Witam wszystkich po długiej wakacyjnej przerwie, ;-) .
Dobrą okazję, by tę przerwę przerwać, stanowi mój wczorajszy wykład na warszawskim Festiwalu Nauki pod tytułem „Dlaczego matematyka jest wszędzie?” (wykład popularno-naukowy). Jego tematem wiodącym były poglądy różnych filozofów (a także filozofujących matematyków) na temat wielowiekowej już zagadki matematyczności świata.
Ponieważ po wykładzie rozgorzała dyskusja, a ze względów organizacyjnych nie mogliśmy jej kontynuować, zdecydowałem się zagaić niektóre wątki w blogu.
A zatem:
Dlaczego matematyka jest wszędzie?
Mówiąc zaś inaczej (i na odwrót):
Dlaczego świat wokół nas tak efektywnie poddaje się matematycznym opisom?
Oto kilka sformułowanych na wykładzie odpowiedzi, które etykietuję nazwami najbliższych im stanowisk filozoficznych (ponieważ odpowiedzi dotyczą tego samego zagadnienia każdą nich zaczynam tylko od słówka „bo”):
A) Odpowiedź platońska:
– bo świat wokół nas jest pewnego rodzaju przejawem/zjawiskiem/odbiciem idealnego świata obiektów matematycznych, które po prostu istnieją (w sposób niezależny od aktów ludzkiego umysłu), a można je poznać czysto rozumowo.
B) Odpowiedź arystotelesowa:
– bo rzeczy w świecie mają pewne stałe własności, które człowiek potrafi wyabstrahować (spośród innych) i ująć matematycznie w postaci adekwatnych idealizacji (w odróżnieniu od platońskich idei), a następnie zbudowanych na ich podstawie matematycznych teorii; ponieważ zaś owe idealizacje i teorie wywodzą się ze świata, nie może dziwić, że tak dobrze z nim korespondują.
C) Odpowiedź kantowska:
– bo człowiek (jako gatunek) jest wyposażony w pewne konieczne formy poznawania świata, które każą mu porządkować dane doświadczenia na sposób matematyczny (matematyczność świata stanowi zatem pochodną właściwości odzwierciedlającego ten świat umysłu).
D) Odpowiedź formalistyczna:
– bo dla celów intersubiektywnej komunikacji człowiek musi wytworzyć pewien (symboliczny) język, a najbardziej precyzyjnym i efektywnym językiem opisu świata jest język matematyki (przy czym nie wszystkie fragmenty tego języka, tj . teorie formalne, muszą odnosić się do świata; niektóre pozostaną na zawsze wolnym wytworem ludzkiego umysłu).
Z zarysowanymi wyżej odpowiedziami A-B-C-D wiąże się doniosła kwestia pochodzenia matematyki: jej metod, obiektów, struktur etc.
Wyrażają ją następujące pytania:
Czy obiekty matematyczne wywodzą się bardziej ze świata, którego opisowi (niekiedy) służą?
Czy też bardziej z właściwości i/lub wolnych decyzji ludzkiego umysłu, który ów świat matematycznie (niekiedy) opisuje?
Zachowując symetrię z układem wcześniejszych wyjaśnień, można odpowiedzieć następująco:
AA) Według platoników: obiekty matematyczne nie tylko wywodzą się ze świata, lecz po prostu tkwią w nim, a dokładniej tkwią w jego głębi, tj. pod powierzchnią ulotnych zjawisk.
BB) Według arystotelików: matematykę umożliwia świat (stałe własności rzeczy), lecz tworzy ją człowiek (zdolny do wytwarzania idealizacji).
CC) Według zwolenników myśli kantowskiej: rzutowana na świat matematyka tkwi w człowieku pod postacią specyficznych poznawczych form.
DD) Według formalistów: obiekty matematyczne są obiektami językowymi (zestawy symboli), wytwarzanymi przez człowieka nie tylko (choć również) z intencją opisu świata.
Tyle niech wystarczy na początek. Będę bardzo wdzięczny za krytyczne uwagi.
Dla przypomnienia treści wykładu udostępniam obrazujące go slajdy.
Dodatkowo, zachęcam wszystkich do przejrzenia wcześniejszej dyskusji w blogu, która dotyczyła również matematyczności świata, choć w nieco innym kontekście.
Z blogowymi pozdrowieniami — Paweł Stacewicz
Jako filozof, zajmujący się m.im. logiką i filozofią matematyki (choć, niestety, nie matematyk), z zaciekawieniem i uznaniem wczytałem się w ten wpis. Z tego mojego punktu widzenia wpis Pawła Stacewicza cieszy trafnością filozoficzną i cenną zwięzłością sformułowań.
Dał mi on impuls do zastanowienia się po raz któryś, jakie jest właściwie moje stanowisko. Czuję się gdzieś pośrodku między arystotelizmem i platonizmem. A jak się głębiej zastanowić, to takie bycie pośrodku brałoby się stąd, że różnica w tej materii między Platonem i Arystotelesem wydaje mi się pozorna, może rozdmuchana przez samego Arystotelesa, żeby stworzyć symetrię właściwą stosunkowi dwóch protagonistów i tak wyrosnąć na figurę dorównującą mistrzowi.
Skąd takie podejrzenie? Stąd, że nikt (także Platon) nie głosił, że świat idei mieści się w jakiejś osobnej sferze poza sferą fizyczną. Jego osobność polega na innej naturze, mianowicie abstrakcyjności, a nie na innej lokalizacji.
A jeśli nie upierać się przy tym, że istnieje jakaś osobna poza-fizyczna sfera bytów idealnych, to nie ma sprzeczności między tym, że coś jest elementem rzeczy fizycznych, a zarazem jest obiektem idealnym czyli abstrakcyjnym, przy czym abstrakcyjność nie koliduje z realnym tego abstraktu istnieniem. Weźmy coś takiego, jak powierzchnia bryły. Nie jest ona rzeczą taką jak bryła, należy do świata obiektów idealnych, spełnia więc warunek platoński. a zarazem jest realnie obecna w świecie fizycznym, spełnia więc warunek arystotelesowski.
Podobnie jest ze zbiorami i liczbami. Para rękawiczek – jako zbiór – jest innym obiektem niż poszczególna rękawiczka, jest czymś abstrakcyjnym czyli idealnym, jest też jakąś realnością, bo pary naprawdę istnieją istnieją (po myśli Platona), a zarazem jest czymś wtopionym w świat fizyczny (po myśli Arystotelesa). A klasa wszystkich par (rękawiczek, skarpetek, narzeczonych etc.) czyli liczba dwa, choć jest na wyższym stopniu abstrakcji też jest wtopiona w świat fizyczny, jakby w innej jego warstwie. Bardziej wyrafinowanych trzeba rozważań, gdy wejdziemy w świat liczb pozaskończonych, ale to już temat na inny raz.
Brak mi (przynajmniej w przedstawieniu na slajdach i we wpisie) jeszcze jednego podziału, który może jednocześnie (w pewnym sensie) tłumaczyć różnicę podejść A,B,C,D. Za rozróżnieniem matematyki formalnej i zinterpretowanej*** powinno chyba iść jeszcze rozróżnienie na:
1) matematykę (przez małe m) – „rozumianą” przez indywidualnego człowieka, w formie, którą on potrafi pojąć (jak u Kanta), która służy mu do opisu świata (jak u Arystotelesa) skutecznie – bo człowiek (i jego umysł – a więc i formy poznania) będąc istotą ze zjawisk fizycznych „uplecioną”, w swym intelektualnym funkcjonowaniu odbija logos zjawisk, z których jest skonstruowany.
– A więc matematykę ucieleśnioną (jak w paradygmacie emboddied, embedded mind), w której znaczenie pojęć dla 'rozumującego’ budują ramy znaczeniowe poprzez złożenie „metafor” i 'metonimii’ z istniejących / wrodzonych elementów – poprzez ich kombinacje i uszeregowania itd, itp.
i
2) Matematykę (przez duże M) – powiedzmy, że po platońsku rozumianą – być może leżącą u podstawy zjawisk,
lub chociaż:
2.A)Matematykę jako system(y) intersubiektywnych, krytykowalnych obiektów, których własności określone mogą zostać zadane w aktach fundujących ich publicznego przedstawienia – tak, że założone własności mogą być uniwersalne/ obiektywne – nawet jeśli ich „opisy”, w rozumieniu poszczególych jednostek posługujących się pojęciami przedstawionymi, mogą nie być dokładnie „trafne” (tak, że choć własności jakie według osób posługujących się danym pojęciem mogą nie być 100% identyczne to i tak nie znaczy, że nie mówią o tym samym… Putman pisał o tym)
Matematyka i matematyka mogłyby funkcjonować równolegle, tak jak sformalizowane opisy i ich zinterpretowane rozumienie niepozbawione „intuicyjnych” wtrętów (obciążających pojęcia 'Matematyczne’ treścią czyniącą z nich obiekty 'matematyczne’) – i (poniekąd) można by dzięki temu znaleźć „kompromis” między stanowiskami A,B,C,D.
Aby nie rozpisywać się (znowu)- można by wykorzystać np. argument z niezbędności” Quine’a-Putmana za realizmem matematycznym jednocześnie przyjmując to, że człowiek poznaje matematykę dzięki „ucieleśnionym” mechanizmom poznawczym (choćby Heller nie widzi tu problemu).
*** Na marginesie: wśród prekursorów podziału na matematykę czystą i zinterpretowaną wymieniono Hilberta, który – w związku z entymematycznym charakterem (zawierającym nieujawnione przesłanki) rozumowań Euklidesa „przetłumaczył” jego postulaty Euklidesa na syntaktyczne reguły – bo twierdził, że „Zawsze musi być możliwe podstawienie 'stołów’, 'krzeseł’, czy kufli’ za 'punkty’, 'proste’ czy 'płaszczyzny’ w systemie aksjomatów Euklidsa”. Podział na Matematykę „intersubiektywną” i „ucieleśnioną” byłby niejako pierwotnym powodem tego, że czystą matematykę poznajemy przez tą zinterpretowaną.
