Afiliacja autora: Katedra Logiki, Informatyki i Filozofii Nauki * Uniwersytet w Białymstoku.
Poniższy wpis jest wprowadzeniem do odczytu (20.XI.2013) wygłoszonego w ramach serii wykładów interdyscyplinarnych pt. “Świat ludzi i świat maszyn. Płynne granice” — organizowanych przez Międzywydziałową Pracownię Pytań Granicznych UAM. Obrazek obok przedstawia Einsteina i Gödla na spacerze w Princeton.
“Skąd się biorą nowe idee, to prawdziwa tajemnica.” — Andrew Wiles, odkrywca (1993/95) dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata.
“Matematyka jest wyprawą w obce, dzikie krainy, w których odkrywcy
często się gubią. Ścisłość powinna być dla matematyka sygnałem, że
wykreślono już mapy, a prawdziwi odkrywcy powędrowali gdzie indziej.”
— W. S. Anglin, autor prac o historii i filozofii matematyki.
§1. Wprowadzenie: co logika matematyczna wnosi
do wiedzy o maszynach i umyśle
§1.1. Nazwisko Gödla umieściłem w pierwszej części tytułu, jeszcze przed sformułowaniem problemu, żeby podkreślić jego wagę w myśli współczesnej. Jest ona porównywalna z wagą Einsteina, choć istnieje wielka różnica w odbiorze obu tych postaci. Wie o Einsteinie niemal każde dziecko, podczas gdy o Gödlu — tylko garstka specjalistów od logiki matematycznej i teoretycznych podstaw informatyki. Trzeba jednak dodać do owej garstki tych filozofów, którzy się pasjonują zagadką ludzkiego umysłu.
Dlaczego filozofów umysłu? Dlatego, że moc umysłu i jej ograniczenia dadzą się opisywać i wyjaśniać w sposób niezwykle precyzyjny środkami logiki matematycznej, a w niej genialnym liderem był Gödel; logika należy do fundamentów matematyki wraz z teorią mnogości (mająca za przedmiot zbiory niekończone). Dzięki logiczno-matematycznej precyzji, możemy konkluzywnie badać różnice między umysłem i maszyną informatyczną — gdy idzie o zasięg ich możliwości w rozwiązywaniu problemów (matematycznych, ale nie tylko). A zatem, możemy badać dzielącą te dwa jestestwa granicę — w myśl tytułu obecnego odczytu, jak i tytułu serii, w której odczyt ten ma zaszczyt uczestniczyć.
Związek między filozoficzną refleksją nad umysłem, a tym doświadczeniem umysłowym, które zawdzięczają swej dyscyplinie matematycy, oddają następujące po tytule cytaty.
Metafora mapy u Anglina obrazuje te pojęcia matematyki, które są perfekcyjnie pod względem ścisłości zdefiniowane. Mianowicie, z dokładnością do kształtu wyrażających je symboli. Takie kształty — jako obiekty fizyczne — mogą być przetwarzane przez maszynę według pedantycznej instrukcji zwanej algorytmem lub programem. Dzieje się to w ten sposób, że kształty symboli są kodowane w maszynie jako stany fizyczne, np. kształt ,,1” jako impuls, a ,,0” jako brak impulsu, to zaś uruchamia przyczynowo procesy fizyczne w procesorze, na ekranie itd. Co nie daje się wykreślić tą drogą na mapie, a zatem dawać do obróbki maszynom, należy do obszaru niepokojących umysł pytań i do olśnień intuicji, gdy świta pomysł rozwiązania.
Jak to się jednak dzieje, że umysł się rozjaśnia nową ideą, stanowi wielką tajemnicę. Tak to widzi Andrew Wiles. Nasuwa się wniosek, że skoro nie znamy natury procesu odkrywczego, nie znamy do tego stopnia, że jest on aż tajemnicą, to nie jesteśmy w stanie wytrenować maszynę w dokonywaniu odkryć. Tak prześwituje zarys granicy między umysłem i maszyną.
Wiles doświadczył, jak mało kto, odkrycia nowej idei. Jest bowiem autorem rozwiązania skrajnie trudnego problemu. Atakowanego wcześniej bez skutku przez najznakomitszych matematyków na przestrzeni ponad trzech wieków. Data 1993 to rok ogłoszenia jego dowodu w formie wykładu, a 1995 to rok publikacji mającej już za sobą certyfikat skrupulatnych recenzji.
Zacytowana formuła to zapis prawdy matematycznej, którą około roku 1637 odkrył Pierre Fermat; zapis zaopatrzył adnotacją, że znalazł dowód, ale w tym momencie go nie podaje z braku miejsca na papierze. Dowodu nie udało się w jego pośmiertnych papierach odszukać, i tak się zaczęła dramatyczna historia parowiekowych prób samodzielnego odkrycia takiego dowodu.
§1.2. Trwająca wiekami niemożność rozstrzygnięcia o prawdziwości twierdzenia Fermata stwarza tło i sposobność do uchwycenia na tym przykładzie, jak wielkiej jest wagi i jak trudny problem rozstrzygalności w matematyce; a ogólniej, w ludzkim poznaniu. Dlatego historię tego twierdzenia opowiada się w pracach o sztucznej — czyli maszynowej — inteligencji jako ilustrację do kwestii: czy maszynę byłoby kiedykolwiek stać na to, czego dokonał umysł ludzki, reprezentowany w tym przypadku przez dociekania Wilesa?
Nie byłoby szans, żeby odpowiadać na tego rodzaju pytania, gdyby nie odkrycia Gödla dotyczące zagadnienia rozstrzygalności mechanicznej, osiągalnej dla komputerów, w odróżnieniu od sposobu rozwiązywania problemów przez umysł ludzki. Toteż trzeba im poświęcić w tych rozw ażaniach sporo uwagi.
Nie jest to jednak proste. Dotyczące tej sprawy wyniki Gödla, uzyskane przezeń w latach 30-tych ubiegłego wieku, są nie mniej trudne do wyłożenia niż, powiedzmy, ogólna teoria względności. Starając się za nimi nadążać, ocieramy się o granice paradoksu, nie mówiąc o piętrzących się (na miarę Mount Everestu) szczegółach technicznych. Wikłamy się też w zagadki filozoficzne, które różni różnie próbują rozwikływać, a powstały z tego zgiełk kontrowersji trudno śledzić, o ile się z tego nie uczyni własnej specjalności badawczej.
Nie da się więc odtworzyć argumentacji Gödla co do litery, ale można próbować uchylić rąbek jej filozoficznych inspiracji, a więc niejako odtworzyć co do ducha (stąd ,,duch” w tytule). A przedtem trzeba wspomnieć o biologicznych podstawach ludzkiej zdolności do widzenia problemów. Jej źródła tkwią częściowo w naszej naturze zwierzęcej, całkowicie obcej maszynom. Ma to taki związek z kwestią granicy między umysłem i maszyną, że początkiem myślenia autentycznego (a nie jego maszynowej imitacji) jest podbudowany biologicznie niepokój z potrzeby rozwiązania problemu.
Jego przeżyciowy aspekt trafnie ujął Charles Sanders Peirce, wielki filozof umysłu i prekursor logiki matematycznej, określeniem irritation of doubt. Tak się irytować nie umie maszyna, umie zaś człowiek. I w tym jego przewaga.