W kawiarniach z dawnych dobrych czasów bywało gęsto od dymu z papierosów, a w „Cafe Aleph” gęsto się zrobiło od rozważań o nieskończoności (ponad 20 komentarzy). Cieszy ta zgodność z szyldem, bo przecież Alephy, od zera w górę i w górę, to kolejne liczby pozaskończone, które oznaczają coraz to wyższe piętra zbiorów nieskończonych.
Ale taka harmonia szyldu i treści jeszcze nie znaczy, że każdemu, kto tu zajrzy łatwo się będzie „połapać” w wędrówkach pośród chmur abstrakcji. Aby te wędrówki ułatwić, zdecydowaliśmy się zamieścić krótki tekst Pawła Stacewicza ujęty w dialog — formę, do której zachęca wiekowa, poczynając od Platona, tradycja pisarstwa filozoficznego.
Wybrany przez nas tekst pochodzi z projektu „Archipelag Matematyki”, który jest realizowany w Politechnice Warszawskiej (m.in. z naszym udziałem), a ma na celu popularyzację matematyki wśród uczniów szkół średnich. Przynależy do cyklu tzw. mat-wywiadów, czyli rozmów ze zwykłymi ludźmi o pojęciach i teoriach matematycznych.
W tytule dialogu jest zawarta fraza „na chłopski rozum”, która wyjaśnia zarówno intencję autora (opowiedzieć maksymalnie prosto o niełatwych zagadnieniach matematycznych), jak i wybór rozmówcy – rolnika pracującego przy żniwach.
A zatem: to co wymyśliły rozumy naukowców, zostanie wyłożone na chłopski rozum. Czy do wszystkich rozumów trafi? Tego oczywiście nie wiemy — zapraszamy jednak wszystkich chętnych do czytania i komentowania.
Witold Marciszewski i Paweł Stacewicz.
******
Reporterka matematycznego radia MAT (znana z innych materiałów Archipelagu Matematyki) zapuszcza się tym razem na wieś, by porozmawiać o teorii mnogości. Widzimy ją tuż przy rozległym polu pszenicy, gdzie pracują maszyny: traktor i kombajn. Reporterka podchodzi do nadzorującego prace rolnika. Mówi doń głośno, a właściwie woła, przekrzykując warkocące maszyny:
– Dzień dobry! Jak tam zbiory…?
– Kiepsko. Susza.
– To niedobrze. Ale może chcielibyście Panowie porozmawiać o teorii zbiorów…?
– Że niby co? Jak teoretycznie dużo zebrać…?
– Nie. O matematycznej teorii zbiorów.
– Eee, to chyba nie… My wszyscy dawno po szkole.
– Ale Panowie, mi właśnie o to chodzi. Jestem z radia i nagrywam wywiady ze zwykłymi ludźmi o pojęciach matematycznych. Panowie mi jak najbardziej pasujecie…
– Chwila… Bo strasznie trzeba krzyczeć. Wyłączymy kombajn…
Mężczyzna daje znak koledze, by wyłączył maszynę. Gdy silnik przestaje hałasować, pyta:
– To jak Pani mówi? Że z radia?
– Tak. Matematycznego. I chcę namówić Panów na rozmowę o zbiorach.
– Czyli na czasie…
– Jak najbardziej. Choć w pewnym sensie zbiór to obiekt ponadczasowy.
– (???)
– Już wyjaśniam… Mówicie Panowie, że macie kiepskie zbiory. Dla matematyków jednak są to takie same zbiory jak wszelkie inne. Dla nich zbiór, inaczej mnogość, to każda grupa przedmiotów o wspólnej własności. Na przykład: mogliby zdefiniować i oznaczyć literką A zbiór wszystkich ziaren pszenicy o takiej a takiej wadze; ale byłby to tylko przykład, przykład czegoś, co spełnia pewne ogólne prawa.
– Noo… Konkretne to, to nie jest?
– No nie. Bo zbiór to przedmiot abstrakcyjny… Myślimy sobie o jakiejś cesze konkretnych przedmiotów, np. kulistości. I abstrahując od innych cech tych przedmiotów, powołujemy do życia inny jakby-przedmiot: zbiór rzeczy kulistych.
– Właściwie to po co, jak Pani mówi, powołujemy?
– Właściwie to dla wygody. Czyniąc coś zbiorem, czynimy to coś przedmiotem ogólnej teorii. Takiej teorii, której wyniki pozostają słuszne dla wszelkich zbiorów – również takich, które odpowiadają cesze kulistości.
– Jeśli jednak mamy się dogadać, to musimy konkretniej…
– Okay. To jakbyście Panowie policzyli, ile elementów ma dany zbiór?
– Właściwie sama Pani powiedziała: policzyli. Liczymy element po elemencie, np. ziarnko po ziarnku pszenicy, i wychodzi nam, ile jest wszystkich. Trochę to oczywiście potrwa, ale do wyniku dojdziemy.
– Czyżby? A co wtedy, gdy zbiór jest nieskończony?
– No nie… Miało być konkretnie… A tu znowu: nieskończoność. Chętnie bym zobaczył nieskończenie wielki wór pszenicy.
– Do tego spokojnie dojdziemy. Na początek jednak, pomyślcie Panowie, jak można ustalić bez liczenia – bo nie sposób przecież liczyć w nieskończoność – że dwa zbiory mają tyle samo elementów. Ni mniej, ni więcej – tylko tyle samo.
– Bez liczenia?
– Bez.
– Nie podpuszcza nas Pani?
– W żadnym wypadku. W jaki sposób, na przykład, stwierdzicie Panowie – o ile przejdziemy od zbiorów pszenicy do jej spożycia – że na dobrze zastawionym stole leży tyle samo widelców co noży.
– Tutaj akurat jest prosto. Jeśli ktoś dobrze poukładał, to obok każdego widelca musi leżeć nóż.
– Czyli każdemu widelcowi musi odpowiadać dokładnie jeden nóż?
– No tak.
– No a tak samo można zrobić zawsze. Wystarczy stwierdzić, że każdemu elementowi zbioru A odpowiada dokładnie jeden element zbioru B. Matematycy powiedzieliby: istnieje funkcja różnowartościowa przekształcająca zbiór A na zbiór B. Jeśli znamy taką funkcję, nie musimy liczyć elementów – wiemy, że jest ich tyle samo w A co w B. Czy tak?
– Niby tak. Ale skąd mamy wiedzieć, co to za funkcja? I gdzie tu nieskończoność?
– Powoli. Funkcje znajdują matematycy: są w tym równie dobrzy, jak Panowie w koszeniu. A nieskończoność pojawia się wtedy, gdy chcemy porównywać ze sobą zbiory nieskończone.
– Na przykład?
– Na przykład zbiór liczb naturalnych N (1, 2, 3 itd.) ze zbiorem liczb parzystych P (2, 4, 6 itd.). Obydwa są nieskończenie liczne, przy okazji jednak – równoliczne. A równoliczne są dlatego, że istnieje funkcja f przekształcająca zbiór N na P. Ma ona bardzo prosty wzór: f(n)=2n. Przykładowo: f(1)=2 czyli jedynce odpowiada dwójka, f(2)=4 czyli dwójce odpowiada czwórka i tak dalej.
– Czyli, według Pani, zbiory N i P są tak samo liczne…?
– Nie tyle według mnie, co według naszych zasad.
– Tak na oko jednak, to bzdura! Liczb parzystych jest dwa razy mniej niż naturalnych.
– Na oko może i bzdura. Ale nasze oko kiepsko widzi nieskończoność…
Skoro zgodziliśmy się na „nożowo-widelcową” metodę sprawdzania równoliczności, to musimy się zgodzić na równoliczność zbiorów N i P.
– W takim razie, czy nie będzie tak, że wszystkie zbiory nieskończone są tak samo liczne?
– Brawo! Wciągnęliście się Panowie w nasz abstrakcyjny temat. Ale nie. Tak nie jest! Nie wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne.
– Bo?
– Bo, na przykład, zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, czyli wszelkich możliwych liczb dziesiętnych z częścią ułamkową, np. 1.75, 2.43, liczba Pi, itd…Liczb rzeczywistych – zgodnie z naszymi zasadami – jest więcej.
– Wypada chyba uwierzyć na słowo.
– W tej chwili nie macie Panowie innego wyjścia. Bo dowód wymaga trochę większej znajomości matematyki. Ale powiem Wam, że istnieje pewna niezwykle ciekawa zasada ogólna: każdy zbiór nieskończony jest mniej liczny niż zbiór wszystkich jego podzbiorów.
– Jak to podzbiorów?
– Ano tak: bierzemy jakiś zbiór złożony z konkretnych elementów — pierwszego, drugiego, trzeciego itd. Następnie grupujemy te elementy na wszelkie możliwe sposoby, np. sam pierwszy element, pierwszy z drugim, pierwszy z trzecim itd., nazywając każdą taką grupę podzbiorem. Następnie liczymy podzbiory. Okazuje się, że zawsze będzie ich więcej niż elementów w samym zbiorze. A zatem: rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru jest bardziej liczna niż sam zbiór.
– Czyżby wynikało z tego, że istnieje nieskończenie wiele rodzajów nieskończoności?
– Bo?
– Bo wydaje mi się, że możemy w nieskończoność tworzyć zbiory wszystkich podzbiorów. Najpierw rodzinę podzbiorów zbioru A, powiedzmy AA. Ma ona więcej elementów niż A. Potem rodzinę podzbiorów zbioru AA, powiedzmy AAA. Ma ona więcej elementów niż AA. I tak w nieskończoność.
– Gratulacje! Brawo! Spostrzegł Pan coś, co twórca teorii zbiorów, George Cantor, określił obrazowo jako otchłań nieskończoności. Nie przeraża to Pana?
– Czy ja wiem? Raczej niestrachliwe ze mnie chłopisko. A poza tym nasze „chłopskie” zbiory były i będą skończone.
– To fakt. A nasz wywiad także ma skończony czas. Krótko mówiąc: musimy kończyć. Dziękuję bardzo za rozmowę.
– Dziękujemy i my.
„Cóż to miałoby znaczyć bowiem, że jedną z granic NIESKOŃCZONEGO (kolęda mówi o granicach, a nie o jednej granicy) jest ZERO? Czy na przykład nie to, że będący dziełem i/lub manifestacją NIESKOŃCZONEGO świat materialny dzieli się w nieskończoność na coraz mniejsze cząstki, zbiegające granicznie – ale tylko granicznie – do rozmiarów zerowych? Czy nie wynikałoby z tego zatem, że materię cechuje nieskończona podzielność – cecha raczej tajemnicza i przez naukę chyba nierozstrzygalna…?”
Mój do tego komentarza komentarz ma dwa punkty: pewne precedensy w filozofii nowożytnej (§3) i współczesna fizyka o strukturalnej nieskończoności wszechświata (§4).
§3. Teologiczna motywacja tezy o nieskończoności fizycznego wszechświata pojawiła się u wybitnego platonika kardynała Mikołaja z Kuzy (1401-64) jako idea, że twór Nieskończonego Stwórcy powinien być nieskończony, nie jest jedna jasne, czy Kuzańczyk miał na uwadze nieskończony zbiór obiektów, czy jedynie nieskończoność czasu i przestrzeni.
Nie ma natomiast wątpliwości, że nieskończenie wiele obiektów mieścił wszechświat w tej niezwykle śmiałej wizji, którą głosił Giordano Bruno (1548-1600). Obejmował ów kosmos nieskończenie wiele słońc, planet i księżyców, w tym nieskończenie wiele planet zamieszkałych przez istoty rozumne. Wszechświat ten, nieograniczony od góry, był jednak ograniczony od dołu, podobnie jak pojmował to atomizm: podział materii kończy się na elementach niepodzielnych, tak małych, że mniejsze od nich nie istnieją . Argument na rzecz tej wizji miał podobny charakter religijny jak u Mikołaja z Kuzy: gdyby wszechświat nie był nieskończony, przeczyłoby to naturze i godności Stwórcy.
Jak widać, obaj myśliciele obdarzali swe wizje nieskończoności wszechświata nie tylko wiarą, lecz także uczuciami podziwu, entuzjazmu, wielkiej aprobaty jak dla czegoś pożądanego. Nie będzie więc przesadą określić ich postawę jako AMOR INFINITI. Postawa ta przybiera postać jeszcze wyrazistszą oraz, co ważne, bardziej dopracowaną myślowo u Gottfrieda Wilhelma Leibniza (1646-1716).
Leibniz nie idzie w swej wizji tropami atomistów czy Bruna, gdzie nie było miejsca na nieskończoną podzielność „w dół”. A właśnie taka idącą w głąb jest dla jego myśli zasadnicza, podobnie jak była dla Anaksagorasa. Jest ona dalece bardziej określona niż u antycznego prekursora. Wiadomo, że nie polega na czymś takim, jak geometryczne dzielenie przestrzeni na coraz mniejsze segmenty będące jednorodnymi zbiorami punktów. U Leibniza jest to nieskończona złożoność o charakterze strukturalnym.
Dobre wyobrażenie o takim strukturalnym uporządkowaniu daje dziś fizyka. Nie koniecznie podziela się w niej leibnizjański infinityzm (podpisują się pod nim tylko niektórzy),. Istotne jednak jest to, że wyróżnia się struktury takie jak molekuły, zawierające w sobie struktury z głębszego poziomu (atomy), a w nich struktury jeszcze mniejsze i głębsze, jak protony składające się, z kolei, z kwarków. Szczególnie bliskie byłoby Leibnizowi w naszych czasach śmiałe wyobrażenie Richarda Feynmana, w którym taki system pojmuje się jako sieć mikroskopijnych komputerów obejmującą swym zasięgiem kosmiczne uniwersum. Owe komputery to punkty w przestrzeni obdarzone pamięcią ogarniającą wszystkie pola i cząstki, oraz urządzeniami wejścia i wyjścia, które go łączą z innymi punktami.
Zmodyfikujmy tylko obraz tak, że owe mini-elementy pojmiemy na wzór organizmów, a ponadto tak, że posuwanie się „w dół”, ku coraz głębszym poziomom złożoności, będzie tworzć ciąg nieskończony (to drugie jak w hipotezie Stanisława Ulama, zob. §4), a dotrzemy do samej osnowy „Monadologii” (1714) Leibniza. Oto jej zapis. Ciało organiczne jest czymś w rodzaju maszyny Boskiej, czyli automatu naturalnego, przewyższającego nieskończenie automaty sztuczne. […] Maszyny natury są maszynami w swych najdrobniejszych częściach, aż po nieskończoność (odcinek 64). Pojmowanie tych automatów jako organizmów nie musi znaczyć, że przypisuje się im ścięgna, żyły itd. Bardzo w porę okazuje się tu szerokie i abstrakcyjne pojmowanie życia jako procesu przetwarzania informacji, jakie znajdujemy dziś u sporej liczby autorów (Aaron Sloman, Freeman Dyson etc.). Nic nie przeszkadza, by interpretować w ten nowoczesny sposób ideę organizmu u Leibniza.
Nie kończąca się podzielność ciał na struktury coraz głębszego poziomu to istotny rys infinityzmu Leibniza. Świadczy o tym jego uporczywa polemika z atomizmem i częste sformułowania w rodzaju następujących. Nie istnieje atom, a co więcej, żadne ciało nie jest tak drobne, żeby nie mogło być aktualnie podzielne. („Prawdy pierwotne metafizyki”, s.92). Materia jest aktualnie podzielna w nieskończoność, tak że najmniejsza cząsteczka mieści w sobie nieskończony świat stworzeń. („Nowy system […], s.165; numery stron — wg wyboru pism Leibniza pod red. S.Cichowicza pt. „Wyznanie wiary filozofa”, PWN 1969). Jak ma się ten rodzaj infinityzmu do poglądów panujących obecnie w fizyce? Poświęćmy tej sprawie, przynajmniej wyrywkowo, chwilę uwagi.
§4. Stanisław Ulam był nie tylko luminarzem polskiej i światowej matematyki; miał też zainteresowania i kompetencje związane z fizyką ze względu na udział w amerykańskich badaniach nad energią jądrową w Los Alamos. W jego autobiografii „Przygody matematyka” (1991, oryginał ang. 1983) napotykamy refleksje żywo pobudzające do myślenia o stosunku matematyki i fizyki i o strukturze rzeczywistości. Oto jedna z nich, mająca w sobie coś z ducha „Monadologii”.
Pierwszym pytaniem fizyki jest to, czy istnieje prawdziwa nieskończoność struktur o coraz mniejszych i mniejszych rozmiarach. Jeśli tak, to matematycy mogliby zastanowić się nad tym, czy czas i przestrzeń nie zmieniają się, może nawet pod względem topologicznym, gdy przechodzimy do coraz mniejszych obszarów. W fizyce istnieją podstawy atomistyczne albo oparte na teorii pola. Jeśli rzeczywistość koniec końców ma charakter polowy, to punkty są prawdziwymi punktami matematycznymi i są nierozróżnialne. Istnieje też możliwość, że w rzeczywistości mamy do czynienia z osobliwą strukturą o nieskończenie wielu poziomach, a każdy z nich ma inną naturę. Jest to nie tylko zagadka filozoficzna, ale i fascynująca, coraz bardziej fizyczna wizja. (s.324).
Dowiedziawszy się, co w kwestii niekończonej złożoności sądził Ulam, zwróćmy się z pytaniem do takiego aktualnego autorytetu fizyki i kosmologii, jakim jest Stephen Hawking. W swej książce „A Brief History of Time” (1992) dopuszcza on tę teoretyczną ewentualność, że w miarę stosowania coraz wyższych energii odkrywałoby się coraz mniejsze i mniejsze cząstki, ale stajemy tu przed niepokonalnym progiem eksperymentowania, bo nie da się uzyskiwać bez końca coraz wyższych i wyższych energii. Oto co na ten temat czytamy (s.66, rozdz. „Elementary particles […]”. Particles that were thought to be „elementary” twenty years ago are, in fact, made up of smaller particles. May these, as we go to still higher energies, in turn be found to be made from still smaller particles? This is certainly possible […]. Dalej wyraża Hawking pogląd, że zapewne zbliżamy sie do odkrycia ostatecznych cegiełek przyrody; tu jednak mamy już do czynienia z pewną supozycją filozoficzną, a więc o podobnym statusie, jak supozycja wcześniej przez Hawkinga wyrażona, ukonkretniająca wizje takie jak Ulama przez wskazanie warunków weryfikacji doświadczalnej.
To była wiadomość z pierwszej ręki, od koryfeusza współczesnej fizyki. Sięgnijmy z kolei do pewnego ujęcia popularyzatorskiego, gdzie autor nie tyle mówi od siebie, co podsumowuje aktualny stan badań. W książce „Chaos. Making a New Science” znakomity popularyzator James Gleick pisze, co następuje. For modern particle physicists, the process [of entering ever new scales] has never ended. Every new accelerator, with its increase in energy and speed, extends science’s field of view to tinier particles and briefer time scales, and every extension seems to bring new information. (s.115, rozdz. „A Geometry of Nature”).
W tymże nurcie znajduje się wzmiankowany wcześniej (§3) pogląd Richarda Feynmana. Przytacza go inny głośny fizyk kwantowy Basil Hiley, zwolennik interepretacji kwantów związanej z nazwiskiem Davida Bohma, w wywiadzie zamieszczonym w książce: P.C.W. Davies i J.R. Brown „Duch w atomie […]” (1996; oryg. „The Ghost in the Atom: a discussion of the mysteries of quantum physics”, 1986). Hiley nie idzie tak daleko jak Feynman, by przypisywać funkcję komputera każdemu punktowi w przestrzeni, wysuwa jedynie przypuszczenie, że tak zachowuje się elektron. Wobec faktu, że komputer musi być obiektem posiadającym jakąś strukturę, w obecnym zaś stanie fizyki nie mamy danych, by mu jakąkolwiek strukturę przypisywać (inaczej niż w przypadku np. protonu), Hiley argumentuje, że rozmiary elektronu, choć niewyobrażalnie małe, nie są aż tak małe, żeby wykluczać złożoność, choć nie mamy obecnie środków, by taką złożoność wykryć (s.163; w tej argumentacji Hiley powołuje się na pewne wyliczenia prowadzone w teorii kwantów).
Co w przypuszczeniach Hileya jest uderzające, to analogia z myśleniem Leibniza w kwestii mikroskopijnych ciał o naturze maszyn, zwanych też przezeń automatami; oczywiście, maszyn do przetwarzania informacji, bo zaliczanych przez Leibniza, do tej samej kategorii, co umysły. Nawet gdy nie są owe ciała obdarzone świadomością, to ich z kategorii maszyn informacyjnych nie wyklucza, gdy stoi się na gruncie leibnizjańskiego prawa ciągłości: zdolność przetwarzania informacji jest stopniowalna, a jestestwa świadome cieszą się nią w najwyższym stopniu (jest to więc kwestia stopnia, a nie inności zasadniczej).
§5. Naszkicowany przegląd nurtów infinityzmu, choć wyrywkowy, prowadzi do następującego pytania.Czy intuicja filozoficzna, będąc źródłem poglądów nie dających się dowieść ani dedukcyjnie ani doświadczalnie, legitymujących się natomiast pewną myślową elegancją, może mieć znaczący wpływ na postęp wiedzy? Tylko wtedy, gdy dzieje nauki dostarczą na to odpowiedzi twierdzącej , jest sens pytać o wartość poznawczą filozoficznej intuicji nieskończoności.
Trzeba tu zauważyć, że ów rys elegancji myślowej, choć tak słabo intersubiektywny, jak mało która inna cecha teorii, odgrywa w dziejach nauki wybitną rolę heurystyczną, na co mamy obfitą dokumentację w wypowiedziach Poincare’go, Einsteina, Heisenberga i innych luminarzy. Z tego względu pozwoliłem sobie w tytule na retorykę zwrotu „Amor infiniti”. Nie tylko na prawach opozycji do już funkcjonującego „Horror Infiniti”, lecz także z tej racji pozytywnej, że elegancja oznacza urok wywołujący co najmniej sympatię, a ta w miarę jak się potęguje osiąga stadium uczuć dalece mocniejszych. Zwierzenia na temat moich własnych w tej materii uczuć poczynię na samym końcu rozważań.
Istnienie takich intuicji oraz to, jak znaczący bywa ich wpływ na treść fizyki, jest w historii nauki bogato udokumentowane. Przykład podręcznikowy to inspirowanie się fizyki w jej nowożytnych początkach ideami starożytnego atomizmu z jego tendencją mechanicystyczną. Neoplatońska metafizyka światła inspirowała w średniowieczu optykę, a ta z kolei u Newtona wpisała się w paradygmat atomizmu. Zdarzały się też przypadki, gdy intuicja filozoficzna prowadziła uczonych błędnym tropem. Leibniz, kierując się filozoficzną intuicją o niemożliwości oddziaływań na odległość, krytykował teorię grawitacji. Einstein zmodyfikował swą pierwszą wersję ogólnej teorii względności pod wpływem przekonania o niezmienności wszechświata (co wykluczało ewolucję). Przykłady można by długo mnożyć, ale zatrzymajmy się przy tych dwóch, przy — pomyłce Leibniza i pomyłce Einsteina — żeby zwrócić uwagę na zawodność filozoficznych intuicji, co zdarza się i wtedy, gdy kierują się nimi tytani myśli. Mamy więc niebagatelne przykłady negatywne, gdy intuicja metafizyczna okazuje się być dla fizyki hamulcem, a nie napędem.
Takie doświadczenie zawodności demitologizuje intuicję jako ostatecznego i nieomylnego arbitra, którą to rolę przypisywał jej Kartezjusz, a także na swój sposób Kant (jeśliby zawierzyć intuicji przestrzeni uznanej przezeń za ostateczną, nie doszłoby do powstania geometrii nieeuklidesowych). Nie pozbawia to jej jednak obywatelstwa w dziedzinie ludzkich zdolności poznawczych, a tylko zrównuje w prawach z innymi typami poznania, jak zmysłowe, z którego nie myślimy rezygnować, choć nieraz nas łudzi, czy zdolność rozumowania, której nie odmawiamy skuteczności, choć czasem błądzi. W tym kontekście przypomina się wyważone stwierdzenia Alana Turinga. Działanie intuicji polega na wydawaniu spontanicznych sądów, które nie są rezultatem świadomych toków rozumowania. Sądy te są często, ale bynajmniej nie zawsze, słuszne. („Systems of Logic Based on Ordinals” („Proc. London Math. Soc.” 1939, ser. 2, 45 ).
Tak realistyczne pojmowanie intuicji — jako aktywności poznawczej owocnej i nieodzownej, ale nie wolnej od ryzyka, ustawia w należytej perspektywie intuicję filozoficzną. W tym także tę, która stawia czoła problemowi nieskończoności. Filozof nie musi się tłumaczyć z faktu kierowania się taką czy inną intuicją, skoro nie kryją się z tym matematycy. A świadomość ryzyka błędu (po wyzwoleniu się z kartezjańskiego „triumfalizmu”), podzielana z kolegami z innych branż, uwalnia go od podejrzenia o naiwność, gdy daje się on prowadzić, lecz nie bezkrytycznie, swoim intuicjom.
Intuicja filozoficzna nie jest jedynie wewnętrzną sprawą filozofów. Powstające za jej sprawą obrazy świata potrzebne są innym naukom, w szczególności fizyce. Oto jak o tym mówi jednej z najwybitniejszych fizyków kwantowych XX wieku, nawiązujący do idei filozoficznych Einsteina, David Bohm, w rozmowie zamieszczone książce Daviesa i Browna (wspominam ją wyżej, w §4). Pomysły naprawdę fundamentalnych nowych eksperymentów biorą się z rozważań filozoficznych. […] Nauka wymaga wielu elementów. Wymaga koncepcji ideowej, która wyprzedza doświadczenie. Jeśli wykluczy pan filozofię, ostatecznie wykluczy pan również te elementy. […] W dalszym toku rozmówca Bohma przypomina, że w matematyce do oceny teorii służy znacząco kryterium elegancji, na co Bohm odpowiada. Jeśli godzi się pan na elegancję matematyczną, dlaczego nie na elegancję pojęć [filozoficznych]? Każdy fizyk milcząco przyjmuje jakąś filozofię, ale filozofia powszechnie dziś przyjmowana jest wyjątkowo nieelegancka. (s.157n).