Zdecydowanie odpowiada mi koncepcja Witolda Marciszewskiego, zgodnie z którą abstrakcyjne zbiory przedmiotów istnieją (po myśli Platona) i są jednocześnie czymś wtopionym w świat fizyczny (po myśli Arystotelesa). W istocie, ostre przeciwstawianie arystotelizmu platonizmowi wydaje się rozdmuchane i ma w dużej mierze charakter pozamerytoryczny. Nawiasem mówiąc, być może ambicje Arystotelesa (dorównania swojemu mistrzowi) przyczyniły się do tego w mniejszym stopniu niż nadużywanie przez Platona metafory dwóch światów: doskonałych i niezniszczalnych „idei” oraz ich niedoskonałych i zniszczalnych „cieni” (w tym sensie można zapewne powiedzieć, że Platońska metafora jaskini jest fałszywa; wielka, piękna i fałszywa).
„Ekumeniczne” podejście Witolda Marciszewskiego można rozszerzyć na pozostałe stanowiska wyróżnione przez Pawła Stacewicza. Okazuje się, że przy pewnym umiarkowanym ich rozumieniu, każde z nich może być uznane za słuszne.
Oto moja wersja takiego rozszerzonego „ekumenizmu matematycznego”. Twierdzę, że tezy A)-D) mogą być interpretowane w sposób a)-d) (wskazany poniżej) i każda z tych interpretacji jest prawdziwa:
a) Umiarkowany platonizm: świat (realny) ma określoną strukturę, która istnieje niezależnie od aktów ludzkiego umysłu i która jest opisywalna za pomocą dostępnych człowiekowi narzędzi poznawczych, w tym matematycznych.
b) Umiarkowany arystotelizm: rzeczy w świecie mają pewne stałe własności, które człowiek potrafi wyabstrahować i ująć formalnie (w tym matematycznie) w postaci adekwatnych idealizacji i zbudowanych na ich podstawie formalnych (w tym matematycznych) teorii.
c) Umiarkowany kantyzm: umysł ludzki jest wyposażony w pewne formy (w tym formy matematyczne) poznawania świata, które umożliwiają mu porządkowanie danych doświadczenia.
d) Umiarkowany formalizm: język jest niezbędnym narzędziem poznawania świata, a funkcję tę najlepiej spełniają języki dobrze (ściśle) określone, a więc języki, które dadzą się sformalizować (np. za pomocą narzędzi matematycznych) jako języki przedmiotowe odpowiednich teorii; jednakże nie każda sformalizowana teoria odnosi się do świata; niektóre pozostaną na zawsze wolnym wytworem ludzkiego umysłu.
A oto uszczegółowienie powyższego stanowiska w kwestiach związanych z AA)-BB).
Ad AA) Obiekty matematyczne „tkwią” w realnym świecie w tym sensie, że są z nimi ściśle powiązane pewnymi specyficznymi relacjami o charakterze formalnym (takimi np. jak relacja należenia do klasy). Np. liczba uczestników niniejszej dyskusji (w danej chwili) jest przedmiotem matematycznym, który znajduje się w pewnej ściśle określonej relacji do każdego z tych uczestników (niech np. n będzie tą liczbą; wówczas n znajduje się w następującej relacji do uczestnika x: x należy do klasy wszystkich uczestników dyskusji i moc tej klasy wynosi n).
Ad BB) Istnieją dwa ważne i zasadniczo różne znaczenia słowa „matematyka”. W jednym z nich słowo to oznacza pewien historycznie ukształtowany wytwór ludzkiego umysłu; wytwór ten może być reprezentowany w postaci zbioru aktualnie uznawanych twierdzeń matematycznych i ich logicznych konsekwencji. W drugim ze znaczeń matematyka jest reprezentowana przez klasę wszystkich prawd matematycznych. Matematyka w pierwszym znaczeniu jest – niejako z definicji – wytworem człowieka. Matematyka w drugim znaczeniu takim wytworem już nie jest; i nie może być: zgodnie z twierdzeniem Goedla, istnieją prawdy matematyczne, które nie są tezami żadnej z wytworzonych przez człowieka teorii.
Ad CC) Możliwe, że pewne najbardziej podstawowe struktury – logiczne, ontologiczne, gramatyczne, czy też matematyczne – są zakodowane w ludzkim mózgu. To powinni sprawdzić psychologowie poznawczy i kognitywiści (już najwyższy czas!).
Ad DD) Obiekty matematyczne zasadniczo nie są (z wyjątkiem niektórych obiektów rozważanych w metamatematyce) i nie mogą być obiektami językowymi. Te pierwsze na ogół posiadają własności matematyczne (np. parzystość), których nie posiadają drugie.
>Ad CC) Możliwe, że pewne najbardziej podstawowe struktury – logiczne, ontologiczne, gramatyczne, czy też matematyczne – są zakodowane w ludzkim mózgu.
Patrząc na odpowiednio mało obiektów (generalnie około 7, ale to zależy od człowieka i od obiektu) jesteśmy w stanie natychmiast dokładnie stwierdzić, ile ich jest, bez świadomego zliczania (po angielsku to się nazywa „subitizing”) i robić to mimo przesuwania obiektów (jeżeli do 2 obiektów dołożymy 1 to nic nie musimy robić, żeby stwierdzić, że jest ich teraz 3). Stąd wydaje się, że mózg posiada wbudowaną koncepcję liczności; tych kilku liczb jako reprezentacji konkretnych liczności; oraz dodawania/odejmowania (o ile wynik też się mieści w zakresie). Niewiele, ale w naturalny sposób tworzy podwaliny pod bardziej zaawansowane abstrakcje.
Sprawa tych podwalin (choć ich obecność zdaje sie być potwierdzana przez wiele eksperymentów behawioralnych i neuro-obrazowanie) jest dość skomplikowana- wg Manueli Piazzy (Neurocognitive Start-Up Tools for Symbolic Number Reprezentation, 2011) wrodzone są dwie (proto)matematyczne zdolności:
-wyróżnienia i śledzenia 3 lub 4 obiektów
-przybliżenia liczby obiektów który (osobie dorosłej) pozwala odróżnić intuicyjnie zbiory 7 i 8 elementowe oraz 70 i 80 elementowe ale juz nie 70 i 79 elementowe.
Matematyczne operacje (choćby dodawanie i odejmowanie) na liczbach większych niż 4 nie są tak intuicyjnie dostępne jak odróżnienie przykładowo zbioru 14 od 16 elementowego (możliwe dzięki dostatecznej różnicy w sile bodźców wynikłych z prezentacji zbiorów o większej lub mniejszej liczbie elementów) i aby rozróżnić już choćby 14 od 15 (elementowego zbioru) konieczne jest opanowanie przez mózg odpowiedniego współdziałania w/w, „wrodzonych” systemów a być może akwizycji języka. Koncepcja liczby może nie być wbudowana bezpośrednio w neuronalne systemy ale wynikać ze zdolności do metaforycznego/analogicznego przetwarzania różnych informacji przez mózg, w których „pojęcia” z jednego porządku staja się „amalgatami”/ są podstawiane pod wzorce „działań” z innego porządku. Matematyczne abstrakcje „opierają swe funkcjonowanie w umyśle” na bardziej konkretnych schematach związanych z postrzeganiem własnego ciała i jego relacji/interakcji z innymi obiektami/Światem.
To (uwikłanie rozumianej przez umysł matematyki w ucieleśnienie i osadzenie w świecie mózgu będącego „narzędziem nawigacji i przetrwania”) niejako „od drugiej strony” tłumaczy dlaczego matematyka przez ludzi tworzona (lub odkrywana) jest dostosowana do opisu otaczającej rzeczywistości i konstruowania narracji teorii fizycznych opisujących otaczające nas zjawiska.
Bardzo dziękuję z powyższy komentarz, który ożywi – być może – dyskusję sprzed lat.
Dziękuję za niego tym bardziej, że dał mi silny impuls do przemyślenia własnego poglądu (a nie tylko zrozumienia pewnych poglądów wzorcowych).
Jeśli chodzi zatem o moje stanowisko co do zagadnienia [matematyka a świat realny], to muszę stwierdzić szczerze, że przenika jej coś w rodzaju ambiwalencji przekonań.
Z jednej strony skłaniam się ku umiarkowanemu arystotelizmowi, który ze skuteczności matematyki w opisie świata wyprowadza wniosek, że istnieje jakieś twarde, niezmienne, ontologiczne jądro rzeczywistości (jej najgłębsza istota) i da się ono uchwycić za pomocą takich czy innych obiektów matematycznych. Skłaniam się zatem ku przekonaniu że świat jest (jakoś) matematyczny, a jego matematyczna forma tkwi w rzeczach i relacjach między rzeczami (nie zaś poza nimi; w jakimś platońskim ponad-świecie).
Z drugiej strony jednak, pociąga mnie niezaangażowane ontologicznie stanowisko formalistów. Formalista nie przyjmuje a priori, że świat jest w swojej istocie matematyczny; uznaje raczej (z pokorą, :)), że pewne fragmenty i aspekty świata dają się matematyzować (np. struktura materii), a inne nie (np. ludzka psychika/kultura). Nie przywiązuje się także do takiej czy innej ontologicznej interpretacji matematyki. Matematyka – ta czysta czyli właściwa – jest dlań czymś niezinterpretowanym. Stanowi pewien język i narzędzie, które może tu i ówdzie się przydać. Natura owego języka – języka maksymalnie ścisłego, a tym samym intersubiektywnego – powoduje, że jeśli już coś za jego pomocą daje się opisać, to jest to opis bardzo dobry, niemalże doskonały. Stad zaś powstaje wrażenie, że matematyka tak świetnie pasuje do świata. Tymczasem, musimy przyznać uczciwie, że nie cała matematyka pasuje (mamy nadmiar różnych formalizmów) i nie do wszystkich fragmentów/aspektów świata pasuje. Formalista zatem nie wnioskuje z (lokalnej i wybiórczej) skuteczności matematyki o ontologicznej matematyczności świata. I to jest dla mnie dość przekonujące.
Formalista nie czuje się nadto skrępowany jakąś konkretną ontologiczną interpretacją matematycznych formalizmów. Może formować je dowolnie. Nie odkrywa (czegoś, co we wstępnym zarysie założył), lecz tworzy. A to z kolei wydaje się pociągające.
Pozostaje jeszcze pytanie o to, jak faktycznie traktują swoje badania twórczy matematycy. Być może poczucie odkrywania jakiejś niezmiennej struktury świata jest im bezwzględnie potrzebne? Być może twórczy matematyk musi być w jakiejś mierze filozofem…
Tego jednak nie jestem pewien. Czy szachista namiętnie doskonalący swój kunszt w ramach sztucznie wytworzonej matematyko-podobnej gry potrzebuje jakichś założeń/interpretacji ontologicznych? On po prostu chce grać i czerpać z tego radość. Czy twórczy matematyk przypomina bardziej owego szachistę, czy bardziej zaangażowanego ontologicznie filozofa? Mówi się często, że ogromny procent matematyków to platonicy (co obejmuje również arystotelizm). Ale czy tak jest w istocie? A nawet, gdyby tak było, to czy platońska motywacja do badań, ma przesądzać o matematyczności świata?
Tyle na gorąco i szczerze, w blogowej stylistyce spontanicznego namysłu…
Dzień dobry. Chciałbym przyłączyć się do dyskusji :) Na początek dałbym cytat z Raya Turnera, który będzie miał wykład towarzyszący na najbliższej konferencji „Filozofia w informatyce”:
Jak to możliwe, iż metody aksjomatyczne odnoszą takie sukcesy ? Odpowiedź brzmi w większej części tak, iż aksjomaty po prostu uchwytują znaczące i poprawne wzorce. … Nic nie stoi na przeszkodzie, żeby spisać dowolną listę arbitralnych postulatów, a następnie przeprowadzić dowody wyprowadzonych z nich twierdzeń. Lecz istnieje bardzo niewielka (slim) szansa, iż te twierdzenia będą miały jakiekolwiek zastosowanie praktyczne…Wiele fundamentalnych obiektów matematycznych (szczególnie te najbardziej elementarne, jak liczby i ich operaty) modeluje rzeczywistość. Obiekty młodsze (jak kombinatoryka lub równania różniczkowe) są zbudowane na tych fundamentalnych ideach i dzięki temu także są odbiciem rzeczywistości, nawet jeśli pośrednio. Stąd cała matematyka ma związek z rzeczywistością (Devlin 1994: 54–55).
Szanowni Państwo,
Bardzo się cieszę, że kolejne osoby dołączają do dyskusji.
Chciałbym zaanonsować w tym miejscu dodatkowy materiał pomocniczy, do którego możemy się odnosić.
Są to slajdy, omawiane i dyskutowane na ostatnim seminarium w PW.
Opracował je Profesor Józef Lubacz z wydziału WEiTI.
Oto ich adres:
http://stac.calculemus.org/pdf/Seminarium-2017-18/Matematycznos%C4%87%20%C5%9Bwiata%20-%20sem-luty-2018.pdf.
Zawartość tych slajdów możemy potraktować jako głos prof. Lubacza w naszej dyskusji.
„Matematyczność Świata”
Dzień dobry. Chciałbym podzielić się swoimi poglądami w ciekawej i ważnej dyskusji nt. Matematyczności Świata.
Odniosę się przy tym głównie do materiałów prof. Józefa Lubacza do seminarium z lutego 2018 r. i do tekstu dr. Pawła Stacewicza wprowadzającego dyskusję z września 2014.
Sygnalizuję jednocześnie dalsze, bardziej szczegółowe rozwinięcie poruszonych w tej dyskusji zagadnień.
Dla większej przejrzystości i zwartości tekstu wyrażę swoje tezy w punktach. Wielką literą wyróżniam terminy kwalifikowane, tj. o kluczowym znaczeniu, definiowane.
1) Przez Świat, w tak postawionym zagadnieniu, najwartościowsze jest rozumienie tego terminu jako Świata Fizycznego – w pierwszej kolejności jako nam dostępnego (a więc Wszechświat obserwowalny), a w drugiej kolejności jako wszelkiego obiektywnie istniejącego, obejmującego ten pierwszy (a więc Multiwszechświat, „Byt w Sobie”, „Materia Prima”). O drugim na dziś można tylko tyle powiedzieć, że jest przyczyną pierwszego. Pomiędzy nimi jest kontynuacja naszego Wszechświata, poza kosmologicznym horyzontem zdarzeń – niedostępna, ale tożsama jakościowo z naszym. Oczywiście, tak zdefiniowany Świat obejmuje zarówno obiekty martwe, żywe, jak i wszelkie produkty obu powyższych.
2) Poszukiwanie i wyjaśnianie Matematyczności dotyczy znowu Świata Fizycznego, czyli Przyrody, a nie celowych wytworów człowieka (jak procesy technologiczne, instalacje, urządzenia), które są współcześnie skrajnie zoptymalizowane, czyli podporządkowane regułom matematycznym, ale nie są problematyczne filozoficznie.
3) Powyższe poszukiwanie i wyjaśnianie Matematyczności dotyczy wszelkich skal hierarchii organizacji bytów tego świata, na ile daje się ją wykryć.
4) Zasadnicze rozróżnienie w poszukiwaniu Matematyczności Świata dotyczy obecności trwałych prawidłowości w czasie lub też w przestrzeni. Występuje tu dramatyczna różnica:
a) Zmienność w czasie stanu dowolnego lokalnego fragmentu Świata (nazwijmy go systemem) okazuje się być skrajnie uregulowana trwałymi związkami. Do tego stopnia, ze nadano im nazwę Praw Przyrody. W modelach klasycznych – Newtona, Maxwella, Einsteina – to wręcz determinizm. W modelu kwantowym mamy deterministyczną ewolucję Funkcji Falowej (równaniem Schroedingera) oraz statystyczny opis dekoherencji tejże, jednak z ściśle określonym rozkładem prawdopodobieństwa, wyznaczonym kwadratem modułu tej funkcji. Wzrost skali zaangażowania liczebnego elementów systemu znosi nawet efekty losowe, dając w granicy dokładny, klasyczny opis deterministyczny, wcześniej wymieniony. Pomiędzy nimi są statystyczne modele termodynamiczne.
b) Zmienność w przestrzeni stanu dowolnego lokalnego fragmentu Świata okazuje się być zasadniczo niczym nie uregulowana (wyjąwszy twory celowe, o których wyżej). Przy bliższym oglądzie takie związki daje się czasem odnaleźć, ale mają one charakter partykularny – wynikają lokalnie i pośrednio z (a) – jako efekt końcowy działania praw ewolucji w czasie.
5) Np. w (a) są wszelkie prawa fizyki dziedzin wyżej wymienionych, ale też ich konsekwencje w wyższych skalach, np. prawa termodynamiki, teorii obwodów, Keplera, r-nia Naviera-Stokesa i in.
W (b), poza dominującą dowolnością, znajdą się statystyczne rozkłady rozmieszczenia i energii molekuł gazów, struktura hadronów, atomów i molekuł, a także np. gwiazd zwykłych i neutronowych, a także np. rozkładu rozmieszczenia i krzywizn powierzchniowych lodowcowych głazów narzutowych na polach Mazowsza.
6) Inny przykład kontrastujący powyższe, to: (a) zawsze liniowa i paraboliczna, ze stałymi współczynnikami, zależność szybkości i położenia od czasu dla spadających z wieży w Pizie kamyków Galileusza, a (b) nieład i nieprzewidywalność rozmieszczenia tych kamyków na stole przed zrzuceniem.
7) Tego rodzaju Matematyczność Świata mieli z pewnością na uwadze (lub przynajmniej można ich tak zinterpretować lub sparafrazować) wymienieni przez prof. Lubacza wielcy myśliciele historii – od Platona do Tegmarka.
8) Zatem, ściśle, za Obserwowalną Matematyczność Świata trzeba uznać powszechnie stwierdzaną w zjawiskach Przyrody bardzo dobrą (i rosnącą wraz z poszerzaniem i pogłębianiem wiedzy naukowej) aproksymowalność przebiegu tych zjawisk w czasie, wg (a), modelami matematycznymi (deterministycznymi lub probabilistycznymi).
9) Można nawet zaryzykować silniejszą tezę – ponieważ zmienność w czasie stanów Świata widzimy jako odbywającą się według przynajmniej względnie trwałych reguł (trwałych w skalach co najmniej miliardów lat) – to pozwala przyjąć Hipotezę Jednostajności Świata (przynajmniej względnej). A stąd uwiarygodnić Hipotezę Ścisłej Matematyczności Świata – ścisłego podporządkowania zmienności w czasie stanów Przyrody, na jej najgłębszym poziomie (jakikolwiek by nie był) pewnym trwałym i powszechnym regułom, stąd z konieczności wyrażalnym matematycznie (jako funkcje i relacje). Obserwowalna Matematyczność Świata będzie wtedy, jako przybliżenie, skutkiem z jednej strony istnienia Ścisłej Matematyczności Świata, a z drugiej naszych coraz bardziej owocnych wysiłków jej poznania. Historia Nauki tą sekwencję potwierdza (kolejnymi odkryciami poziomów Mikroświata i Makroświata i ich praw). Przy tym, jedynie Hipoteza Ścisłej Matematyczności Świata klarownie, prosto i spójnie tłumaczy monotoniczne malenie błędu naszych aproksymacji zjawisk.
10) Warto jeszcze przywołać Zasadę Antropiczną – abyśmy mogli powstać, jako stawiający pod dyskusję zagadnienie Matematyczności Świata, musiały dostatecznie długo panować trwałe Prawa Przyrody wraz z odpowiednimi Warunkami Początkowymi, aby Ewolucja Fizyczna i Darwinowska nam to umożliwiły (zajęło im to 13.7 mld lat, ale ze skutkiem).
11) W świetle powyższych ustaleń jest widoczne, że Hipoteza Ścisłej Matematyczności Świata jest logicznie równoważna tezie Tegmarka – „Świat Fizyczny jest Strukturą Matematyczną” (tj. Systemem Relacyjnym lub Modelem – wg Teorii Modeli) [„Our external physical reality is a mathematical structure”]. A my staramy się go odgadnąć i odkryć, i opisać formułami – tj. stworzyć Ścisłą Teorię Wszystkiego (poszukiwana aktualnie „Teoria Wszystkiego” Wielkiej Unifikacji to raczej nie to, ta może być tylko kolejną aproksymacją). A póki co, zadowalamy się przybliżeniami. Wypada tu podkreślić (uprzedzając ew. zarzuty), że ten Model nie jest jednym z menażerii swobodnych mentalnych wymysłów Homo sapiens, ale jedynym (przynajmniej dla nas), wyróżnionym przez Przyrodę, bo ufundowanym na Fizycznej Substancji (tj. „Bycie w Sobie”, „Materii Prima”).
W dalszej części przedstawię rozwiązanie (jak sądzę, zapraszam do dyskusji) paru generalnych, ciągle żywych problemów, a przede wszystkim:
A. Wyjaśnienie zagadki: „Dlaczego matematyka tak dobrze pasuje do Świata?”
B. Jak „naprawdę” jest z Hipotezą Continuum?
C. Jaki jest faktycznie status ontyczny obiektów matematycznych (propozycja).
Marian Piotr Jankowski
Czy da się sfalsyfikować „tezę” o matematyczności Świata? Czy traktując matematyczność Świata jako tezę w naszej filozoficznej teorii Rzeczywistości- naszym Światopoglądzie naukowym (czy wręcz informatycznym), powinniśmy przyłożyć do niej taką samą miarę jak do innych tez w ramach naukowych teorii poznania? Jaki eksperyment- i jaki zbiór rezultatów pomiarów stanowić mógłby dowód tego, że nie stoi za nimi- w istocie- matematyczny „kod rzeczywistości”?
Z drugiej strony- jaki (zawsze skończony) – zbiór pomiarów fenomenów Rzeczywistości mógłby udowodnić tożsamość równań trafnie opisującej te fenomeny teorii naukowej z w/w (idealnym) „kodem rzeczywistości”? Co mogłoby stanowić gwarant filozoficznej pewności tego, że kolejny łabędź nie będzie czarny?
Czy ZAŁOŻENIE matematyczności Świata nie jest koniecznym punktem wyjścia jakkolwiek racjonalnego światopogladu? Odrzucenie takiego „aksjomatu” pozostawiło by nas bez „punktu podparcia” – wysiłki naukowego Poznania rzeczywistości jawiły by się jako bezsensowne (tak jak jego sukcesy w opisie fizycznego uniwersum).
Wobec tego jak „dana” jest nam Rzeczywiatość i obserwalnego sukcesu zmatematyzowanych nauk w opisie manifestujących się w Niej fenomenów konieczne jest chyba traktowanie matematyczności Świata jako koniecznego założenia – a nie jako jednej z teoretycznych tez którą jakkolwiek moglibyśmy „ostatecznie zweryfikować”. Czy istnieje, nie tylko praktyczny, ale w ogóle filozoficzny sens rozważań o „ryzyku” przyjęcia 'matematyczności Świata’ jako założenia?
Z jakimikolwiek rezultatami będziemy mieli do czynienia w przyszłych eksperymentach naukowych- aparat jaki skonstruujemy do ich opisu (powołaliśmy już tak do „istnienia” mrowie bytów) nazwiemy matematycznym- zakładając racjonalnie, że z wiernego odzwierciedlenia wyników kolejnych pomiarów płynie wniosek o zasadności jego stosowania jako narzędzia przedstawiającego trafnie Rzeczywistość i to co może w Niej „zaistnieć” w przyszłości.
A jeśli nie będziemy mogli opracować takiego aparatu trafnie opisującego manifestacje danego aspektu/zbioru pomiarów Rzeczywistości- czy winniśmy zaprzestać starań, „złożyć broń”- czy wręcz porzucić resztę matematycznych rownań teorii naukowych jako skutecznego narzędzia na pozostałej „dziedzinie” Świata?
Zgadzam się z km, że teza o matematyczności świata jest koniecznym założeniem nauki, a więc też – wszelkiego racjonalnego światopoglądu. Na przykład żadne doświadczenie nie może sfalsyfikować zasad (1) i (2):
(1) moc sumy dwóch rozłącznych klas elementów tego świata jest identyczna z sumą mocy obu tych klas;
(2) prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń jest mniejsze od prawdopodobieństwa każdego z tych zdarzeń wziętych z osobna.
Teza o matematyczności świata wydaje się zresztą całkowicie oczywista w świetle tego typu przykładów (ale uwaga: wg Michała Hellera ma ona jedynie status hipotezy; rodzi to raczej trudne dla niego pytanie: co tę hipotezę mogłoby sfalsyfikować?).
Chciałbym dorzucić do tej konkluzji dwie nowe myśli.
Po pierwsze, tezę o matematyczności świata można rozszerzyć, uwzględniając ontologicznie zinterpretowane prawa logiki. Klasycznymi przykładami takich praw są ontologiczne zasady: niesprzeczności (Arystotelesa), czy też nieodróżnialności identycznego (Leibniza). Prostym przykładem prawa współczesnej logiki (drugiego rzędu) jest zasada:
(3) dla dowolnych dwóch różnych przedmiotów tego świata istnieje klasa, która te przedmioty rozdziela (tzn. jeden z tych przedmiotów jest jej elementem, a drugi nie jest).
I po drugie, tak rozszerzonej tezie można nadać ścisły charakter: istnieje podstawowa, logiczna struktura świata i istnieją nadbudowane nad nią matematyczne struktury świata (mowa tu o strukturach w sensie zbiżonym do teorii modeli, a więc w sensie systemów relacyjnych). Tę rozszerzoną myśl nazywam tezą o inteligibilności świata. Można ją udowodnić poprzez wyraźne wskazanie najbardziej podstawowych struktur, o których w niej mowa. W szczególności logiczna struktura świata (rozumianego jako system, którego dziedziną jest klasa przedmiotów rzeczywistych) jest wyznaczona przez układ:
[ dziedzina wszystkich (w tym rzeczywistych) przedmiotów, poddziedzina przedmiotów rzeczywistych, relacja identyczności, relacja należenia do klasy, relacja bycia mocą klasy (tj. liczbą kardynalną), krata możliwych (w tym rzeczywistych) zdarzeń ].
Zastrzegę na początek, że czując się racjonalistą (w szerokim znaczeniu tego słowa, które obejmuje również empiryzm), podzielam właściwie opinie przedstawione w trzech ostatnich komentarzach – począwszy od szczegółowego komentarza M.P. Jankowskiego. Dlatego też nie kwapiłem się zbytnio do jakiejś polemiki.
Jako racjonalista jednak, czuję potrzebę krytycyzmu (nad swoją racjonalnością), wobec czego uznałem, że warto spojrzeć krytycznie na wskazywaną wyżej (np. przez km-a i Harry’ego) niemożność falsyfikacji tezy o matematyczności świata.
Czy można ją jakoś sfalsyfikować? Wydaje mi się, że można to zrobić indukcyjnie, wskazując dostatecznie dużo problemów (dotyczących świata i życia w nim), w których rozwiązaniu żadna matematyka nie może pomóc (albo może pomóc w bardzo ograniczonym zakresie). Wydaje mi się, że w tym właśnie kierunku szły niektóre sugestie prof. Lubacza na ostatnim seminarium (tyczące się nawet działania artefaktów!).
Irracjonalista poda przykładów bez liku: relacje międzyludzkie, uczucia, przeżycia (w tym: mistyczne), poczucie rozumienia i zrozumienia, fenomen świadomości (co ma związek ze sferą przeżyć), nawet struktura i działanie organizmów żywych (ponoć nawet na poziomie najprostszych organizmów brakuje dobrych modeli matematycznych).
Dorzucę jeszcze argument informatyczny: otóż próbując konstruować systemy inteligentne, porównywalne co do zdolności rozwiązywania problemów z ludźmi, coraz częściej rezygnuje się z logiki (a szerzej: z modeli matematycznych) sięgając wprost do natury, o której nie przesądza się, czy jest matematyczna. Po prostu stwierdza się, że biologiczne neurony albo łańcuchy DNA są efektywne w przyrodzie, więc nawet nie dbając o ich matematyczny opis, czyni się je komponentami układów sztucznych (stają się one wówczas nie do końca sztuczne, ).
Krótko mówiąc: zbyt wiele obszarów świata i życia nie wymaga posługiwania się narzędziami matematyki, by uznać apodyktycznie, że świat jest matematyczny.
Oczywiście podoba mi się podejście Harry’ego (komentarz z dnia 6.04.2018), który usiłuje szukać niezbędnego minimum logiczno-matematycznych struktur. Struktury takie byłyby niezbędne i niepodważalne (niezbędne pojęcia i niepodważalne twierdzenia za ich pomocą sformułowane), a miałyby zastosowanie do opisu świata w kategoriach racjonalności.
Narzuca się jednak pytanie, czy trzymając się takiego minimum, nie pozostawiamy zbyt wiele „za burtą”. Być może zbyt mało za pomocą takiego minimum da się opisać, aby wystarczająco dobrze uzasadnić tezę o matematyczności świata. Podejrzewam, że tak właśnie sadzą – nie negując przydatności matematyki w pewnych sprawach – irracjonaliści.
Być może jakiś irracjonalista lub sceptyk to poprze…
Pozdrawiam wszystkich – Paweł Stacewicz.