Motto: Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Wiedza, którą miał na uwadze David Hilbert pod słowem „wissen” to wiedza matematyczna w postaci sformalizowanej, a więc osiągalna dla uniwersalnej maszyny Turinga zaopatrzonej w odpowiednią aksjomatykę i reguły dowodzenia.
§1. Maszyna wyroczna jako formalny model intuicji matematycznej
Czy Turing pojęty jako maszyna Turinga spełnia maksymę Hilberta? Nie, jeśli jako model umysłu weźmiemy maszynę Turinga [1936-7] . Tak — jeśli O-maszynę: oracle machine. Po polsku: maszyna wyroczna. To zagadkowe pojęcie Turing w „Systems of logic defined by ordinals”, 1939, §4) wyjaśnia następująco.
[There are] formulae seen intuitively to be correct, but which the Gödel theorem shows are unprovable in the original system. Czy jest sposób uczynić je dowodliwymi? Turing odpowiada.
Let us suppose we are supplied with some unspecified means of solving number-theoretic problems; a kind of oracle as it were. This oracle cannot be a machine. With the help of the oracle we could form a new kind of machine (call them O-machines) having as one of its fundamental processes that of solving a given number-theoretic problem.
Komentatorzy Turinga terminem A-machine określają uniwersalną maszynę Turinga [1936-7]. Maszyna wyroczna powstaje w ten sposób, że do A-maszyny dołącza się wyrocznię, która — dodaje Turing — sama nie jest maszyną. Jeśli A-maszyna nie może rozstrzygnąć np. czy proces obliczania wartości określonej funkcji zostanie zakończony (problem stopu), zwraca się z pytaniem do wyroczni, a ta odpowiada „tak” lub „nie”. Zadaniem wyroczni jest też , wg Turinga, wskazanie „kiedy dany krok czyni użytek z intuicji, a kiedy ma charakter czysto formalny.”
Przykładem „głosu” wyroczni jest zdanie gödlowskie sformułowane w języku arytmetyki. Jest ono intuicyjnie prawdziwe (gdyby nie, to arytmetyka byłaby sprzeczna). A w swej treści stwierdza, że nie jest ono formalnie dowodliwe z aksjomatów (np. arytmetyki Peano) ma więc charakter intuicyjny. Pojęcie wyroczni jest fundamentalne dla epistemologii matematyki: pozwala ono tak interpretować optymistyczną maksymę Hilberta, że staje się ona przewidywaniem realistycznym.
§2. Nieskończona sekwencja maszyn wyrocznych o rosnącej mocy obliczeniowej. Zasadność maksymy Hilberta. Względność obliczalności
Niech pierwszym elementem tego ciągu będzie maszyna AP’ wyposażona w aksjomaty arytmetyki Peano i logikę pierwszego rzędu. Pytana, czy prawdziwe jest jej zdanie gödlowskie, nie daje ona rozstrzygnięcia. Podłączamy więc do niej wyrocznię W1, i ta odpowiada twierdząco. Dołączamy zdanie gödlowskie do aksjomatów AP’ i dostajemy maszynę wyroczną AP” o większej niż AP’ (dzięki wzmocnionej aksjomatyce) mocy obliczeniowej. Symbolicznie: AP”>AP’. Z kolei, dostawszy odpowiedź wyroczni W2 na pewien problem nierozstrzygalny dla maszyny AP”, dołączamy ją do aksjomatów. Tak otrzymujemy AP”’, z odpowiednio większą mocą obliczeniową. Powstaje sekwencja:
AP'<AP”<AP”'<AP”” … itd. ad infinitum
Teraz widać, w jakim sensie należy się zgodzić z maksymą Hilberta. Nie ma wprawdzie maszyny z tak wszechwiedzącą wyrocznią, żeby mogła rozwiązać wszystkie problemy, których bez wyroczni rozstrzygnąć się nie da. Natomiast, dla każdego problemu istnieje zdolna do jego rozwiązania maszyna z odpowiednio zaawansowaną wyrocznią. Przy takim rozumieniu hilbertowskiego optymizmu, rozumiemy też co miał na myśli Gödel mówiąc (do Hao Wanga), że jego twierdzenia nie podważają maksymy Hilberta.
Z tego widać, że każdy problem rozwiązalny dla maszyny o pewnym numerze jest rozwiązalny dla każdej maszyny z numerem wyższym, lecz nie odwrotnie. Mamy więc do czynienia z obliczalnością względną — relative computability. Znaczy to, że coś, co jest nieobliczalne dla maszyny nr N, jest obliczalne dla maszyny nr N+x (gdzie x>0).
Mamy stąd odpowiedź na pytanie tytułowe. Jeśli ma się na uwadze maszynę bez wyroczni, to Alan Turing nie jest maszyną Turinga. Dysponuje on wysoko zaawansowaną wyrocznią, jaką jest intuicja nieskończonego ciągu liczb w argumencie przekątniowym. Ów ciąg różni się od każdego, który został wyprodukowany przez którąś z nieskończonego zbioru maszyn obliczających określone funkcje. Obejmuje on wszystkie możliwe funkcje arytmetyczne, a więc zawiera wszystkie liczby obliczalne. W takim razie, liczba reprezentowana przez ów ciąg cyfr odczytany „po przekątni” musi być liczbą nieobliczalną. Wymaga ten argument nieskończenie wielu kroków, toteż maszyna nigdy by się nie zatrzymała. Tymczasem, mózg, czy też umysł, Turinga obejmuje ów nieskończony ciąg jednym ruchem myśli, jakby w jednym kroku, i tak znajduje rozwiązanie. Jest to zatem owoc niezwykle przenikliwej intuicji, czyli wyroczni o bardzo wysokim numerze. Jest więc Alan Turing maszyną Turinga, ale maszyną wyroczną na bardzo wysokiej w hierarchii takich maszyn pozycji.
Na gruncie tych ustaleń rodzą się dwojakiego rodzaju pytania: jedne należą do logiki oraz informatycznej teorii złożoności, drugie do filozofii informatyki w jej warstwie epistemologicznej i ontologicznej. Te pierwsze biorą się z potrzeby dopracowania dość enigmatycznej idei wyroczni, która okazała się płodna informatycznie i filozoficznie, ale pod warunkiem odpowiednich doprecyzowań. W zakresie informatyki podjęli tę pracę Post, Kleene, Davies i inni. Zdanie sprawy z tej literatury to temat na osobne studium, sygnalizuję więc tylko przykładowo kilka pozycji:
Hodges, A. „Alan Turing”
Soare, R.I. „Turing Oracle Machines”
Appel, A.W. „The Birth of Computer Science at Princeton in the 1930s”:=
Feferman, S. „Turing’s Thesis”
§3. Von Neumanna hipoteza matematyki mózgu a kwestia jego mocy hiperobliczeniowej
W poszukiwaniu wyjaśnień, skąd się bierze intuicja matematyczna, naturalny jest trend, żeby szukać wytłumaczenia w fizycznych właściwościach ludzkiego mózgu, różniących go w sposób istotny od maszyny Turinga. Źródła przewagi mózgu nad maszyną jeden z nurtów tego trendu upatruje w zachodzących w mózgu efektach kwantowych. Są w tym tym nurcie tak znakomite nazwiska, jak Eugene Wigner, Freeman Dyson, David Bohm, John Eccles, czy szczególnie na tym polu aktywny Roger Penrose.
Dalece inny nurt reprezentuje Raymond Kurzweil, przekonany, że wciąż jeszcze trwająca wyższość mózgu nad maszyną bierze się z jego większej złożoności, której nie dorównuje dotąd złożoność mikroprocesorów. Ta ilościowa przewaga ma konsekwencje jakościowe. Mianowicie, procesy twórcze (jak intuicja) wymagają programowania za pomocą algorytmów tak złożonych, że dopiero ten rząd złożoności „hardware’u”, jaki mamy w mózgu, stanowi dla ich kodowania dostateczny substrat fizyczny Obie jednak odmienności zdaniem Kurzweila, mają się ku końcowi. Biorąc pod uwagę dającą się obliczyć różnicę w złożonościach mózgu i komputera, oraz stosując prawo Moore’a, da się wyliczyć, że te wielkości zrównają się w latach 40-tych naszego wieku. A co do wyposażenia nośnika fizycznego w odpowiednie algorytmy, to je poznamy dzięki postępom nanotechnologii. Superminiaturowe czujniki przebadają mózg od wewnątrz i odczytają kod najbardziej nawet złożonych algorytmów, co pozwoli je skopiować w mózgu elektronicznym
Jeszcze inny nurt uznaje przewagę obliczania analogowego nad cyfrowym, co przy założeniu, że mózg przynajmniej po części działa analogowo, dałoby mu przewagę nad komputerem cyfrowym. Wtedy mózg Turinga nie dałby się zredukować do maszyny Turinga. Wśród wybitnych fizyków, poglądu o większej mocy obliczeniowej systemów analogowych broni Freeman Dyson min. w tekście „Is Life Analog or Digital?”
Odnotowuję te nurty dla celów porównawczych z omawianą poniżej koncepcją von Neumanna. Bierze się 0na z pewnych danych o systemie nerwowym, a zarazem z refleksji nad historią matematyki. Pozwala to na snucie przypuszczeń o genezie intuicji, czyli wyroczni. Oto inspirujący tekst z polskiego przekładu („Maszyna matematyczna i mózg ludzki”, s.92n) książki von Neumanna”The Computer and the Brain”, 1958.
„Istnieją tutaj struktury logiczne różne od tych, którymi się zazwyczaj posługujemy w logice i matematyce. […] Logika i matematyka centralnego systemu nerwowego — jeśli rozpatrujemy je jako języki — muszą strukturalnie różnić się w istotny sposób od tych języków, które są nam dane w codziennym doświadczeniu. […] Kiedy mówimy o matematyce, omawiamy, być może, język wtórny, zbudowany na języku pierwotnym, którym centralny system nerwowy posługuje się naprawdę. Zewnętrzne zatem formy naszej matematyki nie mają znaczenia absolutnego z punktu widzenia dociekań, czym jest język matematyczny lub logiczny, faktycznie używany przez centralny system nerwowy. […] Bez względu na to, jaki jest ów system, nie może on nie różnić się w wysokim stopniu od tego, co świadomie i wyraźnie uważamy za matematykę.”
Szczególnie w tym tekście znaczące jest (wypunktowane przez von Neumanna kursywą) traktowanie matematyki mózgu jako pierwotnej, tej zaś, która ukształtowała się kulturowo — jako wtórnej w stosunku do mózgowej. Wraz ze stwierdzeniem, że „język jest w znacznej mierze kwestią historycznego przypadku” (s.91), a więc również język matematyki, daje to obraz, w którym matematyka mózgu wraz z okolicznościami kulturowymi współdeterminuje naszą matematykę kulturową. Oddziaływanie tych okoliczności jest dobrze udokumentowane historycznie: wpływ potrzeb geodezyjnych i architektonicznych na geometrię egipską, prawa spadkowego (min.) na algebrę babilońską, demokracji ateńskiej (rola debaty) na logikę grecką, itd. Czynnik zaś geograficzny, łatwość komunikacji przez morze śródziemne, przyczynił się do rychłej syntezy tych pierwiastków. W każdym zaś przypadku kulturowa postać matematyki jest funkcją dwóch czynników: matematyki mózgu i środowiska kulturowego.
W tych kategoriach, intuicję matematyczną wypada pojąć jako jeden z rodzajów oddziaływania matematyki mózgu na matematykę (nazwijmy) kulturową, przy czym czynnikiem, od którego współzależy wynik oddziaływań jest czynnik kulturowy. Można sobie np. wyobrazić, że podobne intuicje teoriomnogościowe kierowały autorami teorii typów i teorii mnogości Cantora, ale każdego inaczej ukształtowała interakcja z jego akademickim środowiskiem, stąd różne postacie matematyczne ich teorii. Na tej zasadzie mamy kilka alternatywnych teorii mnogości. Gdyby nie działał w każdym przypadku czynnik intuicji, nie miałby z czym współdziałać współczynnik środowiskowy.
W tym neumannowskim ujęciu relacji między matematyką mózgu i matematyką kulturową, intuicja matematyczna wcielająca się technicznie w wyrocznię to nie jest zagadkowy czynnik wymagający wyjaśnienia. To czynnik wyjaśniający powstawanie oraz rozwój matematyki i logiki. Trzymając się turingowskiej definicji wyroczni, traktujemy ją jako czynnik nie-mechaniczny. Ale jednocześnie, mając na uwadze hipotezę von Neumanna, trzeba uznać, że zawiera się ten czynnik w matematyce mózgu, i jest integralnym współczynnikiem matematyki kulturowej z jej warstwą algorytmiczną czyli obliczeniową. Skoro coś warunkuje możliwość obliczeń algorytmicznych w matematyce kulturowej, a należy do matematyki (mózgu) i jest nie-mechaniczne, czyli nie-algorytmiczne, to trzeba to coś zaliczyć do kategorii jakby super-algorytmów, czyli hiperobliczeń. Tak więc, jeśli mówi się o algorytmach, że mają taką czy inną moc obliczeniową, to o intuicji, czyli wyroczni — definiowanej w kategoriach matematyki mózgu — trzeba powiedzieć, że dokonuje ona hiperobliczeń.
Hipoteza von Neumanna owocuje tym jeszcze, że kieruje uwagę na zagadnienie obliczeń naturalnych , ewentualnie naturalnych hiperobliczeń. Mózg należy do świata przyrody, a więc jeśli oblicza czy hiper-oblicza, to są to procesy przyrodnicze czyli naturalne. We współczesnym sporze o to, czy jest sens przypisywać przyrodzie moc obliczeniową von Neumann odpowiedziałby twierdząco, skoro przypisuje tę moc mózgowi, który niewątpliwie należy do przyrody. W zagadnienie obliczeń naturalnych zwięźle wprowadza wpis Pawła Stacewicza i następująca po nim dyskusja w blogu „Polemiki i Rozmówki”.
§4. Gödlowska hipoteza matematyki umysłu a kwestia jego mocy
hiperobliczeniowej
Zagadnienie intuicji intelektualnej jest kluczowe w rozważaniach epistemologicznych Gödla (zob. np. Wang [1996], gdzie pojawia się kilkaset razy). To one inspirowały Turinga do wprowadzenia pojęcia wyroczni (por. §1). Fundamentala rola intelektualnej intuicji na tym polega, że prowadzi nas ona do znajdowania nowych aksjomatów. Zachodzi np. coś w rodzaju dostrzegania obiektów teorii mnogości, jak widać z faktu, że jej aksjomaty nieodparcie narzucają się umysłowi jako prawdziwe. 7.0.1. We do have something like a perception also of the objects of set theory, as is seen from the fact that axioms force themselves upon us as being true. (Numeracja odcinków wg książki: Hao Wang, „A Logical Journey: From Gödel to Philosophy” MIT 1996, ost.wyd. 2016).
W odróżnieniu od umysłu, maszyna Turinga [1936-7] (bez wyroczni) jest pozbawiona zdolności dostrzegania nowych obiektów oraz ich opisu w aksjomatach. Trzy cechy, według Gödla. różnią ją od umysłu. Jedna, której przykładem jest poznawanie nowych prawd ujmowanych w aksjomaty, to (a) zdolność umysłu do nieustannego rozwoju. Inna to (b) zdolność do postrzegania granicy, ku której zmierza nieskończenie wiele kroków. Wzorcowym tego tego przykładem zdaje się być przekątniowy dowód istnienia liczb nieobliczalnych. Jego autor lub adresat przebiega wzrokiem tylko skończoną ilość wyników dostarczonych przez maszyny, ale ma świadomość, że nieskończona ilość kroków doprowadza do liczby, która się nie zawiera w nieskończonej tabeli wyników obliczonych maszynowo, a więc musi to być — w granicy –liczba nieobliczalna. (c) Jest to akt twórczy, jaki się mieści w repertuarze procedur mechanicznych. (zob. Wang, odc. 6.3.17).
Czy taki proces, jak dowodzenie istnienia liczb nieobliczalnych zalicza się do hiperobliczeń? Nie jest on mechaniczny, lecz intuicyjny, co przemawia na „tak”. Nasuwa się jednak pytanie: czy angażujący intuicję proces hiperobliczania odznacza się niezawodnością, tak jak proces obliczania, któremu gwarantuje niezawodność odpowiedni algorytm? Wang [1996, odc. 0.0.1] zauważa, jak mało znana jest w tym względzie myśl Gódla. Z faktu, że się opowiadał za platońskim racjonalizmem można by wnioskować, że podobnie jak Platon, Kartezjusz, Leibniz etc. przypisywał on intuicji intelektualnej definitywną pewność. Tymczasem, jak relacjonuje Wang, uważał on intuicję matematyczną za narażoną na pomyłki, a w zależności od przedmiotu poznania dostrzegał w matematyce różne stopnie jasności i pewności. Najwyższy przypisywał arytmetyce liczb naturalnych, niższy — teorii mnogości. Był to fallibilizm na wzór takich pragmatystów, jak np. Quine.
Jedna z własnych w tej kwestii wypowiedzi Gödla jest następująca. ” 7.1.10. Strictly speaking, we only have clear propositions about physically given sets and then only about simple examples of them”.
Nie znaczy to, że inne pojęcia skazane są na tkwienie w niejasności, Chodzi o to, żeby w wyniku odpowiednich procedur zbliżały się one do tego stanu jasności, jaki ma np. pojęcie „pięć” gdy je odnosimy do tak widzialnej struktury fizycznej, jak pięć palców. Dokonuje się to na dwóch drogach: empirycznej i algorytmicznej. Elementarna arytmetyka potwierdza się nam empirycznie w codziennych zastosowaniach, czego nie da się powiedzieć np. o teorii zbiorów nieskończonych.
Jednocześnie, pojęcia arytmetyczne zyskują na jasności dzięki aksjomatyzacji i formalizacji. Uzdatnia to formułę do tego, żeby dało się ją sprawdzić w sposób najbardziej niezawodny — mechaniczny czyli komputerowy, — dowód tej formuły lub jej negacji. Wraz z nowym tak dowiedzionym twierdzeniem o jakimś obiekcie, nabierają większej jasności dotyczące go pojęcia. Jest to droga algorytmiczna, ponieważ program dowodzący twierdzeń opiera się na odpowiednim algorytmie. Jako typowy przykład braku pewności, czy zdanie jest prawdziwe, podawał Gödel hipotezę kontinuum. Wyrażał przy tym nadzieję, że wnikliwy namysł pozwoli wzbogacić teorię mnogości o nowe aksjomaty, zdolne rozstrzygnąć o prawdziwości lub fałszywości hipotezy. To zaś powinno rozjaśnić pojęcie kontinuum.
