Horror infiniti

Do niniejszego wpisu zainspirowała mnie dyskusja nad zagadnieniem poznawczego optymizmu, w której pojawiło się pojęcie nieskończoności, a wraz z nim zostało przywołane cantorowskie określenie strachu przed nieskończonością, czyli horror infiniti.
Wydaje mi się, że wątek ów zasługuje na osobną dyskusję – i stąd niniejszy wpis.

Zacznę zgodnie ze swoim belferskim temperamentem. Otóż z moich szkolnych obserwacji wynika, że wielu uczniów odczuwa odruchowy strach przed nieskończonością. Zwykłe liczby, nawet bardzo duże, i zwykłe działania na nich, nawet dość skomplikowane – to jest dla uczniowskiej wyobraźni coś uchwytnego. Gdy natomiast przychodzi policzyć granicę funkcji przy x dążącym do nieskończoności – wtedy zjawia się problem.
Intuicja uczniowska zawodzi na przykład wtedy, gdy pojawia się wyrażenie typu „zero razy nieskończoność” (czyli mówiąc obrazowo: splatają się ze sobą dwa procesy, z których pierwszy prowadzi do wielkości coraz mniejszych, a drugi do wielkości coraz większych), albo wyrażenie typu „jeden do potęgi nieskończoność” (czyli: jeden proces ciąży ku jedynce, a równoległy do niego, ten w wykładniku, pędzi ku nieskończoności). W wypadku pierwszym intuicja uczniowska podpowiada błędnie, że szukaną granicą musi być zero (bo zero razy cokolwiek daje zero), a w drugim, że nieuchronnie musi wypaść jeden (bo jedynka podniesiona do dowolnej potęgi daje jedynkę). Wiadomo tymczasem – o czym pouczają twierdzenia analizy matematycznej i wcale nietrywialny rachunek granic – że odpowiedź każdorazowo zależy od dokładniejszego kształtu „splecionych ze sobą” wyrażeń, a mówiąc nieco inaczej: od tempa opisywanych przez nie procesów. Przede wszystkim od tego, jak szybko dany proces zmierza ku nieskończoności, czyli jak „duże” nieskończoności wchodzą w grę.

Mamy zatem jeden z objawów cantorowskiego horror infiniti: chorobę jakby dziecięcą, bo typową dla osób, które stykają się z nieskończonością po raz pierwszy.
Skąd się ów objaw bierze? Złośliwością byłoby stwierdzić, że z nieuctwa. Wydaje mi się, że po części z trudnej materii zagadnienia, a po części, z odruchowego protestu: „po co to? po co badać funkcje w jakichś abstrakcyjnych sytuacjach granicznych (coraz bliżej zera i coraz dalej, ku nieskończoności), skoro mamy kalkulator/komputer i zawsze możemy obliczyć wartość funkcji dla konkretnego x (bardzo małego lub bardzo dużego); co więcej, możemy obejrzeć wykres funkcji na ekranie”.
O niepoprawności takiego nastawienia dalej.
Teraz zaś przejdźmy do filozofów.

Szczególnie dobrym przykładem filozoficznego horror infiniti jest stosunek do zagadnienia indukcji, indukcji niezupełnej. Otóż zastanawiając się nad istotą myślenia o czymkolwiek (czy to o faktach z życia codziennego, czy to o faktach naukowych), nieuchronnie dochodzimy do wniosku, że każda próba uogólnienia (indukcyjnego) musi być zawodna. Niezliczoną ilość razy wsiadamy do samochodu, przekręcamy kluczyk w stacyjce i ruszamy – nie możemy jednak przyjąć, że tak będzie za każdym razem. Podobnie w nauce: stawiamy dobrze uzasadnione hipotezy, akceptujemy je, bo mają oparcie w dotychczas zaobserwowanych faktach – nie możemy założyć jednak, że jakieś przyszłe fakty ich nie obalą.
Pesymistycznym uogólnieniem tego rodzaju spostrzeżeń jest wszelka myśl sceptycka, głosząca – mówiąc bardzo zgrubnie – że nie ma na świecie nic pewnego, że nie istnieje żadna niepowątpiewalna wiedza ogólna. A nie istnieje dlatego, że musiałaby czerpać swoje uzasadnienie z nieskończonej liczby przesłanek i musiałaby opisywać nieskończoną mnogość możliwości.
Trzeba zauważyć przy tym, że konsekwentny pesymista-sceptyk, podważając słusznie niezawodność indukcyjnych uogólnień, po prostu musi przejawiać horror infiniti. Nie może stwierdzić ozdrowieńczo, że posiadł wiedzę bezwzględnie pewną (o tym że nie istnieje wiedza bezwzględnie pewna); musi lękać się, że wszelka wiedza – również i ta, którą głosi – jest dotknięta zarazą nieskończoności.

