Szerokie pojęcie obliczania i rozszerzona interpretacja tezy Churcha-Turinga
Extended concept of computing and extended interpretation of the Church-Turning thesis
1. W większości dyskusji dotyczących tezy CT przyjmuje się, że dotyczy ona (intuicyjnego) pojęcia obliczania: definiuje go, objaśnia go, stanowi pewne uogólnienie oparte na analizie sposobu działania realnych systemów obliczeniowych… (mamy tu wiele interpretacji).
In most discussions on the CT thesis, it is assumed that it concerns the (intuitive) concept of computing: it defines it, explicates it, is a kind of generalization based on the analysis of how real computing systems work… (we have many interpretations here).
2. Wybijając na pierwszy plan pojęcie obliczania, ignoruje się fakt, że we wszystkich wariantach tezy CT jest mowa o efektywności (mamy w nich sformułowania typu: „funkcja efektywnie obliczalna”, „obliczalność efektywna” etc.). A zatem: teza CT mówi wprawdzie o obliczeniach, lecz kładzie (główny) nacisk na ich efektywność.
By putting the concept of computing into the foreground, one ignores the fact that in all variants of the CT thesis there is a reference to effectiveness (we have in them expressions like: ” effectively computable function”, ” effective computability” etc). Thus: although the CT thesis speaks about computation, it focuses (mainly) on its effectiveness.
3. Centralna rola efektywności w tezie CT jest szczególnie widoczna w następujących jej sformułowaniach:
— Każda funkcja efektywnie obliczalna jest funkcją obliczalną za pomocą UMT.
— Jeśli funkcja jest efektywnie obliczalna, to jest obliczalna za pomocą UMT.
— Funkcja jest efektywnie obliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest obliczalna za pomocą UMT.
/W skrócie: OE implikuje (lub jest równoważne) OUMT//
Uwaga: Nie przesądzam tutaj, czy teza CT jest formułowana jako implikacja czy jako równoważność (pierwotne sformułowanie Churcha jest chyba implikacją)
The central role of effectiveness in the CT thesis is particularly visible in the following formulations:
— Each function that is effectively computable is computable by UMT.
— If the function is effectively computable, it is computable by UMT.
— A function is effectively computable if and only if it is computable by UMT.
/In short, E-C implies (or is equivalent to) C-by-UMT//
Note: I do not prejudge here whether the CT thesis is formulated as an implication or as an equivalence (the original Church formulation is probably an implication).
4. We wszystkich wskazanych wyżej sformułowaniach termin „obliczanie” występuje po obu stronach tezy CT, zaś termin „efektywność” tylko po stronie lewej (tej „intuicyjnej”). Znaczy to, że za pomocą tezy jest eksplikowane/definiowane/precyzowane… pojęcie efektywności (obliczeń), a nie pojęcie samego obliczania.
In all of the above mentioned formulations, the term „computable” occurs on both sides of the CT thesis, while the term ” effectiveness” occurs only on the left side (the „intuitive” one). This means that the thesis is used to explicate/define/specify… the concept of effectiveness (of computing) and not the concept of computing itself.
5. Zgodnie z powyższą obserwacją wolno uznać, że pojęcie obliczania jest dla tezy CT zewnętrzne, tj. uprzednie i zastane.
According to the above observation, the concept of computing can be considered as external to the CT thesis, i.e. previous and existing.
6. Taka interpretacja otwiera drogę do uwzględnienie w tezie CT, a właściwie w różnych jej wariantach, różnych pojęć obliczania , a nie tylko obliczania rozumianego klasycznie (czyli tak, jak rozumieli je pierwsi teoretycy obliczeń: Church, Turing, Post, Markow i inni). Przy czym można przyjąć, że rożne warianty pojęcia obliczania składają się na szerokie pojęcie obliczania.
Such an interpretation paves the way for including in the CT thesis, or rather in its various variants, different concepts of computing, and not only computing understood classically (i.e. as they were understood by the first theoreticians of computing: Church, Turing, Post, Markow and others). At the same time it can be assumed that different variants of the notion of computing make up a generalized (broad/extended) concept of computing.
7. Szerokie pojęcie obliczania wydaje się zgodne ze współczesną praktyką informatyczną (obliczeniową), co zresztą znajduje swój wyraz w języku. Wszak mówiąc współcześnie o obliczeniach wyróżnia się obliczenia cyfrowe (turingowskie), analogowe, naturalne (empiryczne), ewolucyjne, deterministyczne, indeterministyczne etc… /przyjmując, chociażby na próbę, że niektóre przynajmniej z wyróżnionych typów obliczeń są istotnie różne od turingowskich, definiowanych m.in. w modelu UMT/.
The extended concept of computing seems to be in line with modern computer science (computing) practice, which, in fact, is expressed in language. Speaking of computations today, we distinguish digital (Turing), analog, natural (empirical), evolutionary, deterministic, indeterministic (etc…) computations /assuming, at least for an attempt, that some of the distinguished types of computations are significantly different from Turing ones, i.e. UMT-defined /.
8. Przyjmując szerokie pojęcie obliczania oraz dostrzegając centralną rolę efektywności w tezie CT, możemy formułować różne jej warianty (CTi) – warianty, które dotyczą efektywności obliczeń różnego typu.
W pracy skupimy się na obliczeniach analogowych. Zastanowimy się, czy w dziedzinie obliczeń analogowych pojęcie efektywności może być wyeksplikowane/uściślone na sposób carnapowski, a dokładniej, czy można podać dla nich jakiś wystarczająco ogólny model matematyczny (tak ogólny jak UMT dla obliczeń cyfrowych), na gruncie którego można by uściślić, a następnie badać, zagadnienie efektywności.
Taking into account the exended/generalized concept of computing and recognizing the central role of effectiveness in the CT thesis, we can formulate its various variants (CTi) – variants that concern the effectiveness of various types of computations.
In this work we will focus on analog computations. We will consider whether in the field of analog computing the notion of effectiveness can be explicated/clarified in the Carnap way, and more precisely, whether it is possible to provide for them some sufficiently general mathematical model (as general as UMT for digital computing), on the basis of which the issue of effectiveness could be clarified and then examined.
9. Zakładając, że pojęciem centralnym po lewej stronie tezy CT jest pojecie efektywności, należy sprecyzować wstępnie i ogólnie odpowiednie warunki/kryteria działania efektywnego.
Przykładowe możliwości: efektywne = wykonalne fizyczne, efektywne = wykonalne fizycznie i poznawalne przez ludzki umysł, efektywne = wykonalne fizycznie przy użyciu osiągalnych w praktyce zasobów (czas, środki zapisu, np. pamięć maszyny……)
Assuming that the central concept on the left hand side of the CT thesis is the concept of effectiveness, the appropriate conditions/criteria for effective action should be predefined.
Examples of possibilities: effective = physically feasible, effective = physically feasible and cognisable by the human mind, effective = physically feasible with the use of resources available in practice (time, means of recording, e.g. machine memory……).
10. W pracy skupimy się na najprostszym bodaj praktycznym rozumieniu efektywności obliczeń: efektywności jako ich fizycznej realizowalności. (Nie wykluczamy przy tym dygresji o innych, również węższych, sposobach rozumienia).
Dyskusję przeprowadzimy w ramach obecnego w informatyce rozróżnienie między obliczeniami cyfrowymi (klasycznymi, opisywanymi matematycznie w ramach modelu UMT) oraz analogowymi (rozumianymi jako obliczenia ciągłe, niekiedy zaś ciągłe i empiryczne zarazem).
In this work we will focus on the simplest and most practical understanding of the effectiveness of computing: effectiveness as their physical realizability. (We do not rule out digressions about other, also narrower, ways of understanding.)
The discussion will be conducted within the framework of the distinction between digital computations (classic, described mathematically within the UMT model) and analog ones (understood as continuous, sometimes continuous and empirical at the same time).
*** Rożne warianty tezy CT?
Jako CT0 – możemy oznaczyć klasyczną tezę CT, dotyczącą obliczeń turingowskich/cyfrowych, jako kolejne CTi – wersje CT dotyczące różnych wariantów obliczeń nieturingowskich.
Dla różnych sposobów rozumienia efektywności otrzymalibyśmy z kolei różne warianty CTij.
Przez maksymalnie szeroką interpretację tezy CT można rozumieć klasę CT* złożoną ze wszystkich możliwych wariantów CTij.
*** Different variants of the CT thesis?
As CT0 – we can mark the classic CT thesis on Turing/digital computations, as further CTi – CT versions on different variants of non-Turing computations.
For different ways of understanding the effectiveness we would in turn receive different variants CTij.
By a maximum broad interpretation of the CT thesis we can understand a CT* class consisting of all possible variants of CTij.