Integralnym elementem niniejszego wpisu, wprowadzającym do jego treści, jest tekst
„Czy umysł jest liczbą? autorstwa Pawła Stacewicza (odczyt na III Konferencji Filozofii Matematyki, UAM, Poznań 2011). Jego tytuł jest inspirującym skrótem, który po rozwinięciu przybierze postać: czy umysł da się reprezentować jakąś liczbą? Po pełniejsym rozwinięciu będzie to pytanie: czy jest to liczba naturalna, a jeśli nie, to jaka inna, w szczególności, czy może to być liczba nieobliczalna? Pytania te zmierzają do wyjaśnienia, co znaczy teza koputacjonizmu formułowana w piśmiennictwie angielskim słowami; the mind is computational — umysł jest obliczeniowy. Jak proponuję we wcześniejszym wpisie, pojęcie bycia obliczeniowym obejmuje dwie właściwości: bycia obliczalnym i posiadania mocy obliczeniowej. W obecnym wpisie zajmuję się tą pierwszą, dzieląc go na dwie części. Pierwsza (§1) jest dyskusją komputacjonizmem w postaci rygorystycznej, który na pytania o równoważność postawione w tytule twierdząco odpowiada twierdząco, łącząc to z akceptacją tezy, że istotnie umysł jest w tym sensie obliczalny. Dla odróżnienia od innych postaci komputacjonizmu tę jego postać określam jako algorytmizm. Część druga (§2) jest próbą zrozumienia, co może znaczyć komputacjonizm pluralistyczny, z którym też spotykamy się w literaturze, a który dla skrótu określam mianem neokomputacjonizmu. Czy jego pluralizm polega na tym, że obliczalność przypisze się umysłowi także wtedy, gdyby był reprezentowany przez inny rodzaj liczb? Np. rzeczywistych jako reprezentujących przetwarzanie informacji analogowe? A jeśli mogą być rzeczywiste, to czy tylko obliczalne, czy także nieobliczalne?
§1. Laboratorium szyfrów w kognitywistyce
Nie będzie jednak pomieszania, gdy się wyjaśni, że pytanie o liczbową naturę umysłu jest retorycznym skrótem kwestii powstającej przy następującym założeniu: istnieje zaszyfrowany w mózgu kod sterujący działaniem umysłu, w szczególności rozwiązywaniem przezeń problemów drogą przetwarzania informacji. Wtedy ów aforyzm „umysł jest liczbą” mówi tyle, że kod taki da
się przedstawić jako liczba reprezentująca własności umysłu. Szeroko przyjął sie w kognitywistyce pogląd, że jest to taki sam rodzaj kodu jak ten, którym da się scharakteryzować maszynę Turinga, gdzie liczba kodująca należy do zbioru liczb naturalnych. Pogląd ten występuje pod różnymi nazwami. Spośród nich wybieram na użytek obecnych rozważań termin ALGORYTMIZM. Głosi się w nim, że umysł jest maszyną Turinga, to jest,układem rozwiązującym problemy wyłącznie na drodze algorytmicznej czyli
pod dyktando maksymalnie precyzyjnych instrukcji. A jeśliby nawet
umysł nie był dosłownie maszyną, to (według algorytmizmu) realizowane przezeń procesy rozwiązywania problemów — drogą przetwarzania informacji — dadzą się wiernie symulować na maszynie Turinga.
Wybitnym prekursorem idei, że umysł jest liczbą, choć nie w wersji algorytmizmu lecz pewnej alternatywnej, był G.W.Leibniz (1646-1716). Już w swej pierwszej rozprawie, napisanej na stopień bakałarza filozofii pt. „De principio individui” (1663), zamieścił on tezę: essentiae rerum sunt sicut numeri — istoty rzeczy są czymś takim, jak liczby; a że tym, co istotne dla człowieka jest umysł, rodzi się idea traktowania go jako liczby. Później precyzował Leibniz tę myśl, traktując umysł na wzór liczby o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, a więc nie dającej się w pełni obliczyć przez umysł ludzki, a dostępnej poznawczo jedynie dla umysłu niekończonego. W ostatniej zaś swej pracy „Monadologii” (1714) określa on umysły jako boskie automaty lub boskie maszyny (machinae divinae).
Mając za przesłankę tezę algorytmizmu, że umysł jest maszyną Turinga, trzeba jeszcze wykazać, że maszyna Turinga jest liczbą. Wtedy dostaniemy wniosek że umysł jest liczbą.
Istnieje nieskończenie wiele maszyn Turinga — tak wyspecjalizowanych, że każda oblicza (tj. znajduje wartość) jedną funkcję. Zapis funkcji da się zakodować, np. metodą Gödla, w postaci jednej liczby naturalnej, przyporządkowanej danej funkcji jako jej numer, co czyni też z niej numer obliczającej tę funkcję maszyny. Poszczególne maszyny to odpowiedniki najprostszych programów sterujących procesami umysłu, zaś umysłowi jako całości odpowiada struktura zawierająca w sobie takie składniki. Dla tej struktury obliczymy z kolei numer pochodny od numerów maszyn składowych. A skoro — wg algorytmizmu — każdy umysł jest maszyną Turinga, to dla każdego umysłu istnieje przyporządkowana mu jednoznacznie liczba będąca jakby definicją jego indywidualności. Jest to w gruncie rzeczy idea Leibniza z dysertacji „De principio individui” (to znaczy: o tym, co konstytuuje indywidualność).
§2. Spróbujmy tę ideę na tyle skonkretyzować, żeby stała się podatna na weryfikację. Jako konkretyzację abstrakcyjnej maszyny Turinga weźmy dowolny komputer cyfrowy, np. ten z mojego biurka. Jego zawartość składa się z jednostek zwanych plikami. Są one różnego rodzaju: programy, teksty w formacie ASCII i w formatach binarnych, grafika etc. Mamy dziś metody kodowania dowolnego pliku w postaci pojedynczej liczby naturalnej. Metoda „message digest” szyfruje dowolny plik jako ciąg 32 cyfr w notacji szesnastkowej (wystarczy napisać polecenie md5sum poprzedzając nim nazwę pliku). Np. plik pokrywający się z odcinkiem §1 (powyżej) otrzymuje w ten sposób numer kodowy 42fd8fc77a61108014f6851d50bfa7e3.
Warunkiem stosowania tej metody jest to, żeby informacja zawarta w komputerze była podzielona na pliki jako doskonale rozłączne zbiory symboli. Bez przecinania się zbiorów, bez jakiegokolwiek przechodzenia płynnie jednych w drugie, i bez istnienia miejsc rozmytych. Pokrywa się to z wymogiem dyskretności ciągów symboli wymienionym przez Turinga w opisie jego maszyny.
Żadnego z tych warunków nie spełnia nasz umysł, który ma naturę strumienia, a nie magazynu z poukładanymi obok siebie paczkami. Czy to przekreśla możliwość posiadania przezeń natury liczbowej? Może niekoniecznie. Ale jak widać, nie da się on zakodować w liczbach naturalnych, toteż obrońca pojętej tak lub inaczej obliczalności umysłu musiałby określić, do jakiego on należy rodzaju liczb oraz podać metodę kodowania. Bez takiej konkretyzacji rzecz pozostanie w sferze metafizycznych wizji, jak ta kreślona przez Leibniza, a nie w sferze teorii naukowych.
§3. Nie należy jednak z góry przesądzać, że jedyna droga do wykazania obliczalności umysłu prowadzi przez przypisanie mu natury liczbowej i dostarczenia algorytmu na obliczanie kodującej umysł liczby naturalnej. Podejście opisane w §1 i §2 nakreśliłem jedynie w roli przykładu, żeby pokazać jedną z możliwych eksplikacji pojęcia obliczalności umysłu (wg zapowiedzi danej w poprzednim odcinku tego cyklu). Nie przedstawia się to podejście realistycznie, skoro wymaga zanegowania strumieniowej natury umysłu czyli i płynności przejść między jego stanami i elementami. Warte jest jednak próby zastosowania, ponieważ wyznacza pewien wzorzec konkretności i dokładności argumentacji.
Z podobną konkretnością należałoby postępować, rozważając alternatywne treści powiedzenia, że umysł jest liczbą. Można je zestawić w następujących pytaniach.
— Jeśli umysł jest liczbą, lub da się jakąś liczbą jednoznacznie reprezentować, to jaki to byłby rodzaj liczby: naturalna, wymierna, rzeczywista?
— Jeśli rzeczywista, to czy mogłaby to być liczba nieobliczalna?
Nie do pominięcia jest opcja, że tylko pewne procesy umysłowe mają reprezentację liczbową, inne zaś nie. Czy byłoby wtedy zasadne taki liczbowy charakter przypisywać umysłowi jako całości? Niektóre istotnie zasługują na posiadanie reprezentacji liczbowej.
Domniemanie o takiej mieszanej naturze umysłu miałoby pokrycie w tym, że pewne jego procesy są istotnie.
Zdarza się np. ludziom dowodzić twierdzeń w sposób czysto formalny i nie wymagający intuicji ani pomysłowości (np. metodą tabel analitycznych). Taki dowód ma swój numer gödlowski, można by go więc również za numer reprezentujący proces umysłowy produkowania takiego dowodu. Jeśliby wszystkie procesy umysłowe był tak ponumerowane, byłoby nie bez podstaw nazwanie umysłu obliczalnym. W przeciwnym przypadku sprawa byłaby raczej kontrowersyjna. Jakim bowiem sposobem byłoby wykonalne przyporządkowanie jakiegoś numeru np. intuicjom i pomysłom Cantora na temat, powiedzmy, infinitum absolutum?