A jak się ma nasz horror infiniti do dyskusji, która już rozgorzała w blogu. Moim zdaniem ma się tak, że niektórzy dyskutanci (w tym ja) zestawiają nieskończonościowy charakter niektórych problemów (np. takich, dla których trzeba się liczyć z nieskończonym lub nierozsądnie długim czasem algorytmicznego rozwiązywania) ze skończonością ludzkiego umysłu i otaczającego go fizycznego świata.
Niektórzy powiadają tak: cóż nam po tym, że pewne problemy są rozwiązywalne/obliczalne w zasadzie, skoro do ich faktycznego rozwiązania potrzeba więcej czasu niż liczba mikrosekund od początku znanego nam Wszechświata i/lub więcej cząstek elementarnych niż znajduje się w znanym nam Wszechświecie. A jeśli rzecznicy takich poglądów przyjmą, że umysł ludzki nie dysponuje jakimś przyrodzonym (intuicyjnym?) wglądem w nieskończoność, to mogą (choć chyba nie muszą) odczuwać zrozumiały lęk przed nieskończonością.

******

W tym momencie moglibyśmy stwierdzić smutno, że horror infiniti istnieje, że ma całkiem uzasadnione źródła, i że ci, którzy zastanawiają się nad nieskończonością muszą – w takim czy innym stopniu – ów horror przeżywać.

Moglibyśmy tak stwierdzić gdyby…
No właśnie, gdyby nie fakt, że natura ludzka ma odruchową skłonność do przezwyciężania lęku, a jedna z najbardziej skutecznych terapii polega na oswajaniu (czy może lepiej: przyswajaniu) zjawiska, które lęk powoduje.

I dokładnie taką terapię zastosowano w przypadku nieskończoności.
W toku wielowiekowego rozwoju nauk ścisłych, głównie zaś matematyki, udało się wytworzyć pojęcia, które dały nam lepszy wgląd w zagadnienie nieskończoności (być może pojęcia te odsłoniła ludzkiej wyobraźni matematyczna intuicja). Co więcej udało się zbudować wokół tychże pojęć całe teorie i będące ich częścią (algorytmiczne) rachunki.

Pora ujawnić jakie pojęcia mam na myśli.
Są to: pojęcie równoliczności zbiorów (przede wszystkim nieskończonych), pojęcie granicy (np. ciągu czy funkcji), oraz idea indukcji matematycznej.

Słów kilka o każdym z nich.

Dzięki pojęciu równoliczności zbiorów udało się uchwycić ważkie różnice między różnymi typami nieskończoności, które wcześniej zlewały się w jedno, nie dość jasne jeszcze, pojęcie po-prostu-nieskończoności. Udało się nadto powiązać te typy z różnymi rodzajami liczb (np. innego rodzaju nieskończoność trzeba było przypisać liczbom naturalnym, a innego rodzaju liczbom rzeczywistym). Dostrzeżono także, jako nieuchronny wniosek z twierdzenia Cantora o zbiorze potęgowym, że istnieje (przynajmniej w świecie matematycznych konstruktów) nieskończenie wiele rodzajów nieskończoności. To wszystko mogło wprawdzie wzmóc czyjś horror infiniti (wszak nieskończoność nieskończenie się rozmnożyła), z drugiej strony jednak, sprzyjało przyswojeniu nieznanego.

