W kawiarniach z dawnych dobrych czasów bywało gęsto od dymu z papierosów, a w „Cafe Aleph” gęsto się zrobiło od rozważań o nieskończoności (ponad 20 komentarzy). Cieszy ta zgodność z szyldem, bo przecież Alephy, od zera w górę i w górę, to kolejne liczby pozaskończone, które oznaczają coraz to wyższe piętra zbiorów nieskończonych.
Ale taka harmonia szyldu i treści jeszcze nie znaczy, że każdemu, kto tu zajrzy łatwo się będzie „połapać” w wędrówkach pośród chmur abstrakcji. Aby te wędrówki ułatwić, zdecydowaliśmy się zamieścić krótki tekst Pawła Stacewicza ujęty w dialog — formę, do której zachęca wiekowa, poczynając od Platona, tradycja pisarstwa filozoficznego.
Wybrany przez nas tekst pochodzi z projektu „Archipelag Matematyki”, który jest realizowany w Politechnice Warszawskiej (m.in. z naszym udziałem), a ma na celu popularyzację matematyki wśród uczniów szkół średnich. Przynależy do cyklu tzw. mat-wywiadów, czyli rozmów ze zwykłymi ludźmi o pojęciach i teoriach matematycznych.
W tytule dialogu jest zawarta fraza „na chłopski rozum”, która wyjaśnia zarówno intencję autora (opowiedzieć maksymalnie prosto o niełatwych zagadnieniach matematycznych), jak i wybór rozmówcy – rolnika pracującego przy żniwach.
A zatem: to co wymyśliły rozumy naukowców, zostanie wyłożone na chłopski rozum. Czy do wszystkich rozumów trafi? Tego oczywiście nie wiemy — zapraszamy jednak wszystkich chętnych do czytania i komentowania.
Witold Marciszewski i Paweł Stacewicz.
******
Reporterka matematycznego radia MAT (znana z innych materiałów Archipelagu Matematyki) zapuszcza się tym razem na wieś, by porozmawiać o teorii mnogości. Widzimy ją tuż przy rozległym polu pszenicy, gdzie pracują maszyny: traktor i kombajn. Reporterka podchodzi do nadzorującego prace rolnika. Mówi doń głośno, a właściwie woła, przekrzykując warkocące maszyny:
– Dzień dobry! Jak tam zbiory…?
– Kiepsko. Susza.
– To niedobrze. Ale może chcielibyście Panowie porozmawiać o teorii zbiorów…?
– Że niby co? Jak teoretycznie dużo zebrać…?
– Nie. O matematycznej teorii zbiorów.
– Eee, to chyba nie… My wszyscy dawno po szkole.
– Ale Panowie, mi właśnie o to chodzi. Jestem z radia i nagrywam wywiady ze zwykłymi ludźmi o pojęciach matematycznych. Panowie mi jak najbardziej pasujecie…
– Chwila… Bo strasznie trzeba krzyczeć. Wyłączymy kombajn…
Mężczyzna daje znak koledze, by wyłączył maszynę. Gdy silnik przestaje hałasować, pyta:
– To jak Pani mówi? Że z radia?
– Tak. Matematycznego. I chcę namówić Panów na rozmowę o zbiorach.
– Czyli na czasie…
– Jak najbardziej. Choć w pewnym sensie zbiór to obiekt ponadczasowy.
– (???)
– Już wyjaśniam… Mówicie Panowie, że macie kiepskie zbiory. Dla matematyków jednak są to takie same zbiory jak wszelkie inne. Dla nich zbiór, inaczej mnogość, to każda grupa przedmiotów o wspólnej własności. Na przykład: mogliby zdefiniować i oznaczyć literką A zbiór wszystkich ziaren pszenicy o takiej a takiej wadze; ale byłby to tylko przykład, przykład czegoś, co spełnia pewne ogólne prawa.
– Noo… Konkretne to, to nie jest?
– No nie. Bo zbiór to przedmiot abstrakcyjny… Myślimy sobie o jakiejś cesze konkretnych przedmiotów, np. kulistości. I abstrahując od innych cech tych przedmiotów, powołujemy do życia inny jakby-przedmiot: zbiór rzeczy kulistych.
– Właściwie to po co, jak Pani mówi, powołujemy?
– Właściwie to dla wygody. Czyniąc coś zbiorem, czynimy to coś przedmiotem ogólnej teorii. Takiej teorii, której wyniki pozostają słuszne dla wszelkich zbiorów – również takich, które odpowiadają cesze kulistości.
– Jeśli jednak mamy się dogadać, to musimy konkretniej…
– Okay. To jakbyście Panowie policzyli, ile elementów ma dany zbiór?
– Właściwie sama Pani powiedziała: policzyli. Liczymy element po elemencie, np. ziarnko po ziarnku pszenicy, i wychodzi nam, ile jest wszystkich. Trochę to oczywiście potrwa, ale do wyniku dojdziemy.
– Czyżby? A co wtedy, gdy zbiór jest nieskończony?
– No nie… Miało być konkretnie… A tu znowu: nieskończoność. Chętnie bym zobaczył nieskończenie wielki wór pszenicy.
– Do tego spokojnie dojdziemy. Na początek jednak, pomyślcie Panowie, jak można ustalić bez liczenia – bo nie sposób przecież liczyć w nieskończoność – że dwa zbiory mają tyle samo elementów. Ni mniej, ni więcej – tylko tyle samo.
– Bez liczenia?
– Bez.
– Nie podpuszcza nas Pani?
– W żadnym wypadku. W jaki sposób, na przykład, stwierdzicie Panowie – o ile przejdziemy od zbiorów pszenicy do jej spożycia – że na dobrze zastawionym stole leży tyle samo widelców co noży.
– Tutaj akurat jest prosto. Jeśli ktoś dobrze poukładał, to obok każdego widelca musi leżeć nóż.
– Czyli każdemu widelcowi musi odpowiadać dokładnie jeden nóż?
– No tak.
– No a tak samo można zrobić zawsze. Wystarczy stwierdzić, że każdemu elementowi zbioru A odpowiada dokładnie jeden element zbioru B. Matematycy powiedzieliby: istnieje funkcja różnowartościowa przekształcająca zbiór A na zbiór B. Jeśli znamy taką funkcję, nie musimy liczyć elementów – wiemy, że jest ich tyle samo w A co w B. Czy tak?
– Niby tak. Ale skąd mamy wiedzieć, co to za funkcja? I gdzie tu nieskończoność?
– Powoli. Funkcje znajdują matematycy: są w tym równie dobrzy, jak Panowie w koszeniu. A nieskończoność pojawia się wtedy, gdy chcemy porównywać ze sobą zbiory nieskończone.
– Na przykład?
– Na przykład zbiór liczb naturalnych N (1, 2, 3 itd.) ze zbiorem liczb parzystych P (2, 4, 6 itd.). Obydwa są nieskończenie liczne, przy okazji jednak – równoliczne. A równoliczne są dlatego, że istnieje funkcja f przekształcająca zbiór N na P. Ma ona bardzo prosty wzór: f(n)=2n. Przykładowo: f(1)=2 czyli jedynce odpowiada dwójka, f(2)=4 czyli dwójce odpowiada czwórka i tak dalej.
– Czyli, według Pani, zbiory N i P są tak samo liczne…?
– Nie tyle według mnie, co według naszych zasad.
– Tak na oko jednak, to bzdura! Liczb parzystych jest dwa razy mniej niż naturalnych.
– Na oko może i bzdura. Ale nasze oko kiepsko widzi nieskończoność…
Skoro zgodziliśmy się na „nożowo-widelcową” metodę sprawdzania równoliczności, to musimy się zgodzić na równoliczność zbiorów N i P.
– W takim razie, czy nie będzie tak, że wszystkie zbiory nieskończone są tak samo liczne?
– Brawo! Wciągnęliście się Panowie w nasz abstrakcyjny temat. Ale nie. Tak nie jest! Nie wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne.
– Bo?
– Bo, na przykład, zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, czyli wszelkich możliwych liczb dziesiętnych z częścią ułamkową, np. 1.75, 2.43, liczba Pi, itd…Liczb rzeczywistych – zgodnie z naszymi zasadami – jest więcej.
– Wypada chyba uwierzyć na słowo.
– W tej chwili nie macie Panowie innego wyjścia. Bo dowód wymaga trochę większej znajomości matematyki. Ale powiem Wam, że istnieje pewna niezwykle ciekawa zasada ogólna: każdy zbiór nieskończony jest mniej liczny niż zbiór wszystkich jego podzbiorów.
– Jak to podzbiorów?
– Ano tak: bierzemy jakiś zbiór złożony z konkretnych elementów — pierwszego, drugiego, trzeciego itd. Następnie grupujemy te elementy na wszelkie możliwe sposoby, np. sam pierwszy element, pierwszy z drugim, pierwszy z trzecim itd., nazywając każdą taką grupę podzbiorem. Następnie liczymy podzbiory. Okazuje się, że zawsze będzie ich więcej niż elementów w samym zbiorze. A zatem: rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru jest bardziej liczna niż sam zbiór.
– Czyżby wynikało z tego, że istnieje nieskończenie wiele rodzajów nieskończoności?
– Bo?
– Bo wydaje mi się, że możemy w nieskończoność tworzyć zbiory wszystkich podzbiorów. Najpierw rodzinę podzbiorów zbioru A, powiedzmy AA. Ma ona więcej elementów niż A. Potem rodzinę podzbiorów zbioru AA, powiedzmy AAA. Ma ona więcej elementów niż AA. I tak w nieskończoność.
– Gratulacje! Brawo! Spostrzegł Pan coś, co twórca teorii zbiorów, George Cantor, określił obrazowo jako otchłań nieskończoności. Nie przeraża to Pana?
– Czy ja wiem? Raczej niestrachliwe ze mnie chłopisko. A poza tym nasze „chłopskie” zbiory były i będą skończone.
– To fakt. A nasz wywiad także ma skończony czas. Krótko mówiąc: musimy kończyć. Dziękuję bardzo za rozmowę.
– Dziękujemy i my.
Witam pięknie – to moja pierwsza wizyta. :)
Dobrym przykładem łączenia elementów w pary jest zbiór monet. Moneta M stanowi parę, bowiem ma swój własny awers A i rewers R (por: dwie strony medalu).
Jest uzasadnione twierdzenie, że te zbiory są równoliczne:
{M} = {A} = {R}
Ludzie potrafią wykonać taką monetę, która po obu stronach będzie miała awers (z obu stron to samo).
Jeśli taką monetę dołączymy do nieskończonego ∞ zbioru monet normalnych, to będzie nieskończenie wiele monet AR i jedna moneta AA
Czy wówczas zbiory {A} i {R} nadal będą równoliczne?
Jak to sprawdzić?
