Ajdukiewicz alternatywny: pragmatysta i platonik

Opublikowano 4 maja 2013, autor: Witold Marciszewski

Poniższy tekst jest streszczeniem odczytu zgłoszonego na konferencję w 50-lecie śmierci Kazimierza Ajdukiewicza organizowaną przez Uniwersytet Warszawski w dniach 17-18 czerwca 2013 pt. Kazimierz Ajdukiewicz. Empiryzm i Konwencjonalizm.  Autor będzie bardzo wdzięczny za komentarze krytyczne pod tym tekstem, licząc, że przyczynią się one znacząco do ulepszenia odczytu przed jego wygłoszeniem.

Ajdukiewicz „standardowy”,  jakim się go najczęściej przedstawia, to myśliciel, który przeszedł ewolucję od radykalnego konwencjonalizmu do empiryzmu.   W proponowanym  przeze mnie  ujęciu alternatywnym, ewolucja prowadzi do empiryzmu ale typu pragmatycznego, pokrewnego stanowisku Quine’a, z jednoczesnym (inaczej niż u Quine’a) elementem platonizmu.  Na pytanie,  jak można oba te nurty godzić, spróbuję odpowiedzieć hipotezą inspirowaną przez rozmowy Hao Wanga z Gödlem (książka Wanga „From Gödel to Philosophy”).

Co się tyczy empirystycznego pragmatyzmu Ajdukiewicza, wykorzystuję w odczycie jego ustne wypowiedzi w rozmowach z okresu współpracy w 1962/63  w roli wykonawcy w kierowanym przezeń projekcie badawczym Zakładu Logiki IFiS PAN  „Metodologia nauk  empirycznych”.    Zaś wśród  publikacji dostrzegalnym wyrazem jego pragmatyzmu   jest m.in. artykuł „”Logika a doświadczenie” (1947), gdzie czytamy, że  twierdzenia logiki są metodologicznie pokrewne twierdzeniom nauk przyrodniczych.  Co różni jedne od drugich, to różny stopień zależności od doświadczenia, nie zaś pełna zależność w jednym przypadku, a pełna niezależność w drugim. A taka wizja stopniowalności to idea Quine’a w jego manifeście pragmatyzmu „Two dogmas of empiricism”.

Orientacja platońska rysuje się w studium „Trzy pojęcia definicji” (1958), gdzie Ajdukiewicz pełne obywatelstwo w nauce przyznaje definicjom realnym (a nie tylko nominalnym, jak np. Kotarbiński), świadom, że są to definicje powszechników w sensie platońskim. Świadom także (przewidując zarzuty),  iż „są ludzie, dla których wszystko, co trąci idealizmem platońskim jest czerwoną płachtą”. Widać z  tego kontekstu, że  siebie do takich nie zalicza.

Jak można godzić empiryzm,  pragmatyzm i platonizm? Kierunek wskazuje Gödel,  dystansując się od poglądu, jakoby wszystkie twierdzenia matematyki cieszyły się  tym samym, najwyższym, stopniem konieczności.  Dostrzega on,  jak Quine, różnice zależne od stopnia odległości od doświadczenia: szczególnie duży stopień np. w hipotezie continuum, a minimalny w przypadku elementarnych twierdzeń o liczbach naturalnych. Te drugie sprawdzają się wciąż doświadczalnie w praktyce obliczeniowej, co przemawia na rzecz ich konieczności, a że dotyczą obiektów nie-fizycznych i nie-psychicznych, świadczą o realności świata platońskiego.

Zaszufladkowano do kategorii Epistemologia i ontologia, Światopogląd racjonalistyczny | Dodaj komentarz

O informatycznym i ogólnym pojęciu informacji

Opublikowano 21 kwietnia 2013, autor: Paweł Stacewicz

Niniejszym wpisem chciałbym zachęcić uczestników MiNI-spotkań do uważnego przeczytania dwóch tekstów, które znajdują się w zbiorze lektur pomocniczych do wykładu (oczywiście polecam je również innym czytelnikom blogu).

Są to następujące teksty:

O pojęciu informacji – w tym tekście znajdziemy fikcyjną dyskusję między kilkoma naukowcami, którzy prezentują właściwe swoim specjalnościom sposoby rozumienia terminu „informacja”.
Informacja, algorytm, automat – w tym tekście znajdziemy w miarę systematyczne omówienie pojęcia danych (a więc informacji w kontekście informatycznym) na tle dwóch innych, kluczowych pojęć informatyki, tj. algorytmu i automatu.

Ciekaw jestem Państwa spostrzeżeń, uwag i polemik. Mogą one   stanowić rozwinięcie – czy też po prostu przedłużenie –  dyskusji zainicjowanej w tekście pierwszym.
Na dobry początek zamieszczam niżej początkowy fragment tego tekstu.

 ******

… Cała trudność polega więc na tym, że ogólne pojęcie informacji –  będące obiektem językowym i kulturowym zarazem – trzeba dopiero wyabstrahować z rozmaitych dziedzin i kontekstów, w obrębie których bywa używane. A są to konteksty i dziedziny bardzo różnorodne; ich naukowy horyzont rozciąga się od fizyki i biologii, przez informatykę i cybernetykę, aż do metodologii nauk i filozofii.

Wydawać by się mogło, że tak szeroki badawczy front powinien dawno już zakończyć pojęciowy bój o informację. Dzieje się jednak wręcz przeciwnie. Badania nad informacją są tak rozproszone i tak wyspecjalizowane, że niezmiernie trudno wyodrębnić z nich poszczególne wymiary informacji, a jeszcze trudniej ogarnąć obraz całości. Bój zatem trwa,  a razem z nim toczy się dyskusja angażująca przedstawicieli różnych nauk.

Skoro wspomnieliśmy o trudnościach, a zaraz potem o koniecznej do ich pokonania dyskusji, to przekujmy słowa w czyn i zorganizujmy już tutaj, na kartach niniejszego eseju, roboczy panel w gronie specjalistów. Przywołajmy uczestników zwięzłym hasłem przewodnim „Czym jest informacja?” oraz dodatkowym zaleceniem, by starali się mówić językiem zrozumiałym dla ogółu. Otwórzmy dyskusję głosem Językoznawcy:

 – Szanowni Państwo! – zwraca się do wszystkich pierwszy dyskutant – Proponuję zacząć od spraw językowych, które nie są być może pasjonujące (zwłaszcza dla praktyków), mogą jednak wnieść do naszej rozmowy pewien porządek. Otóż termin „informacja” – brzmiący podobnie w wielu językach europejskich – wywodzi się od  łacińskiego czasownika „informare”, który oznacza, po pierwsze, czynność kształtowania czy też nadawania formy, a po drugie, czynność wyobrażania sobie lub przedstawiania czegoś. Łącząc te dwa znaczenia w jednym syntetycznym określeniu, można stwierdzić, że „informacją jest przedstawienie czegoś w określonej formie, którą ktoś owemu przedstawieniu nadał”.

Chciałbym zwrócić uwagę na związek informacji z pojęciem formy (nawiasem mówiąc, termin „forma” zawiera się w terminie „in-forma-cja”). Otóż informujemy, gdy nadajemy czemuś pewien kształt czyli formę. Wytwarzamy informację, gdy łączymy składniki w złożoną strukturę; najlepiej taką, która kryje w sobie pewien sens. Dam prosty, wręcz dziecinnie prosty,  przykład. Kiedy dzieci bawią się w podchody, grupa podchodzona (tj. ukrywająca się) układa na ziemi strzałki złożone z trzech patyków, to znaczy łączy te patyki w bardziej złożoną całość, która dla drugiej grupy (podchodzącej czyli poszukiwawczej) ma określony sens; wskazuje bowiem kierunek dalszych poszukiwań.