Dzięki pojęciu granicy – moim zdaniem dużo bardziej płodnym poznawczo niż poprzednie – udało się zrozumieć ściśle, dokąd mogą zmierzać procesy nieskończone. Okazało się, na przykład, że niektóre z nich pozornie tylko biegną w nieskończoność, naprawdę zaś są ograniczone (co pozwoliło uporać się z niektórymi paradoksami starożytnych). Na „granicznym fundamencie” wzniesiono imponujący gmach analizy matematycznej, wraz z kluczowymi dla niej rachunkami: rachunkiem granic właśnie oraz rachunkiem różniczkowo-całkowym.
Co bardzo ważne, z perspektywy tych rachunków możemy spoglądać całościowo, jak gdyby „z lotu ptaka”, na pewne obiekty nieskończonościowe, chociażby funkcje. W formie prostej ilustracji przywołajmy przykład „uczniowski” z początkowej część wpisu. Otóż żaden kalkulator, żaden komputer nie pozwoli nam obejrzeć funkcji w całości – możemy ją „podglądać’ wyrywkowo tylko, w takim lub innym zakresie i powiększeniu. Dzięki analizie matematycznej zyskujemy natomiast precyzyjny obraz całości – widzimy, czy i gdzie funkcja jest ciągła, jak zachowuje się przy punktach nieciągłości, gdzie rośnie, a gdzie maleje, jaką tendencję wykazuje na nieskończonych krańcach swojej dziedziny. Zyskujemy zatem całościowy wgląd w przebieg analizowanej funkcji. To wszystko są niby rzeczy elementarne, ale nader często nie rozumiane.

Dochodzimy wreszcie do idei indukcji matematycznej. Dzięki niej jesteśmy w stanie posiąść wiedzę bezwzględnie pewną o nieskończonym zbiorze obiektów (przeliczalnych). Na przykład taką, że liczność zbioru wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego wynosi dokładnie 2 do potęgi n-tej. W ten sposób (oczywiście nie za pomocą przytoczonego twierdzenia, lecz ogólnie, za pomocą matematycznej indukcji) pokonujemy nieskończoność definitywnie – potrafimy bowiem orzekać prawdziwie o nieskończonych zbiorach obiektów. Za naszą pewność płacimy oczywiście pewną cenę – nie orzekamy bowiem o obserwowanych tu i teraz obiektach świata fizycznego (do których miałaby zastosowanie indukcja nie-matematyczna), lecz o naszych konstruktach teoretycznych, przynależnych do świata obiektów matematycznych (które, być może, ale to już zależnie od interpretacji filozoficznej, odpowiadają w miarę ściśle jakimś zbiorom obiektów fizycznych).

Mimo wszystko jednak coś zyskujemy.
Zyskujemy kolejny wgląd w krainę nieskończoności, która nawet jeśli jest naszym tylko wytworem, napawa nas zrozumiałym lękiem.

******

Tyle tytułem wstępu do dyskusji, którą zagaiłem ze swojej perspektywy, zgodnie ze swoimi filozoficzno-matematycznymi zainteresowaniami.
Czekam na głosy ukazujące inne perspektywy…

Print Friendly
Ten wpis został opublikowany w kategorii Filozofia informatyki, Światopogląd informatyczny. Dodaj zakładkę do bezpośredniego odnośnika.

11 odpowiedzi na „Horror infiniti

  1. km pisze:

    Strach przed matematycznymi bytami?
    Niezależnie od tego ile czasu będziemy się z nimi oswajać z matematycznymi pojęciami, jak często i powszechnie spotykać się będziemy z regularnym zachodzeniem trafności odwzorowania własności empirycznych przez relacje przedstawione w matematycznych modelach teorii naukowych nie zmieni to, że pewność dotyczy jedynie matematycznych abstraktów i nieskończoność nie ma nic do tego (tak jak Hume chyba nie indukcję matematyczną chyba miał na myśli).
    Granice i nieskończoność w tym sensie przywodzi mi raczej kwestie, jak często zrozumienie przez ludzi matematycznych zależności odpowiada teoretycznym bytom matematycznym, nawet jeśli potrafią je właściwie zastosować. Ale by nie odpłynąć w kierunku rozważań „skąd wiesz, że pan A miał na myśli pojęcie X gdy je stosował i skąd on sam wie że ma to samo X teraz na myśli co wtedy…”
    Uważam, że nie można zapominać o tym, że „nie orzekamy bowiem o obserwowanych tu i teraz obiektach świata fizycznego (do których miałaby zastosowanie indukcja nie-matematyczna), lecz o naszych konstruktach teoretycznych, przynależnych do świata obiektów matematycznych (które, być może, ale to już zależnie od interpretacji filozoficznej, odpowiadają w miarę ściśle jakimś zbiorom obiektów fizycznych).”
    Wszelkie rozwiązania dotyczące formalizacji matematycznych problemów rzeczywistych odnoszą się z pewnością do tych formalizacji i dowodzą relacji w modelach. Przyjęcie ich korespondencji z rzeczywistością może być teoretycznie uzasadniane interpretacją filozoficzną. Może być tłumaczony pragmatyczną skłonnością wyboru strategii wobec alternatyw których skuteczność praktyczną możemy wszak obserwować. W końcu może to być to także wynik działania bezrefleksyjnego naturalnego instynktu.

    Jeśli nie rozważamy rozwiązywania problemów matematycznych a stawiamy tezę o możliwości rozwiązania dowolnego realnego problemu to niestety zdaje się, że nie ma na to szans bez względu na interpretację statusu w/w korespondencji.

    Załóżmy idealną korespondencję struktur matematycznych obecnej fizyki (powiedzmy konsensu wobec obrazu współczesnej wiedzy fizycznej- tak jak to się czyni tworząc normy budowlane w stosunku do wiedzy z danego zakresu budownictwa).
    Weźmy pod uwagę próbę odwzorowania modelowego jakiejś złożonej struktury.
    Czy w świetle „obrazu współczesnej wiedzy” jeśli nie najbardziej eleganckim to jedynym naprawdę wiernym modelem uwzględniającym wszelkie własności złożonej struktury będzie sama ta struktura?

    Załóżmy że mogę stworzyć model ludzkiego umysłu (lub np. drzewa). Skopiować wszelkie stany (z jakiegoś czasu np. t0) cząstek do owego uwzględniającego wszelkie właściwości modelu. Załóżmy, że przewaga takiego cyfrowego ośrodka sprawi, że mogę wyprzedzić tępo obliczeń dokonujących się w neuronalnych- biologicznych tkankach (czy biologicznych strukturach pnia drzewa). Załóżmy że mogę sprawić, że czas rozwiązania jakiegoś postawionego problemu będzie krótszy w fantomatycznym bycie niż biologicznym umyśle. Nie będę miał pewności, że stan modelu będzie korespondował tak idealnie jak w chwili t0 ze stanem realnego odniesienia zarówno w wypadku mózgu jak i wszelkich atomów składających się na pień drzewa i ich cyfrowych odpowiedników. Granicznym przypadkiem może być to, ze nieoczekiwany splot kwantowych trafów sprawi, że oryginał (bądź kopia- wszak ma odzwierciedlać wszelkie własności, także ich nieoznaczoną naturę) rozważając problem „pomyli się” dając odmienny rezultat. Niestety nawet i samo założenie o skopiowaniu stanów w chwili t0 jest chyba co najmniej problematyczne- a jego porzucenie prowadzi mnie do takiego samego rezultatu.

    Przykład z modelowaniem całego wszechświata celem uzyskania wiedzy ostatecznej (możliwości poznania konsekwencji realnych wyborów) jest jedynie granicznym- horrorem może być właśnie to, że i struktur w najmniejszej skali nie możemy być pewni.