Można (tak sądzę) zastosować bijekcję Cantora i z tego nowego zbioru odłączyć wszystkie monety normalne AR a pozostanie moneta AA.
pytanie:
czy jest to dowód, że zbiór {A} jest liczniejszy od {R}, bo każdy rewers R ma parę z awersem A, ale nie każdy awers A ma parę z rewersem R? :)
Witam ślicznie nowego dyskutanta.
Domyślam się, że swoim pytajnym komentarzem chciał zasiać w czytelnikach pewną wątpliwość, która byłaby zaczynem dyskusji.
Nie znając dokładnie jego intencji odpowiem na razie tak.
Wymyślone przez Pana nieskończone zbiory awersów i rewersów muszą wymknąć się zdrowej intuicji, bo nikt oczywiście nie może wykonać takich zbiorów (choć – jak Pan pisze – ludzie mogą wykonać monetę z dwoma awersami).
W dziedzinie zbiorów skończonych (gdyby ktoś faktycznie do skończonego zbioru monet dołączył monetę z dwoma awersami) oczywiście nie ulegałoby wątpliwości,że zbior awersów jest liczniejszy od zbioru rewersów.
W dziedzinie zbiorow nieskończonych zbiory pozostaną jednak równoliczne. Oczywiście na gruncie cantorowskiej definicji równoliczności.
Aby to stwierdzić możemy ponumerować wszystkie awersy liczbami naturalnymi od 1 do nieskończoności, a wszystkie rewersy liczbami naturalnymi od 3 do nieskończoności.
Następnie wystarczy wskazać bijekcję o wzorze f(n)=n+2, która każdemu kolejnemu awersowi przypisze kolejny rewers.
Oczywiście jest to inna bijekcja niż ta, którą Pan sugeruje; ale wystarczy, że istnieje choć jedna.
Podobnie: nieskończony zbiór monet pozostanie równoliczny zarówno z nieskończonym zbiorem awersów, jak i nieskończonym zbiorem rewersów.
Mało tego: gdyby zbiór monet cudownie się rozmnożył, na przykład każda moneta zyskałaby swoją kopię, to na gruncie definicji równoliczności nie byłoby to żadne rozmnożenie; zbiór „podwojony” pozostałby równoliczny ze zbiorem pierwotnym.
Podobny efekt występuje zresztą w rachunku granic, gdzie: „nieskończoność + stała daje nieskończonośc” i „nieskończoność razy stała daje nieskończoność”.
Na razie tyle.
Coś czuję, że nie złoży Pan broni i ujawni głębsze podłoże swoich wątpliwości.
Faktycznie swoim komentarzem pragnę zasiać w czytelnikach pewną wątpliwość, bo jak widać są zaprezentowane dwie bijekcje, obie oparte na gruncie cantorowskiej definicji równoliczności – ale względem siebie sprzeczne.
Czy jest jakiś sposób by jedną z nich wykluczyć jako fałszywą?
Pierwsze pytanie budzące moją wątpliwość dotyczy zdania: „możemy ponumerować wszystkie awersy liczbami naturalnymi od 1 do nieskończoności, a wszystkie rewersy liczbami naturalnymi od 2 do nieskończoności”
Czy da się ponumerować wszystkie awersy nie kończąc numerowania?
Numeruje się po kolei: 1, 2, 3, 4, itd a każdy nowy numer ma poprzednik i każdy wyraża liczbę skończoną. Jak ponumerować wszystkie awersy w zbiorze, który choć ma nazwę przeliczalny – to nie ma ostatniego elementu z założenia, a nawet gdyby to się udało to uzyskana liczba byłaby liczbą skończoną?
Czegoś mi tu brakuje: sposobu numerowania wszystkich elementów zbioru nieskończonego…
Gdzie robię błąd? :)
Zaciekawiło mnie zdanie: „w pewnym sensie zbiór to obiekt ponadczasowy.” W jakim sensie? Chodząc po tym czasowym empirycznym świecie, co chwila napotykam w nim zbiory. Ot, choćby parę moich rękawiczek, czy własne pięć palców. Taka para rękawiczek to obiekt czasowy, ale bez kształtu, koloru etc. Te cechy ma każda z osobna rękawiczka, a para ma tylko tę, że jest to para czyli zbiór dwuelementowy. Jeśli ta konkretna para rękawiczek bytuje w czasie, to ze zbiorem par rękawiczek? Też jest w czasie? Mam podejrzenie, że są tu jakieś dwa sensy słowa „para”, jeden jakby konkretny (ale nie mereologiczny, bo kawałek jednej z rękawiczek nie jest elementem pary), a drugi abstrakcyjny.
Odpowiem na razie p. Robakksowi.
1) Pisze Pan:
„…jak widać są zaprezentowane dwie bijekcje, obie oparte na gruncie cantorowskiej definicji równoliczności – ale względem siebie sprzeczne”
Sprzeczności nie ma, bo pańska „bijekcja” – której nie opisał Pan żadnym wzorem, ani dokładnym objaśnieniem reguł konstrukcji – nie jest tak naprawdę bijekcją. Gdyby nią miała być, to każdemu awersowi odpowiadałby dokładnie jeden rewers, a każdemu rewersowi dokładnie jeden awers. A jak Pan sam spostrzegł, sugerowana przez Pana funkcja (tylko sugerowana, bo nie zdefiniowana) tego warunku nie spełnia.
2) Pisze Pan:
„Czy da się ponumerować wszystkie awersy nie kończąc numerowania?”
