Odcinek C. Potęga intuicji jako źródła algorytmów.
MOTTO. Rozumowanie matematyczne można uznać w uproszczeniu za połączenie dwóch zdolności, które możemy nazwać intuicją i pomysłowością. Działanie intuicji polega na wydawaniu spontanicznych sądów, które nie są rezultatem świadomych toków rozumowania. Sądy te są często, ale bynajmniej nie zawsze, słuszne. — Alan Turing w studium “Systems of Logic Based on Ordinals” , 1939 (Proc. London Math. Soc. ser. 2, 45 ).
§1. Optymizmy nazbyt skrajne: algorytmizm i fudamentalizm. Autor, który podejmuje temat mocno skomplikowany ma prawo do uproszczeń na wstępie, żeby potem rozsądnie dozować wprowadzanie czytelnika w zawiłość materii. A gdy dyskurs należycie się rozkręci, pora przejść do rozróżnień bardziej subtelnych. W odcinku A mowa była o istnieniu Klubu Optymistów Poznawczych, w B przedstawiłem znamienitych tego klubu patronów bliskich naszym czasom — Hilberta i Gödla. Obecnie trzeba wejść głębiej w wewnętrzne zróżnicowania wśród postaw optymizmu poznawczego.
Istnieje jego postać radykalna, której wyznawcy wierzą, iż nie ma czegoś takiego jak intuicja. Jest to ich zdaniem dobra wiadomość, gdyż pojęcie intuicji uważają za tak mętne, nie dość operatywne, toteż wyparcie go przez wysoce operatywne procedury algorytmiczne zapowiada spektakularne sukcesy poznawcze, jak np. praktyczna możliwość rozwiązania każdego problemu naukowego przez należycie zaprogramowany automat (jak to się w swoim czasie marzyło Leibnizowi).
Obejmiemy tę szkołę myślenia mianem algorytmizmu, a więc jej zwolenników można nazwać algorytmistami. Mieści się w tej kategorii np. główny nurt myślowy Koła Wiedeńskiego z lat 20-tych i 30-tych minionego wieku, obecnie zaś obóz tzw. Silnej Sztucznej Inteligencji. Algorytmizm Koła był niejako skondensowany w projekcie tzw. logiki indukcji (krytykowanym stanowczo przez Karla Poppera), w którym zakładano, że punktem wyjścia wszelkiej teorii naukowej są zdania rejestrujące dane zmysłowe w sposób tak “czysty”, że dokonuje się to bez udziału czynnika intelektualnego, jakim ex definitione jest intuicja; z takich zaś zdań dzięki algorytmom logiki indukcji miałyby się w sposób niezawodny wywodzić prawa nauki.
Był to optymizm przesadzony na parę sposobów. Przeoczono okoliczność, że spostrzeżenia zmysłowe wyraża się w zdaniach ogólnych, jak “to jest okrągłe”, zaś świadomość ogólności mieści w sobie pojęcie zbioru, znajdujące się na wysokim piętrze abstrakcji, osiągalnym tylko dla intuicji logicznej. Przeoczono również i to, że wszelkie algorytmy, a więc i te, które by pracowały na rzecz logiki indukcji powstają na gruncie teorii matematycznych; te startują z aksjomatów, a nie ma algorytmów produkujących aksjomaty.
W lepszej sytuacji niż Koło Wiedeńskie zdają się być algorytmiści z obozu Silnej Sztucznej Inteligencji. Działają oni w tej wierze, że są w stanie stworzyć algorytmy heurystyczne, czyli prowadzące do odkryć naukowych (co tradycyjnie uważano za domenę intelektualnej intuicji), a to dzięki temu, że mają możliwość symulowania pracy mózgu jako twórczego autora odkryć. Tego projektu nie da skrytykować tak prosto, jak w przypadku projektu wiedeńskiego, nie dysponującego taką technologią. Może kiedyś jakiś Smith lub Kowalski wyprodukuje sztucznego Hilberta lub Gödla, ale nie mając prawa do odrzucania tego z góry, nie mamy też obowiązku z góry w to wierzyć.
Drugi rodzaj optymizmu, który też jest przesadny, ale w przeciwnym kierunku, to fundamentalizm teoriopoznawczy. Cechował on Kartezjusza, po nim fenomenologów, a także (choć o inny chodziło fundament) wspomniane wyżej Koło Wiedeńskie oraz, ogólniej, nurt pozytywistyczny. Pozytywizm z jednej strony, z drugiej zaś inspirująca się Kartezjuszem fenomenologia podzielają wiarę w istnienie niezawodnego, nie dającego się zakwestionować, i danego raz na zawsze fundamentu poznania, choć różnią się radykalnie co do jego natury. U Kartezjusza jest to intuicja intelektualna typu”Cogito”. Dla Koła Wiedeńskiego — elementarne dane zmysłowe. Punkty wyjścia tak odległe, że trudno o większy dystans, ale w obu przypadkach traktowano uprzywilejowaną w danym systemie kategorię jako niewzruszony fundament całego gmachu poznania.
Zaprzeczenie fundamentalizmu bywa określane jako fallibizm, a najdzielniej bodaj stawiają mu czoła różne odmiany pragmatyzmu. Toteż należałoby w tym kontekście poświęcić pragmatyzmowi więcej uwagi, ale żeby nie przeładować obecnego tekstu, odsyłam do artykułu w periodyku “Studia Philosophiae Christianae” pt. “On advancing frontiers of science. A pragmatist approach”.
Tutaj wystarczy wspomnieć, że pragmatyzm, świadom nierzadkich “wpadek” intuicji w dziejach nauki i filozofii, upatruje w fenomenie intuicji przesłankę do poznawczego optymizmu nie dlatego, że miałaby ona na zawsze moc i trwałość fundamentu (jak np. sądził Kartezjusz o Cogito), lecz w tym, że naprowadza na śmiałe przypuszczenia. Jedne z tych przypuszczeń się potem sprawdzają inne nie, a gdy się sprawdzają by tak rzec, uporczywie, w zastosowaniach nie tylko teoretycznych lecz — co nie mniej istotne — w praktycznych, to jest to certyfikat wprowadzający daną intuicję do panteonu wiedzy. Tak np. intuicja, by uzupełnić zbiór liczb o zero stworzyła teorię arytmetyczną sprawdzającą się wiekami w nieprzebranej masie zastosowań; na tej min. podstawie pragmatysta uznaje niesprzeczność i prawdziwość arytmetyki.
§2. Intuicje konserwatywne versus nowatorskie. Za którymi podążać? Próbując ocenić wiarogodność poznawczą intuicji, trzeba zauważyć, że obejmuje się tym słowem dwa bardzo różne rodzaje aktów poznawczych, z których każdy ma swoje plusy i minusy. Adaptując do tego celu pojęcia polityczne, można mówić o istnieniu intuicji konserwatywnych oraz intuicji nowatorskich. Ten dobór określeń pomaga rozpoznać owe obecne po każdej stronie “za” i “przeciw”. Konserwatyzm i nowatorstwo w życiu społecznym tak się wzajem dopełniają, jak układ hamulcowy i układ napędowy. Podobnie w nauce. Jej napędem są nowe idee, jak te, z których powstały teoria grawitacji Newtona, geometrie nieeuklidesowe, teoria mnogości Cantora, teoria promieniotwórczości (z jej początkami w intuicjach Marii Skłodowskiej-Curie), teoria kwantów i tyle innych.
Łączyły się one z odrzuceniem dawniejszych mocno utrwalonych intuicji. Leibniz zdecydowanie odrzucał teorię grawitacji w imię tej intuicji, że nie jest możliwe oddziaływanie fizyczne na odległość (actio in distans); zwalczał też koncepcję nieskończonego zbioru liczb w imię intuicji, że całość nie może być równa swej części właściwej (a taka równość cechuje zbiory nieskończone). Kantowska intuicja przestrzeni nie dopuszczała innych geometrii niż euklidesowe. Przed ideą promieniotwórczości bronili się obrońcy niepodzielności atomu. I tak dalej, nie brak brak tu przykładów o tyle efektownych, że nosicielami błędnych intuicji konserwatywnych bywali autorzy genialnych intuicji nowatorskich na innych polach, jak Leibniz w swych paru pionierskich rolach: twórcy analizy matematycznej, inicjatora algebry logiki, czy prekursora informatyki.
Intuicja konserwatywna przypomina mechanizm nawyku. Utrwalone nawyki często czynią nasze działania efektywniejszymi niż próbowanie czegoś od nowa, zapobiegając porażkom niewczesnych nieraz prób. Tak ustabilizowany stan nauki słusznie się broni przed nie dość przemyślanym nowatorstwem. Gdy biologowie radzieccy rzucili wyzwanie odwiecznemu poglądowi o dziedziczeniu przez organizm cech rodzicielskich, nauka się obroniła przed tą niedorzecznością, trwając konserwatywnie przy dawnym poglądzie. Podobnie odrzuciła “rewelacje” z drugiego krańca spektrum, mianowicie rasistowskie.
Powstaje pytanie, skąd wiedzieć, czy zachować się innowacyjnie, czy konserwatywnie, gdy chcemy posunąć naprzód wiedzę, czy to teoretyczną czy praktyczną. Weźmy na warsztat pouczający epizod z historii konfrontowanych z praktyką poglądów politycznych. Niech będzie to ewolucja tych polityków PRL, którzy sobie zapracowali na miano reformatorów zorientowanych (jak na ówczesne warunki) liberalnie, kierowali się więc po części jakimiś własnymi intuicjami, odmiennymi od doktryny oficjalnej z jej anatemą dla liberalizmu. Morał, do którego dojdziemy jest następujący. W starciu dwóch intuicji, tej konserwatywnej, wyniesionej z kursów markszizmu, i tej drugiej, czerpanej z własnych obserwacji i przemyśleń, w miarę upływu czasu zaczyna dominować ta druga. Dzieje się tak za sprawą coraz bardziej dotkliwych doświadczeń, uchwytnych nawet rachunkowo.
sobie zasłużył na miano teoretyka polityki, ale takiego, który refleksję teoretyczną uprawiał nie w bibliotekach, lecz pod ciśnieniem bieżącej praktyki. Mam na myśli Mieczysława Rakowskiego, którego wielotomowe pamiętniki dają obraz przemyśleń rewidujących jego wyjściowe pozycje wpisujące się zrazu bez reszty w ekonomię i teorię polityczną marksizmu.
Marksistowska intuicja gospodarki tak się przedstawia, jakby za model gospodarki państwa brać patriarchalne gospodarstwo domowe roztropnie zarządzane przez głowę rodziny. Jeśliby każdy członek rodziny wydawał pieniądze według swego widzimisię, bez takiej odgórnej koordynacji, rodzina popadłaby w ruinę. Taki właśnie koniec wieszczył Marks kapitalizmowi, gdzie każdy przedsiębiorca działa na własną rękę, a nikt się nie troszczy o całość. Mamy tu przykład intuicji konserwatywnej, opartej na dobrze znanym i wypróbowanym modelu gospodarstwa rodzinnego. Wypróbowanym, ale tylko w pewnej skali, a Marks nie wziął pod uwagę, że wraz ze zmianą skali zmieniają się prawa rządzące w danej dziedzinie (tu — w gospodarce). Przy takim wzroście skali, jakim jest przejście do makroekonomii, pojawia się min. prawo samoorganizacji, czyli (jak to nazwał F.Hayek) samorzutnego porządku — to, które się znalazło u podstaw nowatorskiej intuicji Adama Smitha.
§3. Pomysłowość, czyli wynalazczość (inwencja) niezbędna jest nam w rozumowaniu dowodzącym jakiejś prawdy. Niezbędna do tego, żeby wynaleźć przesłanki, od których da się dojść do konkluzji, oraz żeby dobrać stosowne reguły wnioskowania. A po co jest intuicja? Po to, żeby móc być przekonanym o prawdzie przesłanek. Przekonanie może brać się stąd, że nasze przesłanki zostały dowiedzione na podstawie innych, ale że nie da się tak iść w nieskończoność, ostatecznie docieramy do aksjomatów.
Gdy się mówi, że prawdziwość aksjomatów postrzegamy intuicyjnie, można się czasem spotkać z wyznaniem słuchacza, że nie rozumie co to znaczy, bo słowo “intuicja nie jest dla niego dość jasne. Skardze tej nie da się zapobiec, cytując jakąś definicję, skoro w definiowaniu, podobnie jak w dowodzeniu nie można iść w nieskończoność. Jakieś pojęcia muszą być pierwotne, i wiele wskazuje, że do takich należy pojęcie intuicji.
Sprawa ma się podobnie, jak z pojęciem widzenia oczyma (nota bene, “intueri” znaczy po łacinie “widzieć”). Kogo los nie pozbawił wzroku, ten dobrze wie, o co chodzi, a temu, kto jest od urodzenia niewidomy, nie da się tego wytłumaczyć słowami. Z tego względu proponuję prosty eksperyment, w którym Czytelnik albo doświadczy własnej intuicji i taką drogą sobie uprzytomni, co przez to słowo gotów jest rozumieć, albo tego doświadczyć nie zdoła. W tym drugim przypadku zaleca mu się poniechanie lektury obecnego szkicu, gdyż jest w niej nieodzowne rozumienie terminu “intuicja”, tak jak został on tu zaczerpnięty z tekstu Turinga (zacytowanego za przekładem zawartym w książce: Andrew Hodges, “Turing”, przekład Justyny Nowotniak, Amber, Warszawa 1997, s. 34).
W tym celu należy napisać na kartce pięć numerów podanych dalej — w §2 — aksjomatów arytmetyki, i przy każdym numerze napisać TAK (tj. uważam dane zdanie za prawdziwe) lub NIE (uważam za nieprawdziwe) lub NIE WIEM. Odpowiedzi na TAK i na NIE będą wymagać dalszej refleksji, mianowicie zastanowienia, jaki rodzaj poznania wchodzi w grę jako źródło przyjęcia lub odrzucenia danego sądu. Ktoś może powiedzieć, że są tym źródłem spostrzeżenie zmysłowe, jak dla zdania “ten koń ma cztery nogi”; ktoś inny może powiedzieć, że dane zdanie jest tylko konwencją użyteczną do jakiegoś celu (tu trzeba powiedzieć do jakiego). W pierwszym przypadku glossa, w jaką zaopatrzy swą odpowiedź będzie empirystyczna, w drugim — konwencjonalistyczna.
Jeśli natomiast ktoś powie “to jest oczywiste” (lub coś w tym rodzaju), nie powołując się na dane zmysłowe ani na takie czy inne ustalenia umowne, to znaczy, że dopuszcza jakieś inne źródło. Może to sobie nazwać źródłem X, może też zaadaptować tradycyjny termin “intuicja”, co nie znaczy, że będziemy dokładnie wiedzieć, co się pod nim kryje; czym innym jest intuicja w sensie kartezjańskim, czym innym w kantowskim etc. Nie ma jednak powodu wchodzić tu w takie niuanse. W obecnym kontekście wystarczy prześledzić na wybranych przykładach związek tych sądów, przy których damy odpowiedź TAK (bez glossy empirystycznej i bez konwencjonalistycznej), żeby się porozumieć co do sensu terminu “intuicja” na potrzeby obecnych rozważań.
Oto aksjomaty jako materiał do namysłu nad pojęciem intuicji. Litera N oznacza liczbę naturalną, gwiazdka operację następnika, # zaprzeczenie równości.
A1. 0 należy do N.
A2. Jeśli x należy do N, to x* należy do N.
A3. Jeśli x należy do N, to x*#0.
A4. Jeśli x i y należą do N oraz x*=y*, to x=y.
A5. Jeśli Z jest dowolnym zbiorem takim, że
— a) 0 należy do Z,
— b) dla dowolnego x: z tego, że x należy do Z wynika, że x* należy do Z,
to każdy element zbioru N należy do Z.
Te pięć zdań — układ aksjomatów arytmetyki liczb naturalnych, opublikowany w roku 1889, zwany od nazwiska twórcy aksjomatyką Peano [Giuseppe] — stanowi filar matematyki. Z tego miedzy innymi względu, że wspiera on niezliczone algorytmy obliczeń, poczynając od tych podstawowych, jak algorytmy dodawania i mnożenia. Warto więc przy każdym zastanowić się nad potrójnym pytaniem: czy uznaję dane zdanie za prawdziwe? skąd wiem o jego prawdziwości? jak nazwać to źródło, z którego wiem o prawdziwości. Jeśli nazwać je intuicją, jak to się powszechnie czyni, to objawi nam się z całą mocą potęga intuicji jako źródła algorytmów.