 – Otóż to! – odzywa się z kolei Specjalista od Komunikacji – Informacją trzeba nazwać, przynajmniej z mojego punktu widzenia, treść pewnego przekazu. Wyobraźmy sobie, że osoba A wysyła do osoby B wiadomość e-mail z zaproszeniem na urodziny. Do wiadomości dołącza mapkę dojazdową (obrazek) i ustne objaśnienia (plik dźwiękowy). Osoba A informuje w ten sposób osobę  B o imprezie urodzinowej (jej miejscu, czasie, trasie dojazdu itp.). Przekazywana przez nią informacja ma nadto trojaką formę: tekstową, graficzną i dźwiękową. I tym właśnie jest dla mnie informacja:  treścią przekazu o takiej czy innej formie…

 – Ale zaraz, zaraz – przerywa Metodolog – Nie może Pan nazwać informacją treści przekazu, która nie wzbogaca wiedzy odbiorcy. Przekazywana treść staje się informacją pod warunkiem, że dostarcza komuś nowej wiedzy lub wzmacnia jego przekonanie co do wiedzy już posiadanej (dostarczając jakichś nowych uzasadnień). Na przykład: jeśli ktoś mówi do mnie tyko po to, by pobudzić mnie emocjonalnie, chociażby rozśmieszyć, nie przekazuje informacji.

 – Przyznam się, że nie do końca mnie to przekonuje – wtrąca Filozof – Wydaje mi się, że informacją trzeba nazwać każdą treść przekazu, niezależnie od tego, jakie skutki wywołuje u odbiorcy. Proponuję przyjąć, że jedne informacje oddziałują poznawczo, inne emocjonalnie, jeszcze inne motywująco; pełnią po prostu różne funkcje, zależnie od tego, na jaki ich aspekt zwraca uwagę odbiorca. Jedno jednak jest pewne i tu zgadzam się po części z panem Metodologiem: informację należy odróżnić od wiedzy. Nawet informacja interpretowana poznawczo nie zawsze jest wiedzą, ponieważ tej ostatniej musi przysługiwać cecha dobrego uzasadnienia lub prawdziwości. Informacja staje się wiedzą dopiero wtedy, gdy ją częściowo choćby zweryfikujemy.

Ciag dalszy – w anonsowanym wyżej tekście…

*****

Zaszufladkowano do kategorii Bez kategorii, Dydaktyka logiki i filozofii, Filozofia informatyki, Światopogląd informatyczny | 25 komentarzy

Polemika wokół wizji Oświecenia

Opublikowano 9 kwietnia 2013, autor: Recenzent X

OD REDAKCJI „Polemik i Rozmówek”

Dyskusja  dotyczy artykułu Witolda Marciszewskiego pt. „Oświecenie czyli trend ku nowoczesności w wieku XVIII i współcześnie”  zamieszczonego w Czytelni Cafe Aleph pod sygnaturą A4:8.  

Poważnym mankamentem artykułu jest przedstawianie zalet idei oświeceniowych  bez rozpatrzenia narzucających się wątpliwości. Tytułem przykładu podam kilka takich narzucających się mi wątpliwości, które mogłyby zostać podniesione w polemice.

1. Autor cytuje z aprobatą Robertsona, który pisze, że 'commerce … disposes [nations] to peace’. Cóż, wydaje mi się, że to nieprawda. Okryte okrzyczaną niesławą wojny religijne były tylko bladym widmem wojen, które nastąpiły w imię ekonomicznych interesów, lebensraumów, szlaków handlowych, kolonii itd. W szczególności np. antysemityzm, który wyrósł w Niemczech na gruncie konkurencji ekonomicznej między Niemcami a Żydami, przerósł dalece ten, który wyrastał ze wspomnień o ukrzyżowaniu Chrystusa.

2. Autor pisze, że 'Widać było, że wolność handlu przyczynia się do dobrobytu, a ten z kolei przyczynia się do kultury związków międzyludzkich (politeness)’. Cóż, tak być może było między 'gentlemanami’. Czy lud w ogóle wzrastał wtedy (przełom XVIII i XIX w) w dobrobycie i w dobrych manierach – to jest już wątpliwe. Stanowczo  przeciwstawia się tej opinii np. G.K. Chesterton, który przekonująco argumentuje, że z punktu widzenia ludu znacznie lepsze warunki – i ekonomiczne i socjalne – panowały w Anglii w rozkwicie średniowiecza (idee samorządności zawodowej, terytorialnej a także np. opieki społecznej mają swoje źródło w tamtych czasach). Rozwój sytuacji w XIX w., w którym kapitalizm zasłużył sobie na opinię ustroju nieludzkiego, który trzeba znieść wszelkimi sposobami (z rewolucją włącznie), także nie potwierdza tego oświeceniowego dobrobytu.

3. Omawiając rozwój wczesnych społeczeństw  w punkcie (3), Autor wspomina o kolosalnej odmianie losu, jaką był rozwój rolnictwa. Z kontekstu wynika, że była to odmiana na dobre. Tymczasem wiele badań dotyczących tego okresu (w szczególności np. badań prowadzonych przez ekologów ewolucyjnych) wskazuje, że była to zmiana istotnie kolosalna, ale z punktu widzenia indywiduum – na gorsze. Rolnictwo umożliwiło zwiększenie populacji a centralizacja władzy ułatwiła sterowanie tą populacją, co wzmogło wydatnie możliwości bojowe władcy. Natomiast średnia długość życia jednostek dramatycznie spadła (m.in. wskutek chorób wynikających z koncentracji ludności) a wolność osobista uległa poważnemu ograniczeniu.

4. Autor twierdzi, że wojna jest grą o sumie zerowej. Skąd to wiadomo? Czy na pewno tak jest? Mnie się wydaje, że to różnie bywa, zależnie od wojny. Wiele wojen jest grami o sumie ujemnej (weźmy pod uwagę np. wpływ I wojny światowej na Niemcy i Rosję, walczące po przeciwnych stronach), być może bywają też wojny o sumie dodatniej (mocną kandydatką jest wojna secesyjna w USA, która per saldo opłaciła się obu stronom, poniekąd może nawet II wojna światowa, z czysto gospodarczego punktu widzenia). W każdym razie to jest temat bardzo dyskusyjny.

5. Chętnie i aprobująco stosuje Autor pojęcie ewolucji do stosunków społecznych. Zdaniem innych to bardzo niejasna i potencjalnie niebezpieczna metafora, a tzw. darwinizm społeczny ma bardzo ponure konotacje. Kiedy mówimy o ewolucji, mamy na myśli wspaniały rozwój, ale powinniśmy pamiętać o tym, co jest mechanizmem tego rozwoju: dobór naturalny, czyli survival of the fittest (czyli fizyczna eliminacja tych, którzy nie są dostosowani). Wiem, że podejmowane są próby zastosowania teorii ewolucji do rozwoju społecznego, w których mechanizm doboru byłby bardziej humanitarny. Wśród nich na uwagę zasługuje koncepcja wiedzy ewolucyjnej Poppera; znana też jest Dawkinsa koncepcja memu, moim zdaniem niezbyt przekonująca – zresztą sam Dawkins też się z niej już wycofuje po krytyce swoich kolegów ewolucjonistów (np. Stephena Jaya Goulda), uważając ją za bliżej niesprecyzowaną metaforę. Ale wynik tych prób jest daleki od oczywistości i w naukowym, profesjonalnym opracowaniu, które miałoby być wzorem dla myślenia o tych sprawach, trzeba to jakoś zauważyć i chociaż z grubsza zarysować perspektywy unikania trudności.

W przeciwnym razie oświadczenie, że Oświecenie było ofiarą totalitaryzmów, a
nie ich sprawcą, pozostaje w dużej mierze gołosłowne. Niewątpliwie było
ofiarą. Ale są uzasadnione wątpliwości, że było także ich częściowym
sprawcą.

Zaszufladkowano do kategorii Dialogi wokół recenzji, Filozofia polityczna | 3 komentarze

Chaitin o nieobliczalności

Opublikowano 7 kwietnia 2013, autor: Paweł Stacewicz

Kolejny wpis z cyklu „w miarę zrozumiale o zagadnieniu nieobliczalności, :)” stanowi zachętę do przeczytania popularnego artykułu G. Chaitina p.t. „Omega and why maths has no TOEs”.
Zachętę tę mógłbym dołączyć do dyskusji toczonej w ramach poprzedniego wpisu, ale ze względu na wyjątkowy status autora (wszak to on dostarczył pierwszego przykładu liczby nieobliczalnej) uznałem, że lepiej będzie sporządzić osobny wpis.
W polecanym przeze mnie tekście znajdziemy nie tylko bardzo przystępne omówienie zagadkowej liczby Omega, ale także pouczający opis drogi – wytyczonej m.in. przez Leibniza i Gödla – która doprowadziła Chaitina do odkrycia Omegi.

Życząc wszystkim ciekawej i owocnej lektury, chciałbym poprzedzić ją kilkoma akapitami wstępu.

Otóż prezentując swoją liczbę, Chaitin kładzie nacisk na fakt, że jest ona nieredukowalna do żadnego algorytmu (dla maszyn cyfrowych) — to znaczy nie istnieje żaden skończony algorytm cyfrowy/turingowski, który byłby w stanie, szybko lub wolno, wyznaczać kolejne cyfry jej rozwinięcia dziesiętnego (bo jest to liczba z przedziału (0,1)). A zatem, choć jest owa liczba precyzyjnie zdefiniowana i jej kolejne cyfry binarne są ściśle określone (np. na miejscu 10-tym musi stać albo 0, albo 1 – niezależnie od czyjegoś widzimisię), to nie istnieje algorytm, który dostarczałby krok po kroku wiedzy o dokładnych wartościach tych cyfr.
Innymi słowy, gdyby jakiś „ponad-algorytmiczny, boski umysł” znał liczbę Omega, to musiałby wyjawić ją nam w całości, natomiast nie byłby w stanie dostarczyć zwięzłej algorytmicznej reguły opisującej ją w skończony sposób.
W przypadku innych nieregularnych i nieskończonych liczb, jak np. „pi” czy „pierwiastek z dwóch”, reguły takie istnieją (Chaitin przedstawia taką zwięzłą algorytmiczną regułę dla pierwiastka z dwóch), natomiast w przypadki Omegi NIE. Dzieje się tak, ponieważ jest ona zdefiniowana w odniesieniu do nierozstrzygalnego algorytmicznie problemu stopu maszyny Turinga – mówiąc krótko: jeśli kolejny badany program (maszyna Turinga) zatrzymuje się, to pewien bit Omegi przyjmuje wartość 1, a jeśli program nie zatrzymuje się, to bit ten przyjmuje wartość 0 (sęk w tym, że choć jest ściśle określone, że pewna maszyna dla pewnych danych zatrzyma się lub nie, to nie ma ogólnego algorytmu, który to rozstrzygnie).
Idąc dalej, ponieważ liczba Omega jest z definicji algorytmicznie niewyznaczalna, to musi być skrajnie losowa (bo gdyby taką nie była, to dałoby się znaleźć jakąś algorytmiczną formułę kompresji – która opisywałaby regularność następstwa jej zer i jedynek).

O tym wszystkim autor artykułu kompetentnie pisze – popierając swoje wyjaśnienia przykładami.

Nie pisze natomiast o tym, że jego odkrycie, tj. ścisłe ujęcie pewnego podzbioru liczb nieobliczalnych (bo tak naprawdę liczb Omega jest wiele), stanowi najnowszy wątek pewnej długiej historii „matematycznego wglądu” w dziedzinę liczb niewymiernych.
Historia ta zaczyna się w VI wieku p.n.e wraz z odkryciem niewymierności przez Pitagorejczyków (pod postacią pierwiastka z dwóch), nabiera rumieńców wraz z ustaleniem przez Cantora nieprzeliczalności zbioru liczb niewymiernych, nabiera tempa wraz z odkrywaniem kolejnych, dostępnych obliczeniowo, klas niewymierności (jak liczby algebraiczne czy liczby Louisville’a), a osiąga apogeum wtedy, gdy Alan Turing podaje ścisłą definicję obliczalności i udowadnia, że klasa liczb obliczalnych, czyli algorytmicznie opisywalnych, jest zaledwie przeliczalna. Poza nią pozostaje zaś continuum nieobliczalności.
Odkrycie Chaitina daje w owo continuum nowy zaskakujący wgląd — ujmuje bowiem ściśle coś, co wymyka się cyfrowym algorytmom. Niczego jednak nie zamyka — bo owo nowe „chaitinowskie coś” stanowi znów tylko fragment continuum.

Tyle tytułem przydługiego wstępu, który trzeba potraktować jako moją autorską interpretację tekstu (i odkryć) Chaitina. Jeszcze raz życzę owocnej lektury.
A jeśli ktoś zechce podzielić się swoimi wrażeniami i swoimi interpretacjami, to jest na to miejsce…

Paweł Stacewicz.

Zaszufladkowano do kategorii Dydaktyka logiki i filozofii, Filozofia informatyki, Filozofia nauki, Światopogląd informatyczny | 3 komentarze

O liczbach nieobliczalnych – na chłopski rozum

Opublikowano 30 marca 2013, autor: Paweł Stacewicz

Około dwóch miesięcy temu wprowadziłem do blogu – trochę na próbę, a trochę dla zabawy – nowy jakby gatunek tekstów typu „o rzeczach trudnych – na chłopski rozum”. Na dobry początek zamieściłem dialog z rolnikiem, którego chłopski rozum wniknął całkiem dobrze w niełatwy temat nieskończoności zbiorów. Żywa reakcja na tamten tekst (około 20 burzliwych miejscami komentarzy) zachęciła mnie do kontynuacji…

W kolejnym dialogu chłopa zastąpił księgowy, a zbiory ustąpiły miejsca liczbom. Konwencja jednak pozostała ta sama: rozmówca matematycznej reporterki nie za bardzo „wyznaje się” na dyskutowanym pojęciu, stopniowo jednak oswaja się z nim i próbuje przymierzyć doń swą nie-matematyczną intuicję.
W zamierzeniu autora ma to być wstęp do dyskusji z czytelnikiem, który być może zechce dowiedzieć się czegoś więcej, a być może też, dysponując większą od autora wiedzą, pewne jego wyjaśnienia skoryguje lub uzupełni…

Zapraszam do lektury – Paweł Stacewicz.

******

Z  KSIĘGOWYM O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH
(czyli o tym, czego nie mogą policzyć komputery)

W niewielkim pomieszczeniu biurowym pracuje przy komputerze młody mężczyzna. Przypatruje mu się stojąca w drzwiach młoda dziewczyna z charakterystyczną reporterską torbą na ramieniu. Gdy mężczyzna przerywa pisanie na komputerze, odzywa się doń.

– Dzień dobry. Przypatruję się Panu od dłuższej chwili i widzę, że Pan ostro liczy…

– Taka praca. A Pani, przepraszam, do kogo? Była Pani umówiona?

– A i owszem. Chyba nawet z Panem: 17.30,  wywiad z księgowym o liczbach.

– Oj, faktycznie. Bardzo Panią przepraszam. Za chwilkę będę gotowy…

Odwraca się do komputera. Wpisuje pospiesznie ostatnie dane, zamyka laptop i mówi:

– W porządku, możemy zaczynać.

– W takim razie, raz jeszcze dzień dobry. Wyjaśnię na początek, że wywiad nasz ukaże się na antenie radia edukacyjnego MAT, a ma traktować o liczbach nieobliczalnych.

– Pamiętam, pamiętam… I przyznam się, że temat ten nadal brzmi dla mnie dość frapująco.

– Domyślam się, że to nie liczby Pana frapują, lecz ich ewentualna nieobliczalność?

– No tak! Na mój zdrowy księgowy rozum liczba to coś, co można obliczyć. Nie zawsze samemu, częściej za pomocą kalkulatora lub komputera, ale zawsze jakoś można…

– A z jakimi liczbami ma Pan w swoim księgowym fachu do czynienia?

– No cóż. Ze zwykłymi raczej. Przed chwilą, na przykład, sumowałem w Excelu liczby czterocyfrowe z dwoma miejscami po przecinku.

– Ale nie były to liczby naturalne?

– No nie. O ile dobrze pamiętam, liczby naturalne to 1, 2, 3, 4 itd.,  zawsze o jeden więcej. Bez żadnych miejsc po przecinku. Takie jakby najprostsze liczby całkowite.

– To się oczywiście zgadza. A te Pańskie „zwykłe liczby z Excela” są, rzecz jasna, bardziej skomplikowane. Jakbyśmy je nazwali?

– Czy ja wiem? Ułamki? … Liczby dziesiętne z częścią ułamkową?…
Wymierne chyba. Tak: wymierne.

– No tak. Przypomnę słuchaczom, że jakkolwiek liczby wymierne można przedstawiać w postaci dziesiętnej (np. 7/4 to 1.75),  to definiuje się je jako liczby postaci „m dzielone przez n”, gdzie zarówno m, jak i n, należą do liczb całkowitych.
A teraz pytanie do Pana:  czy według Pana prócz wielkości wymiernych istnieją inne jeszcze rodzaje liczb?

 – No tak! Są jeszcze liczby niewymierne.

 – Może jakiś przykład?

 – Jasne. Na przykład Pi, czyli 3 i 14 setnych.

 – A dalej?

 – No właśnie. Dalej to, po pierwsze, nie pamiętam, a po drugie, pamiętam, że nie ma żadnej reguły, która pozwalałaby wypisywać kolejne cyfry.

 – Dobrze Pan to ujął. Właśnie ów brak reguły powoduje, że Pi jest liczbą niewymierną, czyli taką, której nie da się przedstawić w postaci m/n.

 – Aaaha. Czyli to tu pojawia się nieobliczalność … Prawdę mówiąc, trochę się rozczarowałem.

 – Niech Pan się nie denerwuje. To jeszcze nie TO…

 – Jak to: nie TO?

 – TO jeszcze nie jest liczba nieobliczalna. Liczba Pi, a razem z nią wiele innych wielkości niewymiernych (choćby pierwiastek z dwóch) ma tę własność, że da się ją obliczyć z dowolną zadaną dokładnością.

 – Tutaj się ciutkę pogubiłem. W jaki sposób można ją obliczyć z dowolną zadaną dokładnością, skoro nie znamy reguły generowania kolejnych cyfr jej rozwinięcia dziesiętnego?

 – W pewnym sensie regułę znamy. Ale jest ona dana w sposób dość skomplikowany, za pomocą nieskończonego szeregu liczbowego, którego granicą jest właśnie liczba Pi. Ten szereg to jakby nieskończona suma liczb, które określamy jednolitym wzorem.

 – Rozumiem. Mamy ten wzór i mamy regułę sumowania. A to wystarczy, by naszą liczbę obliczać coraz dokładniej…

 – Dokładnie tak jest. A im więcej sumujemy kolejnych liczb ( tak naprawdę są to wyrazy pewnego ciągu), tym większą zyskujemy dokładność.

 – Konkludując: Pi jest liczbą niewymierną, choć obliczalną.

 – Powiedział Pan jak matematyk.

 – Bo rzecz mnie wciąga. Domyślam się, że istnieją jakieś specjalne liczby niewymierne, których nie sposób obliczyć na podobieństwo Pi…

 – Tak jest. Ich istnienie udowodnił w XX wieku Alan Turing – jeden z pierwszych i najlepszych podówczas specjalistów od maszyn liczących. 

 – Podał jakiś przykład?

 – Nie. Lecz wykazał ściśle, że założenie o istnieniu liczb wyłącznie obliczalnych prowadzi do logicznej sprzeczności. Tym samym stało się jasne, że muszą istnieć nieuchwytne dla maszyn rodzaje liczb niewymiernych. A co więcej: musi być ich nieskończenie wiele.

 – Powiedziała Pani: „nieuchwytne dla maszyn”. Ale jakich?

 – Cyfrowych. Dowód Turinga dotyczy maszyn cyfrowych, a konkretniej wszelkich możliwych algorytmów, które mogą być wykonane na wszelkich możliwych maszynach cyfrowych. Powtórzę jeszcze raz: wszelkich. Tych, które już skonstruowano, i tych, które dopiero zostaną wynalezione.

 – Teoretycznie zatem: istnieją jakieś problemy, np. z dziedziny księgowości, którym ani mój laptop, ani żaden inny komputer cyfrowy, po prostu nie poradzi. Byłyby to takie problemy, których rozwiązaniami są liczby nieobliczalne.

 – Tak. Tak wynika z matematycznych rozumowań Turinga. Liczby nieobliczalne są w pewnym sensie równoważne problemom nierozwiązywalnym przez maszyny cyfrowe. No i  tutaj właśnie, w dziedzinie problemów a nie samych liczb, podał Turing sugestywny przykład.

 – ???

 – Mówiąc z grubsza, postawił problem napisania algorytmu, który sprawdzałby, dla jakich danych inne algorytmy kończą pracę, a dla jakich się zapętlają. Okazało się, że jest to zadanie niewykonalne – innymi słowy, nieobliczalne. Potem zaś odkryto takich zadań więcej.

 – Smutne…

 – Czy ja wiem? Może nawet krzepiące. Być może ludzki umysł w tym właśnie przewyższa komputery, że potrafi dostrzegać i rozwiązywać problemy nieobliczalne?

 – Hmm. Muszę nad tym pomyśleć. Bo filozoficznie rzecz biorąc, jeśli Pani pozwoli, owo intrygujące „umysłowe być-może” jest, być może, kolejnym nieuchwytnym dla maszyn problemem nieobliczalnym. To znaczy: trudno mi sobie wyobrazić, aby jakiś komputer potrafił Pani pytanie rozstrzygnąć?

 – Hmm. Tym razem to i ja chyba, i słuchacze, będziemy to musieli przemyśleć. Tymczasem pora kończyć. Dziękuję pięknie za wywiad i filozoficzne zakończenie.

*******

Powyższy tekst pochodzi z materiałów projektu o nazwie „Archipelag Matematyki”, który jest realizowany (z moim udziałem) w Politechnice Warszawskiej. Gdyby ktoś poczuł się mocno zainspirowany i/lub zainteresowany, to mam dla niego inny tekst  autorstwa G. Chaitina, odkrywcy pierwszej liczby nieobliczalnej.  Artykuł Chaitina jest napisany bardzo przejrzyście i lekko; poprzedza go ciekawa przedmowa Józefa Dębowskiego.

Zapraszam do dyskusji poniżej – Paweł Stacewicz.

Zaszufladkowano do kategorii Dydaktyka logiki i filozofii, Filozofia informatyki, Światopogląd informatyczny | 17 komentarzy

Czy kurs logiki dla humanistów należy redukować do rachunku monadycznego?

Opublikowano 21 marca 2013, autor: Witold Marciszewski

Niniejszy wpis jest pomyślany jako zagajenie dyskusji, w której argumenty autora za odpowiedzią przeczącą wysuwam w artykule pt. „Czy w uprawianiu logiki predykatów warto być monadystą?” Daję tu link do Katalogu „Cafe Aleph”, gdzie wymieniona pozycja znajduje się jako czwarta w dziale A7, po trzech innych poświęconych sposobowi uprawiania logiki predykatów, w tym „przedruk” znakomitego artykułu Jerzego Pogonowskiego i Izabeli Bondeckiej-Krzykowskiej

Bardzo dobrą okazją do zainicjowania takiej dyskusji jest ukazania się podręcznika, który programowo realizuje odpowiedź twierdzącą na postawione tu pytanie. Czy słusznie? Jest to rzecz warta dyskusji w gronie wykładowców logiki. Podręcznik, który mam tu na uwadze dlatego daje szczególną po temu sposobność, że jest w nim próba uzasadnienia takiego samoograniczającego się podejścia. Jest to książka prof. Piotra Łukowskiego z UŁ pt. „Logika praktyczna z elementami wiedzy o manipulacji” (wyd. LEX, Warszawa 2012). Poprzedził ją wstępem, co uwidoczniono na okładce, prof. Marek Zirk-Sadowski. Autor Wstępu uzasadnia ów program samoograniczenia w sposób następujący.

Niniejszy wpis jest pomyślany jako zagajenie dyskusji, w której argumenty autora za odpowiedzią przeczącą wysuwam w artykule pt. „Czy w uprawianiu logiki predykatów warto być monadystą?” Daję tu link do Katalogu „Cafe Aleph”, gdzie wymieniona pozycja znajduje się jako czwarta w dziele A7, po trzech innych poświęconych sposobowi uprawiania logiki predykatów, w tym „przedruk” znakomitego artykułu Jerzego Pogonowskiego i Izabeli Bondeckiej-Krzykowskiej

Bardzo dobrą okazją do zainicjowania takiej dyskusji jest ukazania się podręcznika, który programowo realizuje odpowiedź twierdzącą na postawione tu pytanie. Czy słusznie? Jest to rzecz warta dyskusji w gronie wykładowców logiki. Podręcznik, który mam tu na uwadze dlatego daje szczególną po temu sposobność, że jest w nim próba uzasadnienia takiego samoograniczającego się podejścia. Jest to książka prof. Piotra Łukowskiego z UŁ pt. „Logika praktyczna z elementami wiedzy o manipulacji” (wyd. LEX, Warszawa 2012). Poprzedził ją wstępem, co uwidoczniono na okładce, prof. Marek Zirk-Sadowski. Autor Wstępu uzasadnia ów program samoograniczenia w sposób następujący.

„Przedmiotem rozdziału 7 jest klasyczny rachunek kwantyfikatorów w wersji celowo przez autora okrojonej tak, aby również czytelnik o humanistycznym wykształceniu mógł odnieść korzyść z lektury tego rozdziału. Rachunek został więc zredukowany do klasy formuł z wyłącznie jednoargumentowymi predykatami.” Uzasadnia się to tym, że chodzi o ,,dostarczenie praktycznych narzędzi do rozpoznawania i rozumienia podstawowych praw logiki wyrażonych w języku z kwantyfikatorami”.

Zwolenników tego poglądu nazywam krótko monadystami. Przeciwników zaś relacjonistami, jako że bronią oni prawa słuchaczy logiki do wiedzy o tym, jak się poprawnie posługiwać predykatami relacyjnymi (wieloargumentowymi).

Dla każdego z tych obozów da się wskazać wyraźnie określonego patrona. Patronem relacjonistów możemy okrzyknąć Andrzeja Grzegorczyka. Dysponuje go do tego nie tylko „Zarys logiki matematycznej”, lecz także, adresowany głównie do humanistów, artykuł o wyodrębnianiu formalnej dziedziny rozważań; referuję go w pewnej pracy poświęconej tzw. reizmowi w wersji Grzegorczyka (zob. odc. 4). Formalna dziedzina rozważań to — czytamy u Grzegorczyka — „kompleks złożony ze zbioru, pewnej ilości funkcji w tym zbiorze i pewnej ilości relacji między elementami tego zbioru”; relacjom odpowiadają w języku predykaty relacyjne czyli wieloargumentowe. Nie ma nawet wzmianki o własnościach czyli o tym, czemu odpowiadają predykaty monadyczne. Nie jest to żadna luka, bo własności traktuje się po prostu jako graniczny przypadek relacji, mianowicie przypadek jednoargumentowe.

Niewątpliwym patronem monadystów jest Tadeusz Kotarbiński. Ani w jego „Elementach” ani w „Kursie logiki dla prawników” (ograniczonym do tradycyjnej sylogistyki), ani w „Wykładach z dziejów logiki” nie pojawiają formuły relacyjne. Taki kurs dydaktyczny realizowała też Janina Kotarbińska, gdy prowadziłem w UW ćwiczenia do jej wykładów. Miało to motywację filozoficzną. Tadeusz Kotarbiński widział w rachunku predykatów (branym w całej pełni) zagrożenie dla myśli materialistycznej, ponieważ w charakterystyce dziedziny logiki predykatów trzeba się posłużyć abstrakcyjnym pojęciem zbioru (w którym „czai się” platonizm).

Podręcznik Łukowskiego daleki jest od tak spekulatywnej motywacji, ale nie musi go to pozbawiać tak zacnego patronatu. Rzeczywistą motywacją jest niska ocena pojętności humanistów, o czym się explicite mówi we Wstępie, a zapewne też (co tkwi gdzieś implicite) niska ocena przydatności nie-monadycznej części logiki predykatów. Z jednym i drugim polemizuję zdecydowanie we wspomnianym wyżej szkicu, i z niemałym zainteresowaniem oczekuję polemicznej reakcji ze strony obozu monadystów.

Zaszufladkowano do kategorii Dialogi wokół recenzji, Dydaktyka logiki i filozofii, Filozofia nauki | 2 komentarze

Czy istnieją powierzchnie, linie i punkty?

Opublikowano 14 marca 2013, autor: Witold Marciszewski

ZAGAJENIE DYSKUSJI nad artykułem w zbiorach Cafe Aleph: Confrontation of reism with type-theoretical approach and everyday experience. 

Niniejszy wpis wydobywa z w/w artykułu punkty, co do których jego autor, jako zwolennik  gödlowskiego platonizmu, chciałby polemizować ze zwolennikami nominalizmu. Jest on bowiem polemiką z nominalizmem reprezentowanym przez Andrzeja Grzegorczyka pod nazwą reizmu zapożyczoną od Tadeusza Kotarbińskiego. Grzegorczyk, żeby uczynić reizm przydatnym do opisu rzeczywistości uzupełnia go o Russella teorię typów, a żeby uczynić go przekonującym, podaje na jego rzecz argumenty z codziennego doświadczenia.

Dla ontologii i filozofii nauki szczególnie ważne jest rozważanie Grzegorczyka o punktach geometrycznych (referowane w odc.5,  s.123), gdzie uznaje on niezrównaną przydatność dla matematyki, fizyki i techniki geometrii opartej na pojęciu punktu. Wiemy przy tym (z czym Grzegorczyk się zgadza w prowadzonych z nim dyskusjach),  że o takiej przydatności nie może nawet śnić konkurencyjna, forsowana przez reistów, mereologia. Tak powstaje problem, będący w centrum uwagi pragmatystycznej filozofii nauki: czy płodność teoretyczna i technologiczna pojęcia pozwala przypisać istnienie jego desygnatowi?  Twierdząco odpowiada na to pragmatyzm (cechujący min. Gödla), przecząco nominalizm Goodmana (zob. s.116, przypis 9).  Kieruję więc pierwsze pytanie do reistów:  [1] czy podzielają stanowisko Goodmana, że matematyk i fizyk tworzą fikcje,  a tylko filozof  zna prawdę o naturze rzeczywistości?

Pewnik reizmu „Istnieją tylko bryły” Grzegorczyk akceptuje wespół z tezą epistemologiczną, że podstawowym,  i najbardziej wiarogodnym źródłem wiedzy jest codzienne doświadczenie zmysłowe.  Ono więc powinno nas przekonywać o istnieniu brył.  Doświadczamy  jednak  widoków słońca czy księżyca nie jako brył, lecz jako powierzchni, a  to, że są one bryłami jest wynikiem teoretyzowania.  Stąd pytanie [2] Czy istnieją powierzchnie? Oraz [3] Jeśliby powierzchnie istniały, to co z istnieniem linii i punktów?

Kluczem do konfrontacji reizmu z teorią typów może być uwaga Grzegorczyka, że teoria typów jest współczesnym odpowiednikiem arystotelesowej koncepcji kategorii. Przy oczywistych różnicach,  istotnie mają one ważny punkt wspólny: że samodzielne istnienie przysługuje tylko indywiduom. Arystoteles wraz z tym wprowadza pojęcie bytowania niesamodzielnego,  jakie mają cechy, relacje itp., wymagające do swej egzystencji indywiduów.  [4] Czy interpretacja Russella przez Grzegorczyka dopuszcza jakiś odpowiednik  bytów niesamodzielnych, którymi byłyby relacje, zbiory, zbiory zbiorów itd.?  Niektórzy, jak Meinong, określają ten sposób bytowania jako „subsistence”.  Takiego statusu  nie dopuszcza oryginalny reizm Kotarbińskiego.  [5] Czy dopuszcza zliberalizowany przez teorię typów reizm Grzegorczyka?

I wreszcie: [6] Czy ten liberalizm obejmie także powierzchnie, linie i punkty, przyznając im  status bytowania niesamodzielnego w obrębie brył?   Żeby wyrazić odpowiedź twierdzącą, obejmująca też punkty, wprowadzam w moim artykule pojęcie abstract constituents (odc.3, od s.114), zaliczając do tej kategorii wszelkie inne obiekty geometryczne,  a także zbiory,  liczby itp. W szczególności, przyznanie takiego statusu punktom rozciągnęłoby się na continuum liczb rzeczywistych. Byłaby to nowoczesna forma platonizmu, uzgodniona z empiryzmem i wsparta przez pragmatyzm, który zaliczenie do tej kategorii lub odmową zaliczenia uzależnia od płodności  danej  teorii zastosowaniach.  Tym  oświadczeniem poddaje pod dyskusję, prócz kontrowersyjnych (moim zdaniem) twierdzeń reizmu, moje własne stanowisko formułowane i motywowane w artykule.

 

Zaszufladkowano do kategorii Epistemologia i ontologia, Filozofia nauki | 8 komentarzy

O algorytmicznej dostępności wiedzy

Opublikowano 2 marca 2013, autor: Paweł Stacewicz

Niniejszy wpis kieruję przede wszystkim do uczestników marcowego Seminarium Filozoficznych Problemów Podstaw Wiedzy w PAN, na którym będę referował temat p.t. „O algorytmach i algorytmicznej dostępności wiedzy”.

Poniżej zamieszczam robocze tezy swojego wystąpienia, a także obszerny fragment referatu – który osoby zainteresowane mogą przeczytać w całości  (klikając link obok).

Informacje te udostępniam z intencją wywołania dyskusji, która może się toczyć zarówno przed seminarium, jak i po nim.
Zapraszam do niej nie tylko uczestników seminarium.

*******

ROBOCZE TEZY REFERATU

Teza 1
Istotnym składnikiem współczesnej kultury – przenikniętej na wskroś informatyką i jej zastosowaniami – jest światopogląd informatyczny, u którego podstaw leży skłonność do opisu świata za pomocą pojęć wywiedzionych z informatyki.

Teza 2
Zaczerpnięte z informatyki pojęcie algorytmu, a także sprzężone z nim pojęcia złożoności obliczeniowej oraz nieobliczalności, mogą ujawniać pewne ograniczenia ludzkiej wiedzy (zasadnicze bądź tylko praktyczne).

Teza 3
Wspomniane w tezie 2 ograniczenia dotyczą z pewnością tych form zdobywania wiedzy, które angażują algorytmy dla maszyn cyfrowych (opisane i badane w ramach modelu uniwersalnej maszyny Turinga).

Teza 4
Ponieważ jednak pojęcie algorytmu jest pojęciem otwartym (ze względu na rozwój informatyki), można zakładać optymistycznie, że z pomocą coraz to nowych typów algorytmów (niekoniecznie cyfrowych) poznawcze ograniczenia ludzkiego umysłu będą sukcesywnie pokonywane.

Teza 5
Niezależnie od tezy 4 (pesymistycznej) i tezy 5 (optymistycznej) istnieją dobre racje po temu, by przyjąć że w naukowej praktyce obowiązuje algorytmiczny wzorzec wiedzy.

*******

FRAGMENT REFERATU

10. Mimo oczywistej przydatności algorytmów do poszerzania zakresu ludzkiej wiedzy okazuje się, że istnieje wiedza algorytmicznie niedostępna – istnieją zatem problemy, których za pomocą pewnego typu algorytmów rozwiązać nie sposób (bezwzględnie lub praktycznie). O fakcie tym przekonują m.in. meta-informatyczne badania nad nieobliczalnością problemów i złożonością algorytmów.
(Odniesiemy się do nich koncentrując uwagę na algorytmach dla maszyn cyfrowych).

10a. Istnieją zatem problemy nieobliczalne bezwzględnie – to znaczy takie, których nie można rozwiązać algorytmicznie we wszystkich przypadkach szczególnych. Typowe przykłady to: problem stopu maszyny Turinga i problem słów Posta.

10b. Istnieją także problemy nieobliczalne praktycznie – to znaczy takie, dla których nie istnieją algorytmy o niższej złożoności czasowej niż wykładnicza. Dla coraz większych danych problemy te wymagają rosnącej lawinowo ilości czasu (co przesądza o ich praktycznej nieobliczalności). Typowe przykłady to: problem komiwojażera i problem spełnialności formuł rachunku zdań.

11. W przypadku w/w problemów zachodzą ważkie pytania o to, czy: (1) na gruncie innych modeli obliczeń niż cyfrowy (turingowski) problemy te staną się obliczalne?; (2) czy każdy z takich problemów daje się podzielić na podproblemy, dla których będą istniały efektywne rozwiązania algorytmiczne – tzw. algorytmy lokalne (w takim lub innym modelu obliczeń)?; (3) czy z praktycznego punktu widzenia problemy takie są istotne, np. czy dla potrzeb realnych zastosowań nie wystarczy znać rozwiązania problemów podobnych, ale obliczalnych?

12. Pozytywna odpowiedź, na którekolwiek z powyższych pytań jest wyrazem wiary w „ponad-maszynową” moc ludzkiego umysłu, który:
• w przypadku pozytywnej odpowiedzi na (1), byłby w stanie obmyślać coraz to nowe modele obliczeń;
•  w przypadku pozytywnej odpowiedzi na (2), byłby w stanie trafnie wyodrębniać z danego problemu obliczalne podproblemy;
• w przypadku pozytywnej odpowiedzi na (3), byłby w stanie oceniać, czy dany problem jest praktycznie istotny, a w razie konieczności zastępować go problemem podobnym.

12a. Wokół pozytywnej odpowiedzi na powyższe pytania, zwłaszcza na pytanie pierwsze, można zbudować optymistyczną wersję światopoglądu informatycznego, zgodnie z którą umysł ludzki buduje wiedzę nie tylko algorytmicznie, lecz również intuicyjnie – gdy metoda algorytmiczna (związana np. z określonym typem algorytmów) napotyka trudność, uaktywnia się poznawcza intuicja, która generuje nowe pojęcia lub nowe typy algorytmów (zwiększając poznawczą moc umysłu).

13. Negatywna odpowiedź na każde z powyższych pytań (pkt 11) jest wyrazem wiary w zasadniczą algorytmiczną niedostępność pewnego rodzaju wiedzy – zasadniczą, bo charakteryzującą zarówno ludzki umysł, jak i każdy umysł sztuczny.

Zaszufladkowano do kategorii Epistemologia i ontologia, Filozofia nauki, Światopogląd informatyczny | 13 komentarzy

Czy informatykom jest potrzebna filozofia?

Opublikowano 28 lutego 2013, autor: Paweł Stacewicz

Niniejszym wpisem chciałbym zmobilizować do akcji nowe siły, które póki co gromadzą się w sali wykładowej. Pisząc o akcji, mam na myśli dyskusję, która jest czymś w rodzaju humanistycznego poligonu, albo inaczej: pola ćwiczebnego humanisty. Dyskutując ścieramy się z innymi, a w tym starciu  precyzujemy pojęcia, sprawdzamy argumenty, dochodzimy stopniowo do przekonań coraz lepiej uzasadnionych. Innymi słowy: dochodzimy do wiedzy, która jest wynikiem międzyludzkiej (czyli: humanistycznej) interakcji.

A zatem: „Czy informatykom jest potrzebna filozofia?”.

Podejmując ten temat, można się kierować własnymi odczuciami (rozumiem, że w przypadku umysłów ścisłych, które dodatkowo postrzegają filozofię jako matecznik ogólnikowości, mogą to być odczucia negatywne), ale warto też skonfrontować te odczucia z  wiedzą o współczesnym statusie filozofii, jej stosunku do nauk szczegółowych oraz różnych problemach, które rodzą się na styku filozofii z informatyką. Wzbogaceniu tej wiedzy służą dwa teksty, które chciałbym uczynić podstawą dyskusji: „Informatyka i filozofia” oraz „Filozofia i jej historia wobec nauk szczegółowych” (proszę kliknąć i przeczytać, :-) )

We wspomnianych tekstach jest zawarta nie tylko wiedza, ale również moje poglądy.
I z jednym, i z drugim można dyskutować.
Bo wiedza przecież, nawet ta matematyczna i zmatematyzowana, nie jest czymś zamkniętym raz na zawsze…

Na dobry początek zamieszczam niżej obszerny fragment pierwszego tekstu (zaczyna się on od punktu 9, co znaczy, że przed nim jest jeszcze osiem innych punktów, :-) ).

*******

FRAGMENT TEKSTU „Informatyka i filozofia”

9. Wzajemne związki między informatyką i filozofią mają charakter dwustronny, to znaczy zarówno informatyka oddziałuje na filozofię, jak i filozofia wnosi coś do informatyki.

9a. Po pierwsze zatem: informatyka inspiruje filozofów do wysuwania nowych hipotez (takich jak teza o podobieństwie umysłu i komputera, czy interpretacja arystotelesowej formy jako informacji); niejako przy okazji informatyka wyposaża filozofów w precyzyjny język wyrazu i analizy tychże hipotez.

9b. Po drugie jednak: filozofia zapewnia informatykom szerszy ogląd ich bardzo szczegółowych, technicznych  badań (pozwala dostrzec, na przykład, jak inne nauki, choćby psychologia poznawcza, wykorzystują pojęcia i metody informatyczne); daje nadto głębsze zrozumienie stosowanych metod (a także ich potencjału i ograniczeń).
Być może też filozofia – czy to pośrednio, czy to bezpośrednio – kierunkuje i inspiruje badania informatyczne (dobry przykład to ontologia, która może nasuwać różne pomysły w dziedzinie baz danych czy struktur danych).

10. Jeśli chodzi o konkretne przykłady zagadnień filozoficznych, które towarzyszą badaniom informatycznym, czy też są ich naukową konsekwencją, to grupują się one głównie w metafizyce (ontologii), teorii poznania (epistemologii) i filozofii umysłu.

10a. Do metafizyki należy, na przykład, ważne zagadnienie statusu bytowego informacji.
Czy informacja –  której różne formy poznajemy coraz lepiej za pośrednictwem komputerów –  stanowi jakąś odrębną sferę rzeczywistości (bytu)? Czy jest to ta sama sfera, którą Arystoteles nazywał formą i traktował obok materii jako jeden z dwóch, splecionych w każdym bycie, składników?  Czy ów porządkujący i kierunkujący materię składnik potrafimy zawsze uchwycić programistycznie, to znaczy określić, według jakiego algorytmu i w ramach jakich struktur danych, pewien układ materialny działa i oddziałuje na inne układy? Innymi słowy: czy informację można zredukować do danych (tworzywa maszyn informatycznych), a jeśli tak, to do jakiego rodzaju danych (np. cyfrowych czy analogowych)?
Oto ciąg pytań, który łączy metafizykę (nawet tę starożytną) z informatyką?

10b. Do teorii poznania należy z kolei cała paleta zagadnień  związanych z poznawczymi ograniczeniami metody algorytmicznej.
Od czasów słynnych twierdzeń Kurta Godla oraz pokrewnych im odkryć Alana Turinga wiadomo (z pewnością właściwą matematyce), że istnieją problemy, do rozwiązania których, nie może doprowadzić żaden algorytm. Problemy takie informatycy nazywają nieobliczalnymi. Czy ograniczenie to tyczy się wszelkich algorytmów (schematów rozwiązywania problemów), czy też tylko takich, które określił ściśle Alan Turing, a które odpowiadają przepisom działania maszyn cyfrowych (równoważnych tzw. maszynom Turinga)? Czy to samo ograniczenie stosuje się do ludzi, czy tylko do maszyn?
Oto drobna próbka zagadnień, które zaprzątają uwagę inspirowanych informatycznie epistemologów.

10c.  Z teorią poznania, badającą uwarunkowania i ograniczenia różnych aktów i metod poznawczych, wiąże się problematyka nieco inna, wchodząca w skład filozofii umysłu.
Jej kluczowe pytanie jest następujące: „W jakim sensie i w jakim zakresie umysł jest podobny do komputera i jakiego?” (bo, że istotne podobieństwa istnieją, to nie ulega kwestii).  W wersji naukowej pytanie to tyczy się modelowania i brzmi: „W jakim zakresie czynności  poznawcze, takie jak wnioskowanie czy uczenie się, można modelować komputerowo?”.
Zagadnienie to stawia się również w postaci odwrotnej, zapytując o to „Czy maszyna mogłaby myśleć?”. Namysł nad tym zagadnieniem prowadzi nie tylko do argumentów „za” i „przeciw”, ale także do głębszej refleksji nad istotą myślenia.

11. Wiele szczegółowych zagadnień filozofii informatyki grupuje się wokół dobrze określonych pytań, mających swe źródło w otwartych (po dziś dzień) zagadnieniach informatycznych. Na przykład: „Czy sztuczne sieci neuronowe są równoważne uniwersalnej maszynie Turinga?”, „Czy istnieje dobre matematyczne uzasadnienie skuteczności informatycznych technik ewolucyjnych, czy też jedyne uzasadnienie odnosi do biologii?”, „Czy analogowe techniki przetwarzania danych są sprowadzalne do cyfrowych?”.

*******

Czekam zatem na pierwsze głosy…
Jest potrzebna ta filozofia, czy nie jest?
Przydaje się, czy raczej nie?

Gdyby ktoś chciał zerknąć, jak wypowiadano się na podobny temat rok temu, niech przejdzie do wpisu „O przydatności filozofii” i zapozna się z komentarzami. Tym razem jednak podyskutujmy konkretniej – bo w kontekście informatycznym.

Zaszufladkowano do kategorii Dydaktyka logiki i filozofii, Filozofia informatyki, Światopogląd informatyczny | 16 komentarzy

O nieskończoności zbiorów – na chłopski rozum

Opublikowano 26 stycznia 2013, autor: Paweł Stacewicz

W kawiarniach z dawnych dobrych czasów bywało gęsto od dymu z papierosów, a w „Cafe Aleph” gęsto się zrobiło od rozważań o nieskończoności (ponad 20 komentarzy). Cieszy ta zgodność z szyldem, bo przecież Alephy, od zera w górę i w górę, to kolejne liczby pozaskończone, które oznaczają coraz to wyższe piętra zbiorów nieskończonych.

Ale taka harmonia szyldu i treści jeszcze nie znaczy, że każdemu, kto tu zajrzy łatwo się będzie „połapać” w wędrówkach pośród chmur abstrakcji. Aby te wędrówki ułatwić, zdecydowaliśmy się zamieścić krótki tekst Pawła Stacewicza ujęty w dialog — formę, do której zachęca wiekowa, poczynając od Platona, tradycja pisarstwa filozoficznego.

Wybrany przez nas tekst pochodzi z projektu „Archipelag Matematyki”, który jest realizowany w Politechnice Warszawskiej (m.in. z naszym udziałem), a ma na celu popularyzację matematyki wśród uczniów szkół średnich. Przynależy do cyklu tzw. mat-wywiadów, czyli rozmów ze zwykłymi ludźmi o pojęciach i teoriach matematycznych.

W tytule dialogu jest zawarta fraza „na chłopski rozum”, która wyjaśnia zarówno intencję autora (opowiedzieć maksymalnie prosto o niełatwych zagadnieniach matematycznych), jak i wybór rozmówcy – rolnika pracującego przy żniwach.
A zatem: to co wymyśliły rozumy naukowców, zostanie wyłożone na chłopski rozum. Czy do wszystkich rozumów trafi? Tego oczywiście nie wiemy — zapraszamy jednak wszystkich chętnych do czytania i komentowania.

Witold Marciszewski i Paweł Stacewicz.

******

Reporterka matematycznego radia MAT (znana z innych materiałów Archipelagu Matematyki) zapuszcza się tym razem na wieś, by porozmawiać o teorii mnogości. Widzimy ją tuż przy rozległym polu pszenicy, gdzie pracują maszyny: traktor i kombajn. Reporterka podchodzi do nadzorującego prace rolnika. Mówi doń głośno, a właściwie woła, przekrzykując warkocące maszyny:

– Dzień dobry! Jak tam zbiory…?

– Kiepsko. Susza.

– To niedobrze. Ale może chcielibyście Panowie porozmawiać o teorii zbiorów…?

– Że niby co? Jak teoretycznie dużo zebrać…?

– Nie. O matematycznej teorii zbiorów.

– Eee, to chyba nie… My wszyscy dawno po szkole.

– Ale Panowie, mi właśnie o to chodzi. Jestem z radia i nagrywam wywiady ze zwykłymi ludźmi o pojęciach matematycznych. Panowie mi jak najbardziej pasujecie…

– Chwila… Bo strasznie trzeba krzyczeć. Wyłączymy kombajn…

Mężczyzna daje znak koledze, by wyłączył maszynę. Gdy silnik przestaje hałasować, pyta:

– To jak Pani mówi? Że z radia?

– Tak. Matematycznego. I chcę namówić Panów na rozmowę o zbiorach.

– Czyli na czasie…

– Jak najbardziej. Choć w pewnym sensie zbiór to obiekt ponadczasowy.

– (???)

– Już wyjaśniam… Mówicie Panowie, że macie kiepskie zbiory. Dla matematyków jednak są to takie same zbiory jak wszelkie inne. Dla nich zbiór, inaczej mnogość, to każda grupa przedmiotów o wspólnej własności. Na przykład: mogliby zdefiniować i oznaczyć literką A zbiór wszystkich ziaren pszenicy o takiej a takiej wadze; ale byłby to tylko przykład, przykład czegoś, co spełnia pewne ogólne prawa.

– Noo… Konkretne to, to nie jest?

– No nie. Bo zbiór to przedmiot abstrakcyjny… Myślimy sobie o jakiejś cesze konkretnych przedmiotów, np. kulistości. I abstrahując od innych cech tych przedmiotów, powołujemy do życia inny jakby-przedmiot: zbiór rzeczy kulistych.

– Właściwie to po co, jak Pani mówi, powołujemy?

– Właściwie to dla wygody. Czyniąc coś zbiorem, czynimy to coś przedmiotem ogólnej teorii. Takiej teorii, której wyniki pozostają słuszne dla wszelkich zbiorów – również takich, które odpowiadają cesze kulistości.

– Jeśli jednak mamy się dogadać, to musimy konkretniej…

– Okay. To jakbyście Panowie policzyli, ile elementów ma dany zbiór?

– Właściwie sama Pani powiedziała: policzyli. Liczymy element po elemencie, np. ziarnko po ziarnku pszenicy, i wychodzi nam, ile jest wszystkich. Trochę to oczywiście potrwa, ale do wyniku dojdziemy.

– Czyżby? A co wtedy, gdy zbiór jest nieskończony?

– No nie… Miało być konkretnie… A tu znowu: nieskończoność. Chętnie bym zobaczył nieskończenie wielki wór pszenicy.

– Do tego spokojnie dojdziemy. Na początek jednak, pomyślcie Panowie, jak można ustalić bez liczenia – bo nie sposób przecież liczyć w nieskończoność – że dwa zbiory mają tyle samo elementów. Ni mniej, ni więcej – tylko tyle samo.

– Bez liczenia?

– Bez.

– Nie podpuszcza nas Pani?

– W żadnym wypadku. W jaki sposób, na przykład, stwierdzicie Panowie – o ile przejdziemy od zbiorów pszenicy do jej spożycia – że na dobrze zastawionym stole leży tyle samo widelców co noży.

– Tutaj akurat jest prosto. Jeśli ktoś dobrze poukładał, to obok każdego widelca musi leżeć nóż.

– Czyli każdemu widelcowi musi odpowiadać dokładnie jeden nóż?

– No tak.

– No a tak samo można zrobić zawsze. Wystarczy stwierdzić, że każdemu elementowi zbioru A odpowiada dokładnie jeden element zbioru B. Matematycy powiedzieliby: istnieje funkcja różnowartościowa przekształcająca zbiór A na zbiór B. Jeśli znamy taką funkcję, nie musimy liczyć elementów – wiemy, że jest ich tyle samo w A co w B. Czy tak?

– Niby tak. Ale skąd mamy wiedzieć, co to za funkcja? I gdzie tu nieskończoność?

– Powoli. Funkcje znajdują matematycy: są w tym równie dobrzy, jak Panowie w koszeniu. A nieskończoność pojawia się wtedy, gdy chcemy porównywać ze sobą zbiory nieskończone.

– Na przykład?

– Na przykład zbiór liczb naturalnych N (1, 2, 3 itd.) ze zbiorem liczb parzystych P (2, 4, 6 itd.). Obydwa są nieskończenie liczne, przy okazji jednak – równoliczne. A równoliczne są dlatego, że istnieje funkcja f przekształcająca zbiór N na P. Ma ona bardzo prosty wzór: f(n)=2n. Przykładowo: f(1)=2 czyli jedynce odpowiada dwójka, f(2)=4 czyli dwójce odpowiada czwórka i tak dalej.

– Czyli, według Pani, zbiory N i P są tak samo liczne…?

– Nie tyle według mnie, co według naszych zasad.

– Tak na oko jednak, to bzdura! Liczb parzystych jest dwa razy mniej niż naturalnych.

– Na oko może i bzdura. Ale nasze oko kiepsko widzi nieskończoność…
Skoro zgodziliśmy się na „nożowo-widelcową” metodę sprawdzania równoliczności, to musimy się zgodzić na równoliczność zbiorów N i P.

– W takim razie, czy nie będzie tak, że wszystkie zbiory nieskończone są tak samo liczne?

– Brawo! Wciągnęliście się Panowie w nasz abstrakcyjny temat. Ale nie. Tak nie jest! Nie wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne.

– Bo?

– Bo, na przykład, zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, czyli wszelkich możliwych liczb dziesiętnych z częścią ułamkową, np. 1.75, 2.43, liczba Pi, itd…Liczb rzeczywistych – zgodnie z naszymi zasadami – jest więcej.

– Wypada chyba uwierzyć na słowo.

– W tej chwili nie macie Panowie innego wyjścia. Bo dowód wymaga trochę większej znajomości matematyki. Ale powiem Wam, że istnieje pewna niezwykle ciekawa zasada ogólna: każdy zbiór nieskończony jest mniej liczny niż zbiór wszystkich jego podzbiorów.

– Jak to podzbiorów?

– Ano tak: bierzemy jakiś zbiór złożony z konkretnych elementów — pierwszego, drugiego, trzeciego itd. Następnie grupujemy te elementy na wszelkie możliwe sposoby, np. sam pierwszy element, pierwszy z drugim, pierwszy z trzecim itd., nazywając każdą taką grupę podzbiorem. Następnie liczymy podzbiory. Okazuje się, że zawsze będzie ich więcej niż elementów w samym zbiorze. A zatem: rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru jest bardziej liczna niż sam zbiór.

– Czyżby wynikało z tego, że istnieje nieskończenie wiele rodzajów nieskończoności?

– Bo?

– Bo wydaje mi się, że możemy w nieskończoność tworzyć zbiory wszystkich podzbiorów. Najpierw rodzinę podzbiorów zbioru A, powiedzmy AA. Ma ona więcej elementów niż A. Potem rodzinę podzbiorów zbioru AA, powiedzmy AAA. Ma ona więcej elementów niż AA. I tak w nieskończoność.

– Gratulacje! Brawo! Spostrzegł Pan coś, co twórca teorii zbiorów, George Cantor, określił obrazowo jako otchłań nieskończoności. Nie przeraża to Pana?

– Czy ja wiem? Raczej niestrachliwe ze mnie chłopisko. A poza tym nasze „chłopskie” zbiory były i będą skończone.

– To fakt. A nasz wywiad także ma skończony czas. Krótko mówiąc: musimy kończyć. Dziękuję bardzo za rozmowę.

– Dziękujemy i my.

Zaszufladkowano do kategorii Dydaktyka logiki i filozofii, Światopogląd informatyczny | Otagowano , | 22 komentarze