Na tym polega właśnie matematyczna idea nieskończoności, że nie można skończyć numerowania! Jeśli coś jest przeliczalne i nieskończone – a tak Pan własnie myślowo skonstruował swój zbiór awersów/rewersów – to po prostu nie można skończyć numerowania!
Nieskończony zbiór przeliczalny to po prostu taki zbiór, który nie jest równoliczny z żadnym zbiorem liczb naturalnych od 1 do n (skończonego n); jest natomiast równoliczny z nieskończonym zbiorem N (wszystkich liczb naturalnych).
Sposób (niekończącego się) numerowania zbiorow przeliczalnych, a więc równolicznych ze zbiorem N, określa właśnie pewna zadana z góry bijekcja. Innymi słowy: definiując bjekcję między N i Z podajemy sposób ponumerowania elementów zbioru Z.
Wątpiąc w możliwość numerowania (czyli przeliczania) kolejnych elementów zbioru nieskończonego, wątpi Pan albo w sensowność posługiwania się pojęciem zbioru N, albo w sensowność metody określania rownoliczności zbiorów za pomocą bijekcji.
Gdyby wątpił Pan w to pierwsze, to wątpiłby Pan w matematyczną (i/lub praktyczną) przydatność najprostszego zbioru nieskończonego, tj. zbioru N, a tym samym wątpiłby Pan w mozliwość ścisłego matematycznego ujęcia nieskończoności (dla którego to celu zbiór N jest niezbędny).
W takim razie zaś podany przez Pana przykład nieskończonego zbioru awersów nie miałby uchwytnego sensu — a nie miałby dlatego, że pańskiego wyobrażenia (zbioru awersów) nie można byłoby w żaden sposób uściślić.
Wgłębiając się w Pańskie wątpliwości, uświadomiłem sobie (na nowo), że istnieje dramatyczna przepaść między naszym skończonym doświadczeniem „codziennym”, a pewnymi ideami, które podsuwa nam wyobrażnia. Oczywiście nam chodzi tu o ideę nieskończoności.
Moglibyśmy z tej idei zrezygnować, ale wtedy musielibyśmy zrezygnować z siły, jaką daje nam nasza wyobraźnia. Siły realnej — co widać choćby po realnych zastosowania analizy matematycznej.
Wytłumaczę się. Korzystam z definicji określanej nazwą: „Naive set theory” (naiwna teoria mnogości), która jest definiowana nieformalnie w języku naturalnym, w oparciu o logiczną zasadę wyłączonego środka: jeśli a=/=b to a nie b.
Z tego powodu 'naiwna teoria mnogości’ jest wolna od paradoksów. Po polsku tę definicję można znaleźć np. w Popularnej Encyklopedii Powszechnej Wydawnictwa Fogra, a udostępnionej w witrynie http://portalwiedzy.onet.pl/
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Bijekcja, matematyczna relacja pomiędzy zbiorami A i B taka, że każdemu elementowi zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru B i wzajemnie: każdemu elementowi zbioru B przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A. Bijekcja jest suriekcją i jednocześnie iniekcją.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Oryginalne prace Cantora także należą do naiwnej teorii mnogości i mają tę cechę, że operuje się na zbiorach pełnych, a więc funkcja „dążenie do” jest zbyteczna (por. nieskończony hotel Hilberta, w którym wszystkie pokoje są już zajęte).
Moneta M stanowi parę, bowiem ma swój własny awers A i rewers R
Jedna moneta M posiada jeden awers A i jeden rewers R
1 = 1/1
Klasyczna algebra Diofantosa pokazuje, że proporcja {A}/{R} nie zależy od ilości monet bowiem te ilości się upraszczają:
dla x∙M x∙A / x∙R = x/x ∙ A/R = 1 ∙ 1 = 1
Gdybym ja miał uczniom szkół średnich i zwykłym ludziom opowiedzieć maksymalnie prosto jak powstaje nieskończony zbiór monet (par awersów i rewersów) – to przywołałbym hotel Hilberta w którym jest nieskończenie wiele pokoi, a każdy pokój jest zajęty przez pojedynczego gościa. Wystarczy wyobrazić sobie, że każdy gość wystawia na korytarz jedną monetę, a te monety utworzą zbiór.
Gdyby tak się zdarzyło, że ktoś monety by nie wystawił
-to-
taki zbiór monet nie miałby ciągłości (z wyłączeniem pierwszej i ostatniej), bo odległość pomiędzy dwiema sąsiadującymi monetami byłby 2 wg numeru pokoju.
n n+1 n+2
M M
n+2 – n = 2
Odpowiem z kolei Witoldowi (zawieszając na krótko rozmowę z p. Robakksem).
No cóż, słuszne to spostrzeżenie, że w rozmowie z rolnikiem splotły się ze sobą dwa jakby poziomy abstrakcji, a to zaciemniło przekaz.
Po pierwsze, sam wynik procesu abstrakcji, czyli zbiór powstały w wyniku wydobycia na pierwszy plan pewnej cechy konkretnych przedmiotów (np. kulistości) z pominięciem innych cech, nie jest obiektem ponadczasowym. Na przykład wszystkie, kuliste żyrandole w moim domu, tworzą zbiór jak najbardziej czasowy (gdy jeden z nich wymienię na inny – zmieni się i zbiór).
Zastanawiać się natomiast można, czy obiekt abstrakcyjny staje się ponadczasowym, gdy jest przy okazji idealnym. Na przykład: zbiór idealnych kul, opisanych odpowiednią definicją matematyczną, można by uznać (choć tu wkraczamy w pewne filozoficzne subtelności) za obiekt ponadczasowy.
Po drugie jednak, i o to z grubsza miało iść w dialogu z rolnikiem, zbiór jest obiektem ponadczasowym w takim sensie, że jest dobrze określonym obiektem matematycznym — spełniającym pewne aksjomaty i funkcjonującym w obrębie ogólnej i niesprzecznej teorii. Chodzi zatem o matematyczne pojęcie zbioru, a nie jakiś konkretny zbiór.
Chcąc to wyjaśnić reporterka mówi: „Czyniąc coś zbiorem, czynimy to coś przedmiotem ogólnej teorii. Takiej teorii, której wyniki pozostają słuszne dla wszelkich zbiorów – również takich, które odpowiadają cesze kulistości.”
Zgadzam się jednak, że wcześniejsze akapity mogły wyrazistość tego objaśnienia zamazać.
Pozostaje oczywiście głębsze jeszcze pytanie (w dialogu nieobecne), sygnalizowane kiedyś przez Radka, pytanie o to, czy obiekty matematyczne są faktycznie ponadczasowe. Wszak matematyczne pojęcie zbioru zmienia się. Do wieku XX na przykład nie znaliśmy pojęcia zbioru rozmytego czy przybliżonego. Pan Robakks też pisze o naiwnej teorii zbiorów, która z czasem przeobraziła się w teorię inną.
Być może jednak niepotrzebnie wywołuję te tematy w bieżącym wątku…
Pozwolę sobie włączyć się do dyskusji, acz w sposób raczej luźny i dygresyjny.
Porównajmy dwie wypowiedzi Reporterki:
A) „Choć w pewnym sensie zbiór to obiekt ponadczasowy.”
oraz
B) „Myślimy sobie o jakiejś cesze konkretnych przedmiotów, np. kulistości. I abstrahując od innych cech tych przedmiotów, powołujemy do życia inny jakby-przedmiot: zbiór rzeczy kulistych.”
Proszę zauważyć platonizm (z braku lepszego określenia) wypowiedzi A kontrastujący z konstruktywizmem wypowiedzi B. Być może ujawnia się w ten sposób znana dwoistość stosunku matematyków do własnej dziedziny uchwycona w powiedzeniu: „platonicy na co dzień, konstruktywiści od święta”.
I jeszcze jeden komentarz do następującej wypowiedzi Reporterki:
C) „Czyniąc coś zbiorem, czynimy to coś przedmiotem ogólnej teorii. Takiej teorii, której wyniki pozostają słuszne dla wszelkich zbiorów – również takich, które odpowiadają cesze kulistości.”
Otóż zauważmy, że wniosek sformułowany w pierwszej części drugiego zdania (a dokładnie wielki kwantyfikator – „dla wszelkich zbiorów”) jest warunkowy i bynajmniej nie musi zachodzić. Zależy on mianowicie od tego, jakim rozumienia pojęcia zbioru się posługujemy. Jak wiadomo Cantorowska teoria zbiorów posługuje się rozumieniem dystrybutywnym, podczas gdy np. pomyślana jako alternatywa wobec niej mereologia Leśniewskiego – kolektywnym. Obie teorie są, by tak rzec, niewspółmierne (np. mereologia nie dopuszcza istnienia zbioru będącego częścią wszystkich innych – musiałby to być zbiór pusty a przecież pojecie kolektywnego zbioru pustego wydaje się nie mieć żadnego uchwytywalnego sensu).
Ja bym powiedział odwrotnie: „konstruktywiści na codzień, platonicy od święta”. Moim zdaniem rasowy matematyk przede wszystkim konstruuje obiekty matematyczne i operuje nimi, a jedynie od święta (i to jeśli odczuwa taką filozoficzną potrzebę) zastanawia się nad ich statusem bytowym. Inna sprawa, że gdy już się nad tym zastanawia, to często dochodzi do nieodpartego (nie dla wszystkich) platońskiego przekonania, że są one ponadczasowe.
Wrócę jeszcze do zawieszonej rozmowy z p. Robakksem, z którym nie możemy się do końca porozumieć.
Być może porozumiemy się lepiej przy innej okazji — o ile zechce Pan w naszych dyskusjach uczestniczyć.
Ja myślalem o pańskim przykładzie stosunkowo prosto.
Bierzemy za punkt wyjścia nieskończony zbiór ponumerowanych monet M (czyli zbiór mocy aleph 0). Tworzymy na jego podstawie nieskończone zbiory awersów A i rewersów R. Modyfikujemty te zbiory w ten sposób, że wyobrażamy sobie, iż jedna z monet ma dwa awersy. Tę wyjątkową monetę możemy umieścić na początku zbioru monet.
Wtedy uzyskujemy zmodyfikowany zbior awersów A’, który ma jakby o jeden element-awers „więcej” niż A, ale jednak (patrząc oczyma wyobraźni) możemy ponumerować jego elementy liczbami naturalnymi począwszy od 1.
Uzyskujemy także zmodyfikowany zbiór rewersów R’, który ma jakby o jeden element-rewers „mniej” niż R, ale jednak (znowu patrząc oczyma wyobraźni) możemy ponumerować jego elementy liczbami naturalnymi począwszy od 3.
Mówiąc obrazowo: jeśli wyjątkową monetę umieścimy na początku i ułożymy wszyskie rewersy pod wszystkimi awersami, to kolejne rewersy będą leżeć dokladnie pod kolejnymi awersami, z tym że ich ciąg rozpocznie się od miejsca pod trzecim awersem.
Jeśli tak to sobie wyobrazimy (co pewnie lepiej byłoby narysować niż opisywać), to dostajemy dość proste zagadnienie uzasadnienia równoliczności między zbiorem {1,2,3…} (odpowiednkiem zbioru A’) oraz zbiorem {3,4,5…} (odp-owiednikiem zbioru R’). Uzasadnieniem równoliczności jest podanie bijekcji f(n)=n+2.
Z mojego punktu widzenia tak to wygląda, ale Pan widzi to jakoś inaczej, pisząc „jeśli zdarzy się, że ktoś nie wystawi monety”.
Czyli sugeruje Pan, że nie wiemy, kto monety nie wystawi; a więc — trzymając się poprzednich moich opisów — nie wiemy, która z nieskończonego zbioru monet jest wyjątkowa (dwa awersy) i nie możemy wyobrazić sobie, że stoi ona na poczatku ciągu monet.
Ja do końca nie rozumiem — o ile w ogóle dobrze Pana rozumiem — co to miałoby zmienić. W mojej wyobraźni nadal obydwa zbiory A’ i R’ są równoliczne i mają moc aleph 0 (co uzasadnia podana bijekcja).
Jeśli jest już Pan zmęczony tą – jałową być może – dyskusją, to nie ciągnijmy jej dalej.
Zostawmy siły na inne tematy, :).
Mnie rozmowy o nieskończonościach nie męczą. :)
Sądzę też, że jakikolwiek temat będzie związany z nieskończonością, to zawsze pojawi się pytanie
czy słowa: wszystkie elementy zbioru nieskończonego są sprzeczne z założeniem, że zbiór nieskończony nie ma ostatniego elementu?
Uważam, że problem dotyczy nie tylko zbiorów nieskończonych, ale przede wszystkim uściślenia: co to jest dowód w matematyce. :)
Cytat:
„zawsze pojawi się pytanie
czy słowa: wszystkie elementy zbioru nieskończonego są sprzeczne z założeniem, że zbiór nieskończony nie ma ostatniego elementu?”
Powyższa uwaga pokazuje, jak sądzę, ciekawy problem. Otóż potocznie rzecz ujmując myślimy o przeliczaniu zbioru nieskończonego jako stawianiu kolejnych kroczków na drodze: najpierw 1, potem 2, dalej 3 itp. Oczywiście „idąc” w ten sposób nigdy nie osiągniemy „końca” zbioru nieskończonego, gdyż ex definitione nie ma on końca rozumianego jako ostatni/największy pojedynczy element. Natomiast nie oznacza to (a z jakichś powodów nasza codzienna intuicja nam tak właśnie podpowiada), że nie można mówić zbiorze nieskończonym JAKO całości (proszę zauważyć, że z takiej właśnie błędnej potocznej intuicji narodził się np. problem Achillesa i żółwia: otóż starożytni Grecy nie znali pojęcia granicy ciągu nieskończonego).
Żeby sprawę wyjaśnić maksymalnie prosto: rozważmy obustronnie domknięty przedział w zbiorze liczb rzeczywistych. Oczywistym jest, że zawiera on nieskończoną ilość elementów. Gdybyśmy chcieli zastosować wspomnianą powyżej potoczną intuicję np. do podzbioru tego zbioru postaci: 1/2, 1/4, 1/8 itd. to możemy „kroczyć” w ten sposób nieskończenie długo i nigdy nie znajdziemy elementu ostatniego. Czy jednak oznacza to, że nie można rozważać przedziału JAKO całości? Otóż jest wprost przeciwnie i matematykom nie nastręcza to żadnych problemów.
:)
Dokładnie to miałem na myśli gdy pisałem: zawsze pojawi się pytanie
czy słowa: wszystkie elementy zbioru nieskończonego są sprzeczne z założeniem, że zbiór nieskończony nie ma ostatniego elementu?
Niech będzie ten obustronnie domknięty przedział w zbiorze liczb rzeczywistych. W geometrii klasycznej taki przedział jest równoważny jakiemuś konkretnemu odcinkowi na osi liczbowej. Możemy się umówić, że ten odcinek to zbiór punktów z których ten pierwszy ma nazwę '0′ a ten ostatni ma nazwę '1′.
W doświadczeniu myślnym można po takim odcinku przetoczyć okrąg od punktu '0′, a okrąg ten zatrzymał się na punkcie '1′ (chodzi oczywiście o styk) i pytania dotyczące tego odcinka:
• czy punktów na tym odcinku jest nieskończenie wiele?
• czy okrąg tocząc się miał styk z każdym?
• czy wszystkie punkty miały styk z okręgiem?
• czy punkt '1′ jest ostatnim z którym okrąg miał styk?
Jeśli na ostatnie pytanie odpowiemy TAK, to powstanie sprzeczność z założeniem, że „nigdy nie znajdziemy elementu ostatniego”. Co ciekawsze:
punktów na tym odcinku jest więcej niż wszystkich możliwych liczb naturalnych, dlatego w swoim poście zapytałem: co to jest dowód w matematyce?
Czy fakt, że okrąg znajduje się na ostatnim punkcie odcinka to jest dowód, że jednak ostatni element zbioru nieskończonego da się osiągnąć krok po kroku?
Gdyby to był dowód, to założenie o braku ostatniego elementu byłoby założeniem fałszywym… :(
W skonstruowanym przez Pana przykładzie ponownie mamy do czynienia z przenoszeniem potocznych wyobrażeń/intuicji w świat matematycznych abstrakcji. Oczywiście nie da się „przetoczyć” jakiegokolwiek REALNIE (czyli fizycznie, materialnie) istniejącego okręgu przez jakikolwiek odcinek prostej rzeczywistej, a to z banalnego powodu – jest ona abstrakcją i nie istnieje fizycznie. Zapominanie o tym rodzić może rozmaite (pseudo)problemy. Natomiast ujmując Pański problem nieco mniej metaforycznie: da się skonstruować funkcję (bijekcję), która przeprowadza nasz odcinek na okrąg i ponownie – nie nastręcza to żadnych problemów.
Jeżeli zaś chodzi o pojecie dowodu, to nie podejmuję się toczyć w tej materii głębszych dyskusji a to z prostego powodu – nie czuję się w niej (niestety…) dość kompetentny. Oczywiście dowód danego zdania jest (definicyjnie) skończonym ciągiem ponumerowanych wyrażeń, z których każde jest albo aksjomatem, albo derywacją z aksjomatów na podstawie odpowiednich reguł ich przekształcania, zaś ostatnie jest udowadnianym zdaniem. Jeżeli taki skończony ciąg nie istnieje – nie ma dowodu danego zdania. Niemniej przyznam, że nie całkiem rozumiem dlaczego dokonuje Pan tak gwałtownego skoku z geometrii w teorię dowodu…
Zmuszony jestem dokonać korekty poprzedniego wpisu: otóż zbyt szybko napisałem, że funkcja przeprowadzająca odcinek rzeczywisty w okrąg na płaszczyźnie rzeczywistej będzie bijekcją. Byłaby nią, gdyby odcinek był obustronnie otwarty (0,1), natomiast nie będzie nią w przypadku odcinka obustronnie domkniętego. Otóż dowolną krzywą można rozumieć jako ciągłe odwzorowanie F odcinka (a,b) na płaszczyznę. W przypadku, gdy mamy do czynienia z krzywą zamkniętą (a taką jest np. okrąg), wówczas F(a) = F(b). Gdy zachodzi taka sytuacja odwzorowanie F nie może być już bijekcją, gdyż nie jest różnowartościowe. Przepraszam dyskutantów za tę pomyłkę.
Tu zaszło jakieś nieporozumienie. Ja nie pytałem o realne przetoczenie okręgu po odcinku, lecz o idealizację matematyczną. Prawdziwe koło, które toczy się po jezdni zbudowane jest z atomów, a to samo koło w idealizacji geometrycznej już od czasów Euklidesa zbudowane jest z punktów. Styk okręgu z linią także znany jest od tysięcy lat (styczna), a ilość tych punktów styku jest dokładnie taka sama jak ilość przekrojów Dedekinda (cięcia na zbiorze o porządku liniowym). Nie napisałem więc nic co wcześniej matematyce nie byłoby znane, a chodziło mi przede wszystkim o to by uzyskać odpowiedzi WPROST na moje pytania, które powtórzę:
• czy punktów na tym odcinku jest nieskończenie wiele?
• czy okrąg tocząc się miał styk z każdym?
• czy wszystkie punkty miały styk z okręgiem?
• czy punkt ’1′ jest ostatnim z którym okrąg miał styk?
Ja odpowiedziałbym cztery razy TAK.
Jeśli nie czuje się Pan na siłach, by odpowiedzieć na te pytania, to może lepiej nic nie pisać, żeby nie zgubić tej myśli wiodącej zawartej w czwartym pytaniu? :)
Podtrzymuję swoją tezę, że mamy do czynienia z pseudoproblemem wynikającym z nieporozumień czysto językowych nie zaś z jakąkolwiek realną sprzecznością.
Otóż w przypadku zbioru nieskończonego (domkniętego lewostronnie, bądź otwartego obustronnie) – a takimi są np. zbiory liczb naturalnych, wymiernych etc. – element maksymalny po prostu nie istnieje. W przypadku zaś zbiorów nieskończonych i domkniętych obustronnie – w naszym przypadku jest to przedział – mamy element zarówno minimalny jak i maksymalny, co wszakże nie przeczy bynajmniej warunkowi nieskończoności zbioru.
Wobec tego wracając do Pańskiego pytania:
„czy słowa: wszystkie elementy zbioru nieskończonego są sprzeczne z założeniem, że zbiór nieskończony nie ma ostatniego elementu?”
w moim odczuciu odpowiedź jest trywialna – nie, nie ma tu sprzeczności, gdyż nieskończoność danego zbioru jest niejako indyferentna wobec istnienia/nieistnienia jego maksymalnego elementu.
Krótko mówiąc: istnieją zbiory nieskończone mające element maksymalny oraz takie, które go nie mają. I nie ma tu żadnej sprzeczności ze wspomnianym przez Pana założeniem, gdyż żaden znany mi matematyk nie czyni założenia, że zbiór nieskończony musi być z konieczności pozbawiony elementu maksymalnego.
Po przejrzeniu naszych poprzednich wpisów w tym temacie dochodzę do wniosku, że przyczyną całego zamieszania stały się – jak to często bywa – skróty myślowe i zrodzone z nich niedokładności językowe.
I tak np. gdy pisałem:
„potocznie rzecz ujmując myślimy o przeliczaniu zbioru nieskończonego jako stawianiu kolejnych kroczków na drodze: najpierw 1, potem 2, dalej 3 itp. Oczywiście „idąc” w ten sposób nigdy nie osiągniemy „końca” zbioru nieskończonego, gdyż ex definitione nie ma on końca rozumianego jako ostatni/największy pojedynczy element”
to myślałem oczywiście o zbiorze liczb naturalnych, który elementu maksymalnego nie ma właśnie z definicji. A co za tym idzie elementu takowego nie możemy nijak osiągnąć. Oczywiście nie oznacza to, że tym samym każdy zbiór nieskończony ma cechę nieposiadania elementu maksymalnego. Niemniej teraz widzę, że powinienem to wyraźnie zaznaczyć.
Z kolei pisząc:
„Gdybyśmy chcieli zastosować wspomnianą powyżej potoczną intuicję np. do podzbioru tego zbioru postaci: 1/2, 1/4, 1/8 itd. to możemy „kroczyć” w ten sposób nieskończenie długo i nigdy nie znajdziemy elementu ostatniego”
użyłem słowa „znajdziemy” jako skrótu dla „osiągniemy w skończonej ilości kroków”. Oczywiście „znaleźć” – w sensie „wskazać” – możemy zarówno element maksymalny jak i minimalny: będzie to odpowiednio 1/2 oraz 0 (zakładam, że przedział jest obustronnie domknięty).
Podsumowując: w obu powyższych przypadkach nie osiągniemy elementu granicznego zbioru w skończonej liczbie kroków (gdyż oba zbiory mają nieskończoną liczbę elementów), niemniej dzieje się tak z dwóch różnych powodów i nie pociąga za sobą bynajmniej konieczności nieistnienia elementu maksymalnego/minimalnego.
Żeby nie przeciągać tej rozmowy w nieskończoność, gdy jeden pyta, a drugi nie widzi pytań – proponuję by kliknąć na link:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Pi-unrolled-720.gif
na którym okrąg toczący się po linii zaznacza odcinek o długości równej π.
To jest geometria – dział matematyki prawie tak stary jak ludzkość.
Platon nad drzwiami do swej Akademii umieścił napis:
AGEOMETRETOS MEDEIS EISITO
a więc chcąc rozmawiać o geometrii trzeba chcieć ją poznać. Nie wystarczy znajomość założeń innych teorii, oderwanych od realiów i modeli.
W geometrii nie ma czegoś takiego jak nazywanie pytań „pseudoproblemami” tak samo jak nie ma odcinków jednostronnie czy obustronnie otwartych.
Kij ma zawsze dwa końce, a ta ludowa mądrość w przełożeniu na język geometrii oznacza, że każdy odcinek, wycinek, krzywa ciągła – ma zawsze punkt pierwszy i punkt ostatni. Każdy punkt ma poprzednik za wyjątkiem pierwszego puntu, który nie ma poprzednika na tym odcinku
i każdy punkt ma następnik za wyjątkiem punktu ostatniego, który nie ma następnika na tym odcinku; przy czym ostatni jest pierwszym od końca.
Liczba π nazywana jest liczbą niewymierną, bo ludzie nie umieją jej zapisać za pomocą ilorazu dwóch liczb całkowitych p/q. Ta nieumiejętność wynika z założenia, że „nie osiągniemy elementu granicznego zbioru”
a więc najpierw zakłada się, że czegoś się nie da
później z założenia robi się definicję
a następnie ex definitione kreuje się wewnętrznie sprzeczną tautologię:
Achilles nigdy nie dogoni żółwia, bowiem go dogania.
Od początku starałem się pokazać, że całą naszą dyskusję zrodziło potoczne rozumienie zbioru nieskończonego jako takiego, który „nie ma końca”. Natomiast zbiór nieskończony, to po prostu zbiór, który nie jest skończony – czyli jest mocy alef zero lub wyższej. Przy czym nieistotne jest, czy istnieje w nim element maksymalny („ostatni”) lub minimalny („pierwszy”). W przypadku nieprzeliczalnego (mocy continuum) zbioru liczb rzeczywistych z przedziału jednostkowego możemy wszakże wskazać zarówno element maksymalny – „pierwszy” lub „ostatni” – ale nie wskażemy już np. elementu drugiego lub przedostatniego.
Tyle tytułem mojego ostatniego komentarza w tej zaiste jałowej dyskusji. Sądzę, że winniśmy raczej posłuchać ze wszech miar słusznej rady Pawła i oszczędzać siły na kolejne tematy i kolejne dyskusje.
Odcinek jest jak najbardziej skończonym zbiorem punktów, choć tych punktów jest więcej niż wszystkich liczb naturalnych.
Ależ to jest przecież najważniejsze gdy mowa o wszystkich elementach zbioru nieskończonego.
Słowo wszystkie oznacza:
od pierwszego do ostatniego
Nie wskażemy dopóki nie zrozumiemy co znaczą słowa Cantora:
zbiór dobrze uporządkowany
Niektórzy już to wiedzą – pozostali jeśli chcą wiedzieć, to muszą wpierw zrozumieć.
Zgadzam się, że ta wymiana postów była jałowa, bo nie przyniosła odpowiedzi na moje pytania, a więc traciłem czas… Może ktoś inny zrozumie, że okrąg tocząc się po odcinku zaznacza wszystkie punty po kolei i zatrzymuje się na ostatnim w danym przedziale, a kolejny punkt jest już poza tym przedziałem…
Wszystkich punktów zaznaczonych ma odcinku o długości '1′ jest continuum = C
a kolejny punkt C+1 nie należy już do tego zbioru.
Jest liczbą większą od C.
:).
Pingback: Debata o nieskończoności | Polemiki i rozmówki w "Cafe Aleph"