Zmysły, analiza i abstrakcja w twórczości matematycznej
Drugi wiersz tytułu wymienia akty umysłu niezbędne w tworzeniu pojęć matematycznych przez ludzkich badaczy. Pierwszy zaś pyta, czy do takich aktów byłby zdolny robot skonstruowany wedle przepisu na maszynę Turinga. Jeśli tak, to tego rodzaju robotem mógłby być Turing, a także klasycy twórczości pojęciowej — Euklides w geometrii oraz Peano w arytmetyce.
Wywód jest zorientowany polemicznie w stosunku do mechanicyzmu w teorii inteligencji (tzw. ,,strong AI”). To jest, do poglądu, że dostatecznie efektywne algorytmy, przy złożoności sprzętu dorównującej złożoności mózgu, uczynią matematycznego robota nieodróżnialnym (w sensie testu Turinga) od Turinga, Euklidesa czy Peano, gdy idzie o zdolność twórczego pojęciowania w rozwiązywaniu problemów.
Istotną w tym wywodzie przesłanką jest ta, że nasze pojęcia geometryczne i arytmetyczne mają genezę empiryczną, to jest, wychodzą od obserwacji zmysłowych. Postrzegamy zmysłowo bryłę, a dokonując w niej analizy czyli myślowego rozbioru, wyodrębniamy w niej myślą płaszczyzny. Analiza płaszczyzn wyodrębnia z nich linie, itd.
Kolejnym krokiem jest abstrakcja, gdy od jakiejś konkretnej powierzchni przechodzimy do myślenia o powierzchniach w ogólności; tak samo do myślenia o liniach, punktach etc. Analogicznie, arytmetyka zaczyna się od postrzegania wzrokiem struktur przestrzennych, czy uchem struktur czasowych. Zmysł rozróżnia w nich elementy, a gdy są niezbyt liczne, np. pięć palców, postrzega się zmysłowo ich liczności oraz równoliczności. Takie struktury grupuje się w klasy, abstrahując od indywidualnych różnic między elementami. Tak powstaje abstrakcyjne pojęcie klasy obiektów trafnie nazywanych (Sierpiński, „Arytmetyka teoretyczna”, 1955) liczbami podstawowymi.
Stosując kolejne abstrakcje i konstrukcje, dostajemy z klasy liczb podstawowych inne klasy liczb. Gdy abstrakcja prowadzi w rejony odległe od empirycznego punktu wyjścia, upewniamy się, czy nie powstał pod drodze jakiś błąd. Czynimy to pragmatycznie, biorąc pod uwagę sukces danej teorii w uniknięciu sprzeczności (jeśli ona się ujawni, trzeba naprawić teorię), jak też w praktycznych zastosowaniach. Taka filozofia matematyki,
empiryczno-pragmatyczny platonizm, dobrze się nadaje na przewodnika w szukaniu odpowiedzi: czy Turing jest maszyną Turinga?.
Niniejszy wpis jest streszczeniem artykułu przewidzianego do publikacji w materiałach konferencji „Filozofia w Informatyce” mających się ukazać pod redakcją Pawła Polaka. Ponieważ w trakcie prac redakcyjnych możliwe są modyfikacje nadesłanych materiałów, autor byłby wdzięczny za uwagi do obecnego wpisu. Choć stanowi on tylko streszczenie, zawiera pewne stwierdzenia, które mogą być kontrowersyjne i nadające się dzięki temu do polemicznych komentarzy.