    Na szczęście dla problemu optymizmu poznawczego i dla praktyki naszego życia w skalach problemów z zakresu inżynierii i nauki brak pewności odnosi się najczęściej do jakiegoś ułamka po przecinku- na granicy znaczenia. W końcu jak bez regularności i prawidłowości (które możemy odwzorowywać w naszych modelach) mogłyby powstać złożone struktury, w tym ludzki umysł. Nie należy zapominać o tym, że równie koniecznym substratem zaistnienia ludzkiego umysłu zdaje się być obserwowany w rzeczywistości, niweczący ostateczną pewność dowolnych predykcji, pierwiastek chaosu i szczypta niezdeterminowania- bez tego bowiem nie byłoby zmienności form trwania a zatem i ewolucji.

  2. Moim komentarzem do wpisu Pawła Stacewicza jest wpis pt. „W sprawie Horror Infiniti – w Boże Narodzenie”.
    zob. http://blog.marciszewski.eu/?p=2740

  3. Paweł Stacewicz pisze:

    Odpowiem wyrywkowo p. km.

    Zacznę od końca, przywołując z komentarza zdanie ostatnie, które zgadza się dość dobrze z moim światopoglądem:
    „Nie należy zapominać o tym, że równie koniecznym substratem zaistnienia ludzkiego umysłu zdaje się być obserwowany w rzeczywistości, niweczący ostateczną pewność dowolnych predykcji, pierwiastek chaosu i szczypta niezdeterminowania- bez tego bowiem nie byłoby zmienności form trwania a zatem i ewolucji”.

    Biorąc poprawkę na pewną metaforyczność użytych sformułowań (która zresztą dodaje zdaniu uroku), mógłbym się pod przytoczonym zdaniem podpisać.

    Kwestia bardziej polemiczna wiąże się z innym fragmentem komentarza:
    „…nie zmieni to, że pewność dotyczy jedynie matematycznych abstraktów i nieskończoność nie ma nic do tego (tak jak Hume chyba nie indukcję matematyczną chyba miał na myśli)”.

    1) Pisząc o indukcji z perspektywy filozoficznej (Hume’a też można by pod moje charakterystyki sceptyków podciągnąć; ale nie tylko, bo już w starożytności wysunięto szereg ciekawych argumentów), miałem na myśli nie indukcję matematyczną (która jest rozumowaniem dedukcyjnym, opartym o aksjomat indukcji), lecz indukcję, rzec by można, empiryczną. To znaczy: indukcję polegającą na uogólnianiu pewnego zbioru faktów jednostkowych do postaci twierdzenia ogólnego (z którego przesłanki-fakty wynikają, nie odwrotnie jednak).
    Rozumowanie tego typu jest zawodne i niekiedy przeciwstawia się je dedukcji.
    Ponieważ odpowiedni fragment mojego wpisu może wyglądać myląco, niedługo go przeredaguję.

    2) W przypadku zawodnych rozumowań indukcyjnych to właśnie nieskończoność (a w łagodniejszym wydaniu: niedostępność poznawcza wszystkich możliwych faktów jednostkowych, których dotyczy ogólna teza indukcyjna) ma znaczenie kluczowe. Jeśli założymy nieskończony zbiór faktów opisywanych przez tezę, to zawodność rozumowania staje się chyba nieusuwalna. Stąd zaś: horror infiniti.

    3) W przypadku matematycznych abstraktów nieskończoność też, moim zdaniem, ma dużo do rzeczy. Właśnie z powodu nieskończonego potencjalnie czasu oczekiwania na algorytmiczne rozwiązanie problemu x, problem x należy do kategorii nieobliczalnych.
    O kwestii tej pisałem szerzej w jednym ze swoich komentarzy do wpisu „Nieobliczalni i nieobliczalne”. (Chodzi o dość długą odpowiedź na wątpliwości p. Piotra).
    Sumując tę kwestię: nawet w krainie matematycznych abstraktów, nieskończoność może powodować brak pewności.

    Pozdrawiam, życząc udanej końcówki Świąt.

  4. Z mojego doświadczenia w studiowaniu wynika, że matematycy i fizycy, szczególnie teoretyczni, są lepszymi filozofami niż filozofowie. Przez „lepszych” rozumiem umiejętność zainteresowania mnie tematem i jakość argumentów. U matematyków tok rozumowania zawsze ma sens. Po prostu. Gratuluję dobrego tekstu.

    • Radek pisze:

      A ja pozwolę sobie się nie zgodzić. Otóż domyślny wielki kwantyfikator stojący przed Pani tezą jest, w moim odczuciu, nieuprawniony. Jeżeli chodzi o umiejętność „zainteresowania tematem”, to świadczyć ona może wyłącznie o zdolnościach dydaktycznych danego pisarza, nie zaś o jakości jego myśli. I faktycznie – w ostatnich 2 dekadach mamy wysyp rozmaitych książek popularnonaukowych z dziedziny matematycznego przyrodoznawstwa. Niektóre z nich pisane są niezwykle interesująco, by nie rzec – porywająco (Penrose!). Niemniej nie świadczy to ani o kompetencji filozoficznej ich autorów, ani o jakości ich myśli (akurat Penrose’a to nie dotyczy). Sam fakt wykształcenia ścisłego o niczym wszakże nie przesądza – bo dlaczego miałby przesądzać? Podobnież nie całkiem rozumiem zastosowanie kategorii „sensu” do opisu sformalizowanych wywodów matematycznych (bo rozumiem, że o takowe Pani chodzi). Wydaje mi się wręcz, że akurat do opisu procedur matematycznych jest to kategoria pasująca nienajlepiej. (Aby wszystko było jasne – posiadam wykształcenie w obu przywołanych przez Panią dyscyplinach, filozofii i matematyce, aczkolwiek dziś strasznie żałuję, że nie poświęciłem się studiowaniu biologii, kiedy był po temu czas…).

  5. Choć sam jestem absolwentem filozofii (powiedzieć „filozofem” byłoby za wiele), a nie matematykiem (niestety) ani fizykiem, zgadzam się z Panią, że wielu fizyków i matematyków wybornie pisuje na tematy filozoficzne, a wielu filozofów spisuje się w tym względzie słabo.

    Proszę jednak zważyć, że zbiory filozofów i matematyków nie są rozłączne, ale mają pokaźną część wspólną, że wspomnę choćby Kartezjusza, Leibniza, Newtona, spośród klasyków. To samo dotyczy naszych czasów.

    Niedługo opublikuję na ten temat tekst przeznaczony do księgi jubileuszowej na cześć pewnego uczonego kolegi, a zarazem znajdzie się on w obecnym blogu. Może w związku z tym doczekamy się od Pani kolejnego ciekawego komentarza. Powiadomię , gdy ten tekst się ukaże. Przy okazji gratuluje Pani blogu literackiego. — WM

  6. W odpowiedzi P.Radkowi

    A ja, kierując się tą regułą interpretacji tekstów, że należy zakładać racjonalność autora/autorki, domyślam się przed jej tezą kwantyfikatorów egzystencjalnych o takiej nieostrej treści: „istnieje wielu”. I wtedy ma ona rację.

    To zaś w czym z Autorką bym się nie zgodził (gdyby tak myślała), to traktowanie filozofów i uczonych „ścisłych” jako klas rozłącznych, jak o tym wspomniałem w moim poprzednim komentarzu. Dodam jeszcze przykład Kanta, który jest nie tylko wielkim filozofem, lecz ma także wielki wkład do astronomii. Dotyczy to nie tylko klasyków. P. Radek jest także przypadkiem takiej cennej dwoistości.

  7. Paweł Stacewicz pisze:

    Bardzo dziekuję za powyższe komentarze do mojego wpisu.
    Przypomnę przy okazji, że bardziej może akademicka dyskusja nad niektórymi wątkami z tegoż wpisu rozkwitła pod szyldem „bożo-narodzeniowym”, a zainicjował ją Witold Marciszewski (zob. jego tekst p.t. „W sprawie Horror Infiniti w Boże Narodzenie”).

