Około dwóch miesięcy temu wprowadziłem do blogu – trochę na próbę, a trochę dla zabawy – nowy jakby gatunek tekstów typu „o rzeczach trudnych – na chłopski rozum”. Na dobry początek zamieściłem dialog z rolnikiem, którego chłopski rozum wniknął całkiem dobrze w niełatwy temat nieskończoności zbiorów. Żywa reakcja na tamten tekst (około 20 burzliwych miejscami komentarzy) zachęciła mnie do kontynuacji…
W kolejnym dialogu chłopa zastąpił księgowy, a zbiory ustąpiły miejsca liczbom. Konwencja jednak pozostała ta sama: rozmówca matematycznej reporterki nie za bardzo „wyznaje się” na dyskutowanym pojęciu, stopniowo jednak oswaja się z nim i próbuje przymierzyć doń swą nie-matematyczną intuicję.
W zamierzeniu autora ma to być wstęp do dyskusji z czytelnikiem, który być może zechce dowiedzieć się czegoś więcej, a być może też, dysponując większą od autora wiedzą, pewne jego wyjaśnienia skoryguje lub uzupełni…
Zapraszam do lektury – Paweł Stacewicz.
******
Z KSIĘGOWYM O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH
(czyli o tym, czego nie mogą policzyć komputery)
W niewielkim pomieszczeniu biurowym pracuje przy komputerze młody mężczyzna. Przypatruje mu się stojąca w drzwiach młoda dziewczyna z charakterystyczną reporterską torbą na ramieniu. Gdy mężczyzna przerywa pisanie na komputerze, odzywa się doń.
– Dzień dobry. Przypatruję się Panu od dłuższej chwili i widzę, że Pan ostro liczy…
– Taka praca. A Pani, przepraszam, do kogo? Była Pani umówiona?
– A i owszem. Chyba nawet z Panem: 17.30, wywiad z księgowym o liczbach.
– Oj, faktycznie. Bardzo Panią przepraszam. Za chwilkę będę gotowy…
Odwraca się do komputera. Wpisuje pospiesznie ostatnie dane, zamyka laptop i mówi:
– W porządku, możemy zaczynać.
– W takim razie, raz jeszcze dzień dobry. Wyjaśnię na początek, że wywiad nasz ukaże się na antenie radia edukacyjnego MAT, a ma traktować o liczbach nieobliczalnych.
– Pamiętam, pamiętam… I przyznam się, że temat ten nadal brzmi dla mnie dość frapująco.
– Domyślam się, że to nie liczby Pana frapują, lecz ich ewentualna nieobliczalność?
– No tak! Na mój zdrowy księgowy rozum liczba to coś, co można obliczyć. Nie zawsze samemu, częściej za pomocą kalkulatora lub komputera, ale zawsze jakoś można…
– A z jakimi liczbami ma Pan w swoim księgowym fachu do czynienia?
– No cóż. Ze zwykłymi raczej. Przed chwilą, na przykład, sumowałem w Excelu liczby czterocyfrowe z dwoma miejscami po przecinku.
– Ale nie były to liczby naturalne?
– No nie. O ile dobrze pamiętam, liczby naturalne to 1, 2, 3, 4 itd., zawsze o jeden więcej. Bez żadnych miejsc po przecinku. Takie jakby najprostsze liczby całkowite.
– To się oczywiście zgadza. A te Pańskie „zwykłe liczby z Excela” są, rzecz jasna, bardziej skomplikowane. Jakbyśmy je nazwali?
– Czy ja wiem? Ułamki? … Liczby dziesiętne z częścią ułamkową?…
Wymierne chyba. Tak: wymierne.
– No tak. Przypomnę słuchaczom, że jakkolwiek liczby wymierne można przedstawiać w postaci dziesiętnej (np. 7/4 to 1.75), to definiuje się je jako liczby postaci „m dzielone przez n”, gdzie zarówno m, jak i n, należą do liczb całkowitych.
A teraz pytanie do Pana: czy według Pana prócz wielkości wymiernych istnieją inne jeszcze rodzaje liczb?
– No tak! Są jeszcze liczby niewymierne.
– Może jakiś przykład?
– Jasne. Na przykład Pi, czyli 3 i 14 setnych.
– A dalej?
– No właśnie. Dalej to, po pierwsze, nie pamiętam, a po drugie, pamiętam, że nie ma żadnej reguły, która pozwalałaby wypisywać kolejne cyfry.
– Dobrze Pan to ujął. Właśnie ów brak reguły powoduje, że Pi jest liczbą niewymierną, czyli taką, której nie da się przedstawić w postaci m/n.
– Aaaha. Czyli to tu pojawia się nieobliczalność … Prawdę mówiąc, trochę się rozczarowałem.
– Niech Pan się nie denerwuje. To jeszcze nie TO…
– Jak to: nie TO?
– TO jeszcze nie jest liczba nieobliczalna. Liczba Pi, a razem z nią wiele innych wielkości niewymiernych (choćby pierwiastek z dwóch) ma tę własność, że da się ją obliczyć z dowolną zadaną dokładnością.
– Tutaj się ciutkę pogubiłem. W jaki sposób można ją obliczyć z dowolną zadaną dokładnością, skoro nie znamy reguły generowania kolejnych cyfr jej rozwinięcia dziesiętnego?
– W pewnym sensie regułę znamy. Ale jest ona dana w sposób dość skomplikowany, za pomocą nieskończonego szeregu liczbowego, którego granicą jest właśnie liczba Pi. Ten szereg to jakby nieskończona suma liczb, które określamy jednolitym wzorem.
– Rozumiem. Mamy ten wzór i mamy regułę sumowania. A to wystarczy, by naszą liczbę obliczać coraz dokładniej…
– Dokładnie tak jest. A im więcej sumujemy kolejnych liczb ( tak naprawdę są to wyrazy pewnego ciągu), tym większą zyskujemy dokładność.
– Konkludując: Pi jest liczbą niewymierną, choć obliczalną.
– Powiedział Pan jak matematyk.
– Bo rzecz mnie wciąga. Domyślam się, że istnieją jakieś specjalne liczby niewymierne, których nie sposób obliczyć na podobieństwo Pi…
– Tak jest. Ich istnienie udowodnił w XX wieku Alan Turing – jeden z pierwszych i najlepszych podówczas specjalistów od maszyn liczących.
– Podał jakiś przykład?
– Nie. Lecz wykazał ściśle, że założenie o istnieniu liczb wyłącznie obliczalnych prowadzi do logicznej sprzeczności. Tym samym stało się jasne, że muszą istnieć nieuchwytne dla maszyn rodzaje liczb niewymiernych. A co więcej: musi być ich nieskończenie wiele.
– Powiedziała Pani: „nieuchwytne dla maszyn”. Ale jakich?
– Cyfrowych. Dowód Turinga dotyczy maszyn cyfrowych, a konkretniej wszelkich możliwych algorytmów, które mogą być wykonane na wszelkich możliwych maszynach cyfrowych. Powtórzę jeszcze raz: wszelkich. Tych, które już skonstruowano, i tych, które dopiero zostaną wynalezione.
– Teoretycznie zatem: istnieją jakieś problemy, np. z dziedziny księgowości, którym ani mój laptop, ani żaden inny komputer cyfrowy, po prostu nie poradzi. Byłyby to takie problemy, których rozwiązaniami są liczby nieobliczalne.
– Tak. Tak wynika z matematycznych rozumowań Turinga. Liczby nieobliczalne są w pewnym sensie równoważne problemom nierozwiązywalnym przez maszyny cyfrowe. No i tutaj właśnie, w dziedzinie problemów a nie samych liczb, podał Turing sugestywny przykład.
– ???
– Mówiąc z grubsza, postawił problem napisania algorytmu, który sprawdzałby, dla jakich danych inne algorytmy kończą pracę, a dla jakich się zapętlają. Okazało się, że jest to zadanie niewykonalne – innymi słowy, nieobliczalne. Potem zaś odkryto takich zadań więcej.
– Smutne…
– Czy ja wiem? Może nawet krzepiące. Być może ludzki umysł w tym właśnie przewyższa komputery, że potrafi dostrzegać i rozwiązywać problemy nieobliczalne?
– Hmm. Muszę nad tym pomyśleć. Bo filozoficznie rzecz biorąc, jeśli Pani pozwoli, owo intrygujące „umysłowe być-może” jest, być może, kolejnym nieuchwytnym dla maszyn problemem nieobliczalnym. To znaczy: trudno mi sobie wyobrazić, aby jakiś komputer potrafił Pani pytanie rozstrzygnąć?
– Hmm. Tym razem to i ja chyba, i słuchacze, będziemy to musieli przemyśleć. Tymczasem pora kończyć. Dziękuję pięknie za wywiad i filozoficzne zakończenie.
*******
Powyższy tekst pochodzi z materiałów projektu o nazwie „Archipelag Matematyki”, który jest realizowany (z moim udziałem) w Politechnice Warszawskiej. Gdyby ktoś poczuł się mocno zainspirowany i/lub zainteresowany, to mam dla niego inny tekst autorstwa G. Chaitina, odkrywcy pierwszej liczby nieobliczalnej. Artykuł Chaitina jest napisany bardzo przejrzyście i lekko; poprzedza go ciekawa przedmowa Józefa Dębowskiego.
Zapraszam do dyskusji poniżej – Paweł Stacewicz.