Obecny wpis powstał w porozumieniu z redakcją czasopisma Semina Scientiarum, do którego został zgłoszony mój artykuł o Archipelagu Matematyki (przypomnę, że temat Archipelagu gościł w naszym blogu już kilkukrotnie; zob. np. wpis z dnia 20.10.2013)
Wspomniany artykuł dotyczy filozoficznych wątków Archipelagu, które z grubsza da się streścić w następujących punktach:
(1) Prezentując niektóre treści matematyczne, przyjęto sokratejską metodę pytań zmierzających do wydobycia z rozmówcy jego ukrytej wiedzy matematycznej.
(2) Przedstawiając niektóre źródła matematycznych pojęć, sięgnięto wprost do myśli tych filozofów, którzy zajmowali się twórczo matematyką i logiką (np. Arystotelesa czy Leibniza).
(3) Pragnąc ukazać związki matematyki z innymi dziedzinami, przedstawiono pewne pytania filozoficzne, do których prowadzą ustalenia matematyków (np. twierdzenia matematyczne).
(4) Objaśniając specyfikę poznania matematycznego (w szczególności zdumiewającą zgodność wielu matematycznych twierdzeń z rzeczywistością), ukazano różne filozoficzne stanowiska w tej sprawie (jak platonizm czy instrumentalizm).
Zasygnalizowawszy filozoficzne wątki Archipelagu, chciałbym teraz poddać pod dyskusję końcowy fragment w/w artykułu, dotyczący nauczania matematyki w powiązaniu z filozofią (i na odwrót).
A oto i tekst…
**********
KOŃCOWY FRAGMENT ARTYKUŁU
„O związkach matematyki z filozofią
na przykładzie projektu Archipelag Matematyki”
Na koniec artykułu chciałbym podzielić się z czytelnikiem garścią uwag metodologicznych, do których skłania uczestnictwo w opisanym projekcie. Uwagi te będą dotyczyć nauczania obydwu tytułowych dyscyplin, matematyki i filozofii, w taki sposób jednak, by druga z nich jak najwięcej na tym skorzystała.
Uwagi będą koncentrować się wokół dwóch pytań:
(1) W jaki sposób w nauczaniu matematyki wykorzystywać filozofię?,
(2) Jak uczyć filozofii, wykorzystując matematykę (a także inne nauki ścisłe)?[1]
Cząstkowej odpowiedzi na pytanie pierwsze dostarcza drugi z opisanych w artykule przykładów. Jego forma dialogowa powinna nasunąć skojarzenie z Dialogami Platońskimi, i zawartą w nich sokratejską metodą stopniowego wydobywania wiedzy z rozmówcy poprzez podsuwanie trafnych skojarzeń i pytań (tzw. metoda majeutyczna). Uważam, że dydaktycy matematyki powinni częściej stosować tę metodę, bazując na nabytych i wrodzonych intuicjach ucznia (zakorzenionych niekiedy w języku potocznym). Stosując ją, mogliby powoływać się (nawet w formie ciekawostki) na jej filozoficzny, sokratejsko-platoński, rodowód. Dodam jeszcze, że w Archipelagu Matematyki nie brakuje materiałów zorganizowanych w taki właśnie sposób, a wiele z nich przynależy do kategorii mat-wywiadów (zob. np. zamieszczony w blogu mat-wywiad o liczbach nieobliczalnych).
Kolejna „filozoficzna” wskazówka dla dydaktyków matematyki wiąże się również z pytaniami – tym razem jednak chodzi o motywowanie uczniów do samodzielnego stawiania pytań filozoficznych. Nie tylko matematycznych, związanych z taką czy inną definicją lub metodą, lecz bardziej ogólnych. Oto sugestywny przykład: „Czym jest liczba?” i „Czy naprawdę to wiemy?”. Niech uczeń wczuje się w ten problem, zestawi różne rodzaje liczb, pozna różne sposoby odpowiedzi… niech przekona się w ten sposób o otwartym charakterze matematyki, w której wciąż przecież konstruuje się nowe pojęcia, w tym nowe rodzaje liczb.
Przy okazji stosowania tego rodzaju metody warto podkreślać – i to ma już bezpośredni związek z historią filozofii – że historycznie rzecz biorąc, wiele matematycznych odkryć było inspirowanych pytaniami filozoficznymi (tak np. rozumował G.W. Leibniz; zob. artykuł K. Trzęsickiego).
Podążając tropem pytań, za sprawą których filozofia może przyczynić się do skuteczniejszego nauczania matematyki, dochodzimy do kwestii kolejnej. Otóż często przedstawia się matematykę jako narzędzie – narzędzie, które warto opanować po to, by móc poprawnie rozumować, formułować trafne przewidywania czy skuteczniej przekształcać świat. Innymi słowy zwraca się uwagę na bogate zastosowania matematyki. Wybierając taką strategię popularyzacji (a tak właśnie uczyniono w omawianym projekcie), przyjmuje się domyślnie, że świat wokół nas jest matematyczny. Ale dlaczego tak jest? Skąd wynika ta jego zdumiewająca cecha? Są to najgłębsze pytania filozoficzne, którymi warto dopełnić prosty przekaz o mnogości zastosowań. Warto zachęcić ucznia (zwłaszcza humanistę) do sformułowania własnego stanowiska w tej sprawie (omawiając wcześniej typowe odpowiedzi Platona, Arystotelesa, Kanta i innych) i pokazać w ten sposób, że matematyki nie tylko trzeba się uczyć, ale warto także się nad nią zastanawiać.
Podsumujmy zatem: pozytywna rola filozofii w nauczaniu matematyki polega przede wszystkim na tym, że zachęca ona do stawiania pytań – pytań kierunkujących myślenie (metoda majeutyczna), pytań o istotę matematycznych pojęć, oraz pytań o stosunek matematyki do świata.
Przejdźmy z kolei do pytania drugiego, w którym główny akcent pada na nauczanie filozofii, a nie matematyki[2]. Z uwagi na specyfikę omawianego projektu (a także kończący poprzednie zdanie przypis) pytaniu temu poświęcę nieco mniej miejsca.
Na początek narzuca się uwaga następująca: gdyby chcieć zachować symetrię z układem wcześniejszych wniosków, to można by stwierdzić, że podobnie jak w nauczaniu matematyki pożądana wydaje się metoda majeutyczna, tak w nauczaniu filozofii winno się stosować metody matematyczne. To znaczy: precyzyjne definiowanie terminów, aksjomatyzację, formalne dowody itp. Do wniosku tego skłania nadto podobnie ogólny i abstrakcyjny charakter pojęć używanych w obydwu dyscyplinach (np. z jednej strony mamy byt, a z drugiej – liczbę).
Ponieważ powyższa uwaga jest bardzo ogólna, a jej rozwinięcie wymagałoby dalszego precyzowania o jakie metody matematyczne chodzi, i które z nich można by z powodzeniem wykorzystać, proponuję rozpatrzyć na koniec trochę inny punkt widzenia, mocno zbieżny z przykładem z punktu 2.2. Mam na myśli taką metodę nauczania filozofii, która mimo zachowania wysokiego poziomu abstrakcji nawiązuje do konkretnych pojęć, metod i twierdzeń matematyki. Z grubsza idzie o metodę następującą: (i) wychodzimy od matematycznego „konkretu”, którego opis nie pozostawia żadnych niedomówień (np. od cantorowskiego pojęcia nieskończoności), (ii) omawiamy ów matematyczny punkt wyjścia w kontekście filozoficznym (np. przedstawiamy będące jego źródłem intuicje filozofów czy też stosujemy go do zilustrowania lub rozjaśnienia pewnych kwestii filozoficznych), (iii) jeśli pierwotne matematyczne definicje okazują się filozoficznie nieadekwatne, próbujemy je przeformułować (np. zmienić cantorowskie ujęcie nieskończoności).
Metoda taka, choć opisana bardzo zgrubnie, ma dwie istotne zalety: zbyt spekulatywnych i dygresyjnie nastawionych filozofów przymusza do ścisłości wywodu, matematyków z kolei wyposaża w pewną ciekawą heurystykę (heurystykę filozoficzną) dochodzenia do nowych pojęć (a w rezultacie: nowych twierdzeń i nowych teorii). Owe dwie zalety, niekoniecznie związane z powyższą metodą, można uznać za kwintesencję wszelkich prób łączenia matematyki z filozofią.
Przypisy
[1]
Na marginesie pierwszego z pytań warto zauważyć, że uwzględnienie w omawianym projekcie filozofii było inicjatywą samych matematyków, a szczególnie kierującego całym przedsięwzięciem prof. Tadeusza Rzeżuchowskiego. Już sam ten fakt jest znaczący: okazuje się bowiem, że przedstawiciele innych dyscyplin, w tym tak – wydawałoby się – samowystarczalnych jak matematyka, pragną sięgać do filozofii. Kwestia kolejna to bardzo dobre przyjęcie filozoficznej zawartości Archipelagu przez nauczycieli (recenzujących niektóre materiały) oraz uczniów (testujących projekt). Na koniec zaś pewien akcent personalny: otóż w ostatniej fazie realizacji projektu funkcję głównego redaktora merytorycznego (a także specjalisty od pewnych spraw technicznych) pełnił filozof z wykształcenia: pan Adam Wasążnik.
[2]
Mimo innego rozłożenia akcentów zauważyć trzeba, ze pytanie drugie pokrywa się po części z pierwszym. Dzieje się tak, ponieważ nauczanie matematyki z wykorzystaniem filozofii jest jednocześnie pewną metodą przybliżania niektórych zagadnień filozoficznych.
**********