    Cóż mogę dodać apropos relacji filozof-matematyk…?
    Wydaje mi się, że przypadek matematyka o zacięciu filozoficznym to przypadek jednak rzadki, choć dla filozofii cenny.
    O jego rzadkości wnioskuję ze swoich kontaktów z matematykami — znam ich wielu, choć nie nieskończenie wielu, :).
    Większość znanych mi matematyków traktuje rozważania filozoficzne raczej z dystansem lub nawet z przymrużeniem oka. Najlepszy dowód to fakt, że spośród ponad setki pracowników mojego Wydziału nikt jeszcze nie zabrał głosu w naszych dyskusjach — było nie było filozoficznych. A informację o tych dyskusjach przekazywałem.

    Mimo to uważam, że matematyczne doświadczenie (czy to dydaktyczne, czy naukowe) jest dla filozofa bezcenne. Matematyka uczy dyscypliny myślowej i wzbogaca arsenał argumentów filozofa o szereg porządnie zdefiniowanych pojęć i metod.

    Dla Pani „studentki, ale nie mojej” – której serdecznie dziękuję za gratulacje dobrego tekstu – będę miał niebawem (dziś/jutro) specjalny prezent.
    Zamieszczę w blogu żartobliwy, fabularyzowany tekścik o zbiorach i nieskończoności.
    Będzie to wpis trochę nietypowy — ale może Panią zainteresuje.

  8. TTomczykiewicz pisze:

    Na początku chciałbym odnieść się do samej matematyki królowej nauk. Jeden z profesorów kiedyś na wykładzie zadał znakomite pytanie: „czy matematykę tworzymy czy odkrywamy?”. Według mnie odkrywamy ją, chociaż ona zawsze pozostanie nie do końca odkryta i zawsze będzie miała jakieś tajemnice. Oczywiście w matematyce jest wiele twierdzeń i definicji zupełnie nie mających związku z rzeczywistością, ale to właśnie matematyka- jest abstrakcyjna.

    Właśnie pojęcie „nieskończoności” jest jednym z takich. Nawet nas wszechświat jest skończony (chociaż się powiększa), ale mimo wszystko ma jakiś koniec, a liczby nie mają końca. Trudno to sobie uzmysłowić. Próbujemy to sobie wyobrazić jako linię z zaznaczonymi punktami, każdy punkt odpowiada jakiejś liczbie. Dochodzimy do pewnej bardzo dużej liczby, a dalej jest jeszcze ich więcej- tylko złapać się za głowę.

    Tak samo możemy rozważać liczby rzeczywiste- między każdą parą liczb rzeczywistych, jest między nimi jakaś inna- jest ich tak gęsto, że aż trudno to sobie uzmysłowić.

    Co czego dążę? Do tego, że człowiekowi ciężko pojąć rzeczy, których on sam nie potrafi sobie zobrazować. Weźmy jeszcze taki przykład podzielmy nieskończoność przez nieskończoność- jaki będzie tego wynik? Jeden? W końcu dzielimy dwie „identyczne” wartości?

    „Nieskończoność” to pojęcie typowo matematyczne – nie oddaje rzeczywistości jakiej znamy, dlatego mamy z nią takie problemy.

  9. Pingback: Debata o nieskończoności | Polemiki i rozmówki w "Cafe Aleph"

  10. Piotr Czajkowski pisze:

    Dzień dobry

    Postanowiłem odkopać kilkuletni już temat i dorzucić swoje trzy grosze do rozważań o nieskończoności. Mój komentarz nie będzie może zanadto odkrywczy, lecz mam nadzieję że uda mi się przekonać „pesymistów-sceptyków” wspomnianych w tekście, że nieskończoność nie jest czymś, czego powinniśmy się obawiać.

    Na początku chciałbym odnieść się do spostrzeżenia o strachu uczniów przed nieskończonością. Uważam, że nie ma w tym nic dziwnego – wszak coś, co dziś oznaczamy „kopniętą ósemką” tak bardzo kłóci się z intuicją i doświadczeniami z naszego życia. Już starożytni Grecy podchodzili do tego przedziwnego bytu bardzo nieufnie – nieskończoność niemal zawsze prowadziła ich rozważania do sprzeczności. Najbardziej znane z nich to paradoksy Zeona z Elei (o żółwiu i Achillesie oraz strzale pędzącej w kierunku tarczy słyszeli chyba wszyscy). Podobnie sytuacja ma się z równolicznością zbiorów liczb naturalnych i parzystych – na pierwszy rzut oka wydawać by się mogło, że ten drugi jest o połowę mniejszy. Niestety, jak wiemy z lekcji matematyki, sprawa wcale nie jest taka łatwa. Wszystko to prowadzi do tego, że boimy się nieskończoności jako czegoś, co za bardzo „mąci” nasze postrzeganie wszechświata.

    Moim zdaniem jednak, nie ma się czego bać! Nieskończoność została „wymyślona” jedynie po to, aby, nieładnie mówiąc, matematykom żyło się lepiej. Ileż twierdzeń, wzorów i definicji upraszcza się, gdy wprowadzimy do nich lemniskatę. Tymczasem jednak, wszystko to, co jesteśmy w stanie zaobserwować lub wyobrazić, nieważne jak wielkie, jest ograniczone.

    W tym miejscu chciałbym odnieść się do twierdzenia o nieskończonej liczbie małp. Mówi ono, że małpa naciskająca losowo klawisze maszyny do pisania przez nieskończenie długi czas, prawie na pewno napisze dowolnie wybrany tekst, taki jak na przykład kompletny dorobek Williama Szekspira. Mamy przeliczalny zbiór zdarzeń (napisanie konkretnych tekstów) i jedno zdarzenie sprzyjające – po policzeniu prawdopodobieństwa wyjdzie nam bardzo mała liczba, nie będzie to jednak zero. Z matematycznego punktu widzenia brzmi wspaniale, prawda? Niestety, rzeczywistość nie jest taka kolorowa. Przy pewnych uproszczeniach łatwo można policzyć, że szukane prawdopodobieństwo wynosi ok. 2,9*10^(-183945). Dla porównania, istnieje jedynie około 10^79 atomów w obserwowalnym Wszechświecie i zaledwie 4,3*10^17 sekund upłynęło od Wielkiego Wybuchu. Prawdopodobieństwo napisania Hamleta jest więc równe zeru i jest to zgodne z naszą intuicją (jaki miałby być powód dla którego małpa naciśnie wiele tysięcy klawiszy w odpowiedniej kolejności?)

    Nie możemy więc bezkrytycznie przenosić matematycznej teorii do naszego życia – tak się po prostu nie da. Należy rozróżniać wielkie liczby (jak ilość ziarenek piasku na plaży czy populacja świata), które gdzieś tam są, od nieskończoności, która jest jedynie modelem ułatwiającym zrozumieć niektóre sprawy.

    Odnosząc się do Pana rozważań o sceptyku-pesymiście, muszę się zgodzić z jego podejściem. Nadmienię tylko, że specjalnie nie użyłem w tym miejscu słowa „niestety”. Czymże byłoby nasze życie, gdybyśmy posiedli wiedzę wszelaką i byli pewni wszystkiego co wokół nas się dzieje? Moim zdaniem, takie życie byłoby po prostu nudne. Dzięki temu, że brak nam we wszystkim pewności, nie jesteśmy jak bezmyślne automaty, które psują się gdy tylko wystąpią nieoczekiwane okoliczności. Naukowcy wciąż badają zbadane już teorie i dzielą się ze światem fascynującymi odkryciami, a zwykli ludzie uczą się jak radzić sobie w sytuacjach, których nigdy nie napotkali (jak kobieta, której pierwszy raz zepsuł się samochód). I nie skłamię chyba zanadto jeśli stwierdzę, że nieskończoność (a raczej jej brak) czyni nasze życie pięknym, ciekawym i celowym.

    Kończąc mój wywód pragnę zaapelować, byśmy postrzegali nieskończoność jako jeden z modeli matematycznych, których jest w całej nauce mnóstwo, a nie jako coś, z czym stykamy się na co dzień.

    Pozdrawiam

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *