Odcinek poprzedni: A. Klub Optymistów Poznawczych
Odcinek B. „Wir werden wissen” – Gödel i Hilbert przeciw pesymizmowi
Motto: Gödel’s rationalistic optimism is an optimism about the power of human reason. — Hao Wang
§1. Zasadnicza zgodność Gödla z Hilbertem co do tego, że każdy problem matematyczny jest rozwiązywalny — jest czymś oczywistym w świetle wypowiedzi samego Gödla (zob. niżej w §3 – cytaty II i III). Zarazem zaś, ogromnej większości piszących na ten temat autorów wydaje się oczywiste, że było przeciwnie: że Gödel obalił tę wiarę Hilberta. A nie są to bynajmniej autorzy, którym można by zarzucić w tej materii dyletanctwo.
Powody tego nieporozumienia są co najmniej dwa. Jednym jest niedookreślenie pojęciowe, drugim pewna luka bibliograficzna. Niedookreślenie na tym polega, że terminów (wzajem bliskoznacznych) „rozwiązywalność”, „rozstrzygalność” i „obliczalność” używa się z reguły bez różnicującej przydawki, a jest nią wyraz „algorytmiczna” lub „intuicyjna”. Tę drugą trzeba brać w takim sensie, w jakim mówimy, że intuicyjne są dowody niesformalizowane (np. wszystkie dowody u Euklidesa).
Według Hilberta nr 1 (sprzed roku 1931, daty twierdzenia Gödla) „wir werden wissen” znaczyło, że będziemy mogli dowieść każdego twierdzenia za pomocą algorytmu, o którym sądził on (np. w tekście z roku 1928), że będzie opracowany niebawem (widział to jako jedno z zadań na wiek XX) i raz na zawsze.
Według Hilberta nr 2 (po roku 1931, pogodzonego już z Gödlem) „wir werden wissen” znaczyło tyle, że dla każdego problemu matematycznego da się znaleźć algorytm rozwiązania, ale nie jeden dla wszystkich i raz na zawsze, lecz w takim trybie, że gdy istnieje problem nierozwiązywalny na danym etapie algorytmicznie, potrafimy znaleźć rozwiązanie dzięki intuicji naprowadzającej na nowe, niezbędne do rozwiązania, pojęcia (jak to było np. z dowodem twierdzenia Fermata przez Andrew Wilesa). Ten wzmocniony system pojęciowy umożliwia takie wzbogacenie języka formalnego czyli algorytmicznego, że w tym efektywniejszym języku da się sformułować dowód będący rozwiązaniem algorytmicznym.
Streśćmy te dwa stanowiska, wydobywając różnicę w układzie kwantyfikatorów.
H1: Istnieje algorytm dla rozwiązania każdego problemu.
H2: Dla każdego problemu istnieje algorytm jego rozwiązania.
Z H1 wynika logicznie H2, lecz nie odwrotnie, a więc H2 jest tezą osłabioną. Jest jednak ona na tyle mocna, że nadal nadaje się na zapis logiczny tego przekonania, które w potocznym niemieckim oddaje dewiza Hilberta, sygnowana przez Gödla, „wir werden wissen”. H2 pokrywa się z przekonaniem Gödla (które „wymusił” on na Hilbercie swym wynikiem z roku 1931). Stają się przez to koalicjantami w natarciu na pesymizm poznawczy, co czyni zasadnym tytuł obecnego odcinka.
Ze względu na takie pokrywanie się stanowisk obu myślicieli, odtąd oznaczam ich wspólne stanowisko etykietą GW („G” od „Gödel”, zaś „W” od wszystkich pierwszych liter w maksymie „wir werden wissen”) . Oznaczenie dotyczy Gödla, bo przedmiotem tych rozważań jest jego motywacja filozoficzna poglądu GW. Motywacja Hilberta to byłby temat osobny, i raczej nie do ruszenia, bo (inaczej niż w przypadku Gödla) nie mamy źródeł do jej poznania; można tylko tylko snuć domysły interpretacyjne (co umiejętnie czyni publikacja 2 wymieniona w §5).
Co się tyczy Gödla, to źródła takie mamy, ale są one niejako ezoteryczne, raczej nie znane większości jego komentatorów (opublikowano je w 1996, a wiele opracowań powstało przed tą datą, służąc potem za źródło dla opracowań późniejszych). Tak dochodzimy do drugiego ze wspomnianych powodów nieporozumień, które określiłem jako bibliograficzne. Ma ono wielką wagę dlatego, że teza GW nie jest na tyle oczywista, by każdy się z nią zgodził bez oporu. Można mieć przeciw niej obiekcje filozoficzne i te właśnie obiekcje wydobywa na jaw i przeciwstawia im własne racje Gödel w owej „ezoterycznej” publikacji. Pora ją przedstawić.
§2. Książka ta nosi tytuł: A Logical Journey. From Gödel to Philosophy; MIT 1966 i 2001 (drugie wydanie).
W sensie prawa autorskiego autorem tej książki jest Hao Wang, ale w sensie rzeczowym ma ona dwóch autorów. Jest to bowiem opis akcji polegającej na rozmowie klasyka z jego komentatorem, tak więc obaj są autorami jako rozmówcy. Jednym jest Gödel, którego rolę w tej rozmowie można określić mianem żyjącego klasyka. Natomiast Hao Wang znakomity matematyk i filozof przybyły do USA z Chin, uczeń i przyjaciel Kurta Gödla pełni potrójną rolę: dyskutanta, sprawozdawcy z dyskusji, oraz jej komentatora ex post. Rozmowy dotyczyły logiki, komputerów, filozofii umysłu, roli mózgu, a także filozoficznych tej problematyki założeń i konsekwencji.
Jest to więc dzieło Gödla i zarazem o Gödlu, poruszające wszystkie niemal zagadnienia obecne w jego twórczości. Elementem godnym osobnej uwagi jest zapis kwestii. które obaj rozmówcy uznali za otwarte, jako zadanie dla dalszych badań, obaj wyrażając przy tym wiarę, że wszystkie te kwestie, nie wyłączając metafizycznych, mają szansę na rozwiązania wedle obowiązujących w nauce kryteriów ścisłości. Jest w tym dobitny wyraz tego racjonalistycznego optymizmu, o którym ma traktować projektowany przeze mnie artykuł pt. „Racjonalistyczny optymizm Gödla jako synteza intuicjonizmu Kartezjusza i algorytmizmu Leibniza” (wspomniany w odcinku A). Ma on uprzytomnić istnienie szerszego kontekstu historycznego, który świadczy ,jak doniosła jest kwestia optymizmu poznawczego; nie ogranicza się ona do problematyki z wieku XX, lecz ma rozległy zasięg historyczny.
Lokalizując bibliograficznie cytaty, odwołuję się do tej podstawowej pozycji skrótem Wang [1996], gdzie w nawiasie kwadratowym wystąpi też czasem numer odcinka (seria cyfr oddzielonych kropkami) i numer strony. Dokumentować takimi cytatami temat racjonalistycznego optymizmu można obficie, bo zwrot ten występuje w książce ok. 30 razy, co daje mu wysoką pozycję w zbiorze pojęć dla myśli Gódla kluczowych.
Wybieram spośród nich jeden, w którym racjonalistyczny optymizm jest zdefiniowany w sposób przywołujący temat obecnego odcinka — wspólne Gödlowi z Hilbertem przekonanie o rozwiązywalności wszelkich problemów matematycznych. Następujące dalej (§3) cytaty będą tę relację Gödla i Hilberta pełniej dokumentować, dostarczając źródłowej podstawy dla tezy GW sformułowanej w §1.
§3. Zacznijmy od zdania, które dobrze się nadaje na definicją (choć tylko cząstkową) racjonalistycznego optymizmu.
Cytat I. „Rationalistic optimism includes the expectation that we can solve interesting problems in all areas of mathematics.” — Wang [1966, 6.5.2, s.207].
Jest ta wypowiedź dokumentacją do pytania z §1, jak odróżnić ów optymizm Gödla od optymizmu Hilberta. Na pierwszy rzut oka różnicy nie widać; to zdanie Gödla wygląda jak parafraza dewizy Hilberta, ktorą on odnosił do matematyki. Przywołajmy ją raz jeszcze: Wir müssen wissen, wir werden wissen. Jest ona tak dla Hilberta charakterystyczna, że ją wyryto na jego grobie. Jej sens: oddaje po polsku powiedzenie: musimy wiedzieć, więc będziemy wiedzieć. Podobna jej w treści jest też inna ze słynnych maksym Hilberta: In der Mathematik gibt es kein Ignorabimus (w matematyce nie może być problemów nierozwiązalnych). Także te drugą można oddać słowami Gödla z cytatu I.
Ten spostrzeżenie co do podobieństwie Gödla i Hilberta jeszcze się potwierdza, gdy natrafiamy na tekst, w którym Gödel po nazwisku wymienia Hilberta jako swego sprzymierzeńca.
Cytat II. „If my result is taken together with the rationalistic attitude which Hilbert had and which was not refuted by my results, then we can infer the sharp result that mind is not mechanical. This is so, because, if the mind were a machine, there would, contrary to this rationalistic attitude, exist number-theoretic questions undecidable for the human mind.” — Wang [1966, 6.1.9, s.186; słowa Gödla cytowane przez Wanga].
Jest to sformułowanie niezwykle znamienne. Oto sam Gödel falsyfikuje ów cechujący jego komentatorów dramatyczny stereotyp, że racjonalizm Hilberta zawarty w cytowanych wyżej maksymach obrócił się w ruinę za sprawą wyników Gödla. Przeciwnie, Gödel powiada w dwugłosie z Hilbertem, że w matematyce nie ma problemu, który nie mógłby doczekać się rozwiązania.
Temat ten powraca w rozmowach obu logików. Wang zanotował: wiosną roku 1972, że Gödel stwierdził, iż zgadza się z Hilbertem, gdy ten odrzuca pogląd o istnieniu problemów matematycznych, które byłyby dla umysłu ludzkiego nierozstrzygalne. Oto opