na jego nagrobku). Ale jeśli dowodliwość rozumieć algorytmicznie, to fakt jej niepokrywania się z prawdziwością jest właśnie treścią twierdzenia Gödla.

    I w tym jest wielce znaczący wkład logiki matematycznej do filozofii umysłu, poznania i nauki.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *