O wspomaganym filozoficznie nauczaniu matematyki

Obecny wpis powstał w porozumieniu z redakcją czasopisma Semina Scientiarum, do którego został zgłoszony mój artykuł o Archipelagu Matematyki (przypomnę, że temat Archipelagu gościł w naszym blogu już kilkukrotnie; zob. np. wpis z dnia 20.10.2013)

Wspomniany artykuł dotyczy filozoficznych wątków Archipelagu, które z grubsza da się streścić w następujących punktach:

(1) Prezentując niektóre treści matematyczne, przyjęto sokratejską metodę pytań zmierzających do wydobycia z rozmówcy jego ukrytej wiedzy matematycznej.

(2) Przedstawiając niektóre źródła matematycznych pojęć, sięgnięto wprost do myśli tych filozofów, którzy zajmowali się twórczo matematyką i logiką (np. Arystotelesa czy Leibniza).

(3) Pragnąc ukazać związki matematyki z innymi dziedzinami, przedstawiono pewne pytania filozoficzne, do których prowadzą ustalenia matematyków (np. twierdzenia matematyczne).

(4) Objaśniając specyfikę poznania matematycznego (w szczególności zdumiewającą zgodność wielu matematycznych twierdzeń z rzeczywistością), ukazano różne filozoficzne stanowiska w tej sprawie (jak platonizm czy instrumentalizm).

Zasygnalizowawszy filozoficzne wątki Archipelagu, chciałbym teraz poddać pod dyskusję końcowy fragment w/w artykułu, dotyczący nauczania matematyki w powiązaniu z filozofią (i na odwrót).

A oto i tekst…

**********

KOŃCOWY  FRAGMENT  ARTYKUŁU
O związkach matematyki z filozofią
na przykładzie projektu Archipelag Matematyki

Na koniec artykułu chciałbym podzielić się z czytelnikiem garścią uwag metodologicznych, do których skłania uczestnictwo w opisanym projekcie. Uwagi te będą dotyczyć nauczania obydwu tytułowych dyscyplin, matematyki i filozofii, w taki sposób jednak, by druga z nich  jak najwięcej na tym skorzystała.

Uwagi będą koncentrować się wokół dwóch pytań:
(1) W jaki sposób w nauczaniu matematyki wykorzystywać filozofię?,
(2) Jak uczyć filozofii, wykorzystując matematykę (a także inne nauki ścisłe)?[1]

Cząstkowej odpowiedzi na pytanie pierwsze dostarcza drugi z opisanych w artykule przykładów. Jego forma dialogowa powinna nasunąć skojarzenie z Dialogami Platońskimi, i zawartą w nich sokratejską metodą stopniowego wydobywania wiedzy z rozmówcy poprzez podsuwanie trafnych skojarzeń i pytań (tzw. metoda majeutyczna). Uważam, że dydaktycy matematyki powinni częściej stosować tę metodę, bazując na nabytych i wrodzonych intuicjach ucznia (zakorzenionych niekiedy w języku potocznym). Stosując ją, mogliby powoływać się (nawet w formie ciekawostki) na jej filozoficzny, sokratejsko-platoński, rodowód. Dodam jeszcze, że w Archipelagu Matematyki nie brakuje materiałów zorganizowanych w taki właśnie sposób, a wiele z nich przynależy do kategorii mat-wywiadów (zob. np. zamieszczony w blogu mat-wywiad o liczbach nieobliczalnych).

Kolejna „filozoficzna” wskazówka dla dydaktyków matematyki wiąże się również z pytaniami – tym razem jednak chodzi o motywowanie uczniów do samodzielnego stawiania pytań filozoficznych. Nie tylko matematycznych, związanych z taką czy inną definicją lub metodą, lecz bardziej ogólnych. Oto sugestywny przykład: „Czym jest liczba?” i „Czy naprawdę to wiemy?”. Niech uczeń wczuje się w ten problem, zestawi różne rodzaje liczb, pozna różne sposoby odpowiedzi…  niech przekona się w ten sposób o otwartym charakterze matematyki, w której wciąż przecież konstruuje się nowe pojęcia, w tym nowe rodzaje liczb.
Przy okazji stosowania tego rodzaju metody warto podkreślać – i to ma już bezpośredni związek z historią filozofii – że historycznie rzecz biorąc, wiele matematycznych odkryć było inspirowanych pytaniami filozoficznymi (tak np. rozumował G.W. Leibniz; zob. artykuł K. Trzęsickiego).

Podążając tropem pytań, za sprawą których filozofia może przyczynić się do skuteczniejszego nauczania matematyki, dochodzimy do kwestii kolejnej. Otóż często przedstawia się matematykę jako narzędzie – narzędzie, które warto opanować po to, by móc poprawnie rozumować, formułować trafne przewidywania czy skuteczniej przekształcać świat. Innymi słowy zwraca się uwagę na bogate zastosowania matematyki. Wybierając taką strategię popularyzacji (a tak właśnie uczyniono w omawianym projekcie), przyjmuje się domyślnie, że świat wokół nas jest matematyczny. Ale dlaczego tak jest? Skąd wynika ta jego zdumiewająca cecha? Są to najgłębsze pytania filozoficzne, którymi warto dopełnić prosty przekaz o mnogości zastosowań. Warto zachęcić ucznia (zwłaszcza humanistę) do sformułowania własnego stanowiska w tej sprawie (omawiając wcześniej typowe odpowiedzi Platona, Arystotelesa, Kanta i innych) i  pokazać w ten sposób, że matematyki nie tylko trzeba się uczyć, ale warto także się nad nią zastanawiać.

Podsumujmy zatem: pozytywna rola filozofii w nauczaniu matematyki polega przede wszystkim  na tym, że zachęca ona do stawiania pytań – pytań kierunkujących myślenie (metoda majeutyczna), pytań o istotę matematycznych pojęć, oraz pytań o stosunek matematyki do świata.

Przejdźmy z kolei do pytania drugiego, w którym główny akcent pada na nauczanie filozofii, a nie matematyki[2]. Z uwagi na specyfikę omawianego projektu (a także kończący poprzednie zdanie przypis) pytaniu temu poświęcę nieco mniej miejsca.

Na początek narzuca się uwaga następująca: gdyby chcieć zachować symetrię z układem wcześniejszych wniosków, to można by stwierdzić, że podobnie jak w nauczaniu matematyki pożądana wydaje się metoda majeutyczna, tak w nauczaniu filozofii winno się stosować metody matematyczne.  To znaczy: precyzyjne definiowanie terminów, aksjomatyzację, formalne dowody itp. Do wniosku tego skłania nadto podobnie ogólny i abstrakcyjny charakter pojęć  używanych w obydwu dyscyplinach (np. z jednej strony mamy byt, a z drugiej – liczbę).

Ponieważ powyższa uwaga jest bardzo ogólna, a jej rozwinięcie wymagałoby dalszego precyzowania o jakie metody matematyczne chodzi, i które z nich można by z powodzeniem wykorzystać, proponuję rozpatrzyć na koniec trochę inny punkt widzenia, mocno zbieżny z przykładem z punktu 2.2. Mam na myśli taką metodę nauczania filozofii, która mimo zachowania wysokiego poziomu abstrakcji nawiązuje do konkretnych pojęć, metod i twierdzeń matematyki. Z grubsza idzie o metodę następującą: (i) wychodzimy od matematycznego „konkretu”, którego opis nie pozostawia żadnych niedomówień (np. od cantorowskiego pojęcia nieskończoności), (ii) omawiamy ów matematyczny punkt wyjścia w kontekście filozoficznym (np. przedstawiamy będące jego źródłem intuicje filozofów czy też stosujemy go do zilustrowania lub rozjaśnienia pewnych kwestii filozoficznych), (iii) jeśli pierwotne matematyczne definicje  okazują się filozoficznie nieadekwatne, próbujemy je przeformułować (np. zmienić cantorowskie ujęcie nieskończoności).

Metoda taka, choć opisana bardzo zgrubnie, ma dwie istotne zalety: zbyt spekulatywnych i dygresyjnie nastawionych filozofów przymusza do ścisłości wywodu, matematyków z kolei wyposaża w pewną ciekawą heurystykę (heurystykę filozoficzną) dochodzenia do nowych pojęć (a w rezultacie: nowych twierdzeń i nowych teorii). Owe dwie zalety, niekoniecznie związane z powyższą metodą,  można uznać za kwintesencję wszelkich prób łączenia matematyki z filozofią.

Przypisy

[1]
Na marginesie pierwszego z pytań warto zauważyć, że uwzględnienie w omawianym projekcie filozofii było inicjatywą samych matematyków, a szczególnie kierującego całym przedsięwzięciem prof. Tadeusza Rzeżuchowskiego.  Już sam ten fakt jest znaczący: okazuje się bowiem, że przedstawiciele innych dyscyplin, w tym tak –  wydawałoby się –  samowystarczalnych jak matematyka, pragną sięgać do filozofii. Kwestia kolejna to bardzo dobre przyjęcie filozoficznej zawartości Archipelagu przez nauczycieli (recenzujących niektóre materiały) oraz uczniów (testujących projekt). Na koniec zaś pewien akcent personalny: otóż w ostatniej fazie realizacji projektu funkcję głównego redaktora merytorycznego (a także specjalisty od pewnych spraw technicznych)  pełnił filozof z wykształcenia: pan Adam Wasążnik.

[2]
Mimo innego rozłożenia akcentów zauważyć trzeba, ze pytanie drugie pokrywa się po części z pierwszym. Dzieje się tak, ponieważ nauczanie matematyki z wykorzystaniem filozofii jest jednocześnie pewną metodą przybliżania niektórych zagadnień filozoficznych.

**********

Print Friendly, PDF & Email
Ten wpis został opublikowany w kategorii Dydaktyka logiki i filozofii. Dodaj zakładkę do bezpośredniego odnośnika.

5 odpowiedzi na „O wspomaganym filozoficznie nauczaniu matematyki

  1. P. Polak pisze:

    Witam serdecznie,

    Cieszę się z podjęcia tego tematu, bo wprowadza nas w meandry współpracy interdyscplinarnej, tak przecież ważnej w filozofii informatyki.

    Sądzę, że łączenie edukacji matematycznej z filozoficzną jest ważne zarówno dla matematyki jak i dla filozofii. Matematykom pokazuje szerszy kontekst działalności, z pewnością trudna do przecenienia jest rola heurystyczna. Dla filozofii to z pewnością zastrzyk nowych problemów – to właśnie bliska mi „filozofia w nauce”.

    Z moich doświadczeń widzę, że dużym problemem na początku jest przełamanie uprzedzeń. Dodałbym, że ważne w tym jest to, aby nauczyć się rozumieć inne style rozumowania/podejścia do problemów. To chyba jedna z najczęstszych przeszkód w działalności interdyscyplinarnej. Niestety działalność taka musi iść niejako pod prąd typowej działalności specjalizacyjnej – trzeba więc nauczyć się porzucać wygodną, bezpieczną i dobrze opanowaną metodologię swej działki na rzecz dialogu.

    Sądzę jednak, że metoda pytań sokratejskich powinna być niejako „dwustronna”. Filozof też się może dużo nauczyć dzięki celnym pytaniom matematyka/fizyka/inżyniera/…

    Na początek niech wystarczy kilka uwag, z pewnością trochę bezładnie rzuconych, ale mam nadzieję, że inspirujących do dalszej dyskusji.

    Z serdecznymi pozdrowieniami z Krakowa,
    P. Polak

  2. Paweł Stacewicz pisze:

    Dziękuję za ten komentarz i przepraszam, że odpowiadam po dość długim czasie.

    Muszę przyznać, że przywołane wyżej hasło „filozofii w nauce” trafia mi do przekonania. Rozumiem je tak, że uprawiając i popularyzując nauki poza-filozoficzne (wszak filozofię również uznaje się za naukę!), przede wszystkim zaś nauki ścisłe, napotyka się z konieczności różne kwestie filozoficzne.
    Wiążą się one chociażby z używaniem pierwotnych pojęć, które są różnym naukom wspólne i warunkują jakiekolwiek podejmowane w nich badania. Do typowych przykładów należą: przyczyna (a dalej: przyczynowość) i zbiór (a dalej: kategoryzacja).
    Co takim pojęciom odpowiada i czy wiążą się z nimi jakieś ogólne prawa? – oto pytania filozoficzne, które wykraczają poza każdą konkretną naukę szczegółową.

    Kwestia inna – mniej metafizyczna, a bardziej epistemologiczna – to docieranie poprzez nauki (ich pojęcia, metody i twierdzenia) do granic ludzkiej wiedzy; czyli czegoś, co od dawien dawna pasjonuje filozofów.
    Przykładowo: uprawiając (lub nawet tylko studiując) informatykę dowiadujemy się o istnieniu nieprzekraczalnej granicy problemów nieobliczalnych, a więc algorytmicznie nierozwiązywalnych (praktycznie lub bezwzględnie). I to byłby szczególnie wymowny przykład filozofii w informatyce.

    Zastanawiam się jednak, jak wytyczyć granice między [filozofią w nauce] a [filozofią nauki]. Ta druga, gdyby chcieć ją odróżnić od tej pierwszej, byłaby chyba jakąś próbą spojrzenia na naukę (zarówno konkretną, jak i pojętą ogólnie) z zewnątrz, z lotu ptaka niejako; to zaś np. w celu określenia stosowanych w niej metod i obowiązujących w niej norm.

    Ciekaw jestem, jak widzą to zagadnienie inni…

    • km pisze:

      Zgadzam się w zasadzie- ale dorzucę trzy grosze- o innym wymiarze filozofii, który odbija się w nauce, jej najbardziej teoretycznych rejonach, a ma znaczenie bardzo praktyczne.
      Naukowcy pewnie przyzwyczaili się, do tego, że obserwatorzy ich pracy denuncjują „uwikłanie w teorii” ich działań. Choćby badacze sami ograniczali się do protokołowania pomiarów, rozmaici krytycy zrównują czasem wiarygodność ich ustaleń z własnym widzimisię- ale to zostawiam z boku.
      Trzeba być świadomym, że piękne równania skrzą się założeniami. I to jest brane za cel- i bardzo dobrze bo z tego płyną ważne wnioski nie tylko dla nauki.

      Tak jak w powyższym komentarzu mamy analizę tego co „ pojęciom odpowiada i czy wiążą się z nimi jakieś ogólne prawa”. Ale i możliwość dotarcia „poprzez nauki (ich pojęcia, metody i twierdzenia) do granic ludzkiej wiedzy”. Bo należy zauważyć, że pod konstrukcją aparatu teoretycznego teorii leży fundament- nad którym przechodzi się do porządku dziennego. Właśnie organizacja praktyki dnia powszechnego naukowców i „zwykłych” ludzi nie wnika w tą otchłań (by nie ugrzęznąć). A na podwalinie tej budowane są także nieświadomie codzienne konstrukcje zdrowego rozsądku.

      Można zaobserwować regularności w tym jak człowiek buduje ogląd rzeczywistości – model pozwalający mu funkcjonować każdego dnia, przewidzieć przyszłe zdarzenia wobec zastanych okoliczności. W regularnościach tych, w „algorytmach poznania” manifestuje się funkcjonowanie „niemo” przyjętych założeń- dla których podstaw zasadności odnaleźć już nie sposób. Poza tym, że się sprawdzają. Trwają więc w podtrzymaniu istot, które mają je „zaimplementowane”.
      Wiele z założeń tej „nauki powszedniej” jest- analogicznie do filozoficznych założeń teorii naukowych- nieuświadamianych na co dzień. Tu także uzasadnieniem jest to co się sprawdza w predykcji- a nie w tłumaczeniu. Części teorii już nie sposób zrozumieć. Nawet korzystanie z reguły wymaga oddania teorii w wirtualne ręce komputera…

      Istotne jest z tego to, że z analizy skuteczności metod nauki i zasad ich funkcjonowania- działań na tym wyabstrahowanym od zgiełku prozy życia, idealnym przykładzie- można wysnuć wnioski o błędach i iluzjach zupełnie nienaukowego światopoglądu.
      To inny, ważny wymiar skupiania się na ‚nauce płynącej z nauki’ (z jej postępu, możliwości i tego co w zasadzie przedstawiają jej teorie ) a bliższy każdemu z nas- nie tylko filozofom.

  3. P. Polak pisze:

    Bardzo podoba mi się metafora otchłani poznawczej, w której można ugrzęznąć. Jeżeli zgodzimy się, że rzeczywistość jest bardzo skomplikowana, to rzeczywiście aby otrzymać w miarę prosty jej opis musimy się nieźle natrudzić. Korzystamy więc z wielu założeń – często przyjmowanych nieświadomie, bo często jest to dziedzictwo pewnej tradycji w której tkwimy. Dzięki temu ludzkość radzi sobie jakoś ze złożoną rzeczywistością.
    W dyskusji jak widać „wypływa” pojęcie światopoglądu – to użyteczne pojęcie, choć bardzo zniszczone w XX wieku, kiedy stawało się orężem walki zamiast narzędzia intelektualnego. Pojawia się więc pewien zespół poglądów, założeń, heurystyk i metod, bez którego bylibyśmy bezradni. Odnajdziemy tu dużo elementów filozoficznych, które na razie nazwę „filozofią u podstaw nauki”. To ważne, bo stąd czerpiemy często znaczenia pojęć narzucając je niekiedy błędnie na teorie (tak stało się np. w przypadku pojęcia absolutnej przestrzeni u Newtona).
    O ile rozumiem pomysł M. Hellera „filozofii w nauce” to chodzi chyba o to, że w pewnych kontekstach działalność naukowa prowadzi do powstawania lub redefiniowania pojęć/założeń filozoficznych. Klasycznym przykładem niech będzie zmiana pojęcia czasu w ogólnej teorii względności Einsteina. Na tym przykładzie widać, że fizyka wniosła ważny wkład do filozoficznych rozważań nad pojęciem czasu i dziś odpowiedzialny filozof powinien wziąć to pod uwagę gdy zastanawia się nad pojęciem czasu.
    Nauka zawłaszcza niekiedy pewne problemy filozoficzne – przetwarza je w klasyczne problemy naukowe – tak się stało choćby z atomizmem, który wszedł do chemii i fizyki (choć wciąż fundamentalne pytania atomizmu nie znalazły odpowiedzi).
    Można również myśleć o filozofii w kontekście nauki jako o swoistej metafizyce indukcyjnej, czyli takim swoistym „przedłużeniu” nauki. Koncepcja taka była modna w Polsce w wieku oświecenia, potem na przełomie XIX i XX w. i zapewne jeszcze powróci, o ile kultura filozoficzna trwać będzie odpowiednio długo.
    Sądzę, że problem z pojęciem filozofii nauki mamy na naszym polskim podwórku. W naszej tradycji pokrywa się najczęściej z metodologią i epistemologią nauki. W tym znaczeniu anglojęzyczne „philosophy of science” obejmuje w zasadzie wszystko to, co powyżej. U nas jednak język jest bardziej wyostrzony – co mi się osobiście podoba – więc możemy sobie podyskutować o takich rzeczach, a przy okazji lepiej zrozumieć relacje filozofii i pozostałych nauk.
    Postawię na zakończenie dość kontrowersyjną tezę, że problem demarkacji wspomnianych pojęć poza tą kwestią nie jest zbyt ważny.
    Ciekaw jestem innych spojrzeń na to zagadnienie, które zostało przedstawione tu dość schematycznie i w dość uproszczony sposób, powinno być więc choć trochę prowokujące… oby do owocnej dyskusji!

    PS. Odnośnie relacji matematyki i filozofii – czytam właśnie interesujące wspomnienia autobiograficzne K. Maślanki („Od kosmologii do teorii liczb”, Kraków 2013), w których między wierszami i różnymi opowieściami ciągle przebija zmaganie się badacza o duszy matematyka z filozofią. Wciąż próbuje on odrzucić filozofię, ale nieustannie do niej wraca. Próbuje uzasadnić, że się nie nadaje do filozofowania, ale pewne wątki filozoficzne są jak atraktor dla układu dynamicznego. To do bólu szczera praca – jednak ujawniająca nieuwzględniane tutaj trudności współpracy interdyscyplinarnej. Porozmawiam z autorem – może przyłączy się kiedyś do dyskusji. W każdym razie zapewne sprawa trudności jak zawsze pewnie będzie najciekawsza.

  4. km pisze:

    Niestety zgadzam się, że rozdzielanie metodologii nauki od (w skrócie) przedłużenia nauk nie jest tak istotne- może ktoś inny będzie się spierał. Ale nim oddam pola jeszcze raz dam wyraz swemu przekonaniu, że nie tylko nowe spojrzenie na znane idee (pojęcia) ale także szczególne, wyabstrahowane spojrzenie- na metody postępu poznania- jakie oferuje ogląd nauki, może dać znaczące rezultaty dla życia jak najbardziej codziennego.

    Oczywiście trudności mogą być przy tym najciekawsze. Zwłaszcza, że nie można zapominać, iż nad częścią z analogicznych (do naukowo – metodologicznych) trudności w życiu przechodzimy do porządku dziennego. Od związków przyczyny i skutku przez uwikłanie faktów w teorie, po ograniczenie możliwości poznawczych do „instrumentów” badawczych… O wojnach plemion ścierających się na „socjologicznych” frontach o przetrwanie ich „racji” z pomocą argumentów „pozamerytorycznych” chyba nie muszę wspominać?

    I jest też tak, że dzięki nauce zyskujemy nowe znaczenie pojęć. Pojawiają sie nowe propozycje eksplikandów dla takich idei jak czas, przestrzeń, inne pojęcia występujące na co dzień w naszym życiu. Ile z treści definicji jest zgodne z intuicjami, a także czy nasze intuicje dadzą się w ogóle z czymkolwiek pogodzić- to osobna kwestia. (Przy czym często nie budzi naszych wątpliwości gdy znajdujemy wzajemne zrozumienie- bez definicji- z innymi obdarzonymi intuicją. Czasem nie potrzeba wiele słów ku temu)

    Dzięki nauce zyskujemy bezprecedensową możliwość spojrzenia z nowej perspektywy nie tylko na to co „na zewnątrz” ale i na to jak jest to nam dostępne.
    Jak bardzo mistyfikuje poznanie to ile z tego ‚dużego skomplikowania rzeczywistości’ w ogóle ma znaczenie na poziomie złożoności warunkującego przetrwanie takich istot jak my (konstrukcja naszych „instrumentów pomiarowych”) – co w ogóle jest z tamtego postrzegane, jaka część jest w końcu przedstawiane świadomości i w jaki sposób (czasem także niedający się wyrazić „w pełni” słowami).

    Ale- wracając do kwestii trudności:
    -Na co dzień nie przejmujemy się uwikłaniem w założenia gdy tropimy związki przyczynowo skutkowe.
    -Oceniamy innych po czynach (czyny nie słowa), a nawet skazujemy nie dbając o określenie definicji znaczeniowych (by ustalić kryterium prawdy), nie dopytujemy o miejsce faktów mających stanowić kryterium wyroku, w teorii świata zainteresowanych stron,.
    -I wreszcie w codziennym życiu powołujemy się na byty, opieramy się o twierdzenia (od prawa naturalnego, przez niewidzialną rękę rynku, po rozumienie i zdrowy rozsądek) których ścisłości ustalenia daleko do umocowania hipostaz nauki w ramach jej teorii.

    Denuncjując trudności metod nauki nie zapominajmy na jakim gruncie stoimy- skierujmy się ze zdobytą wiedzą właśnie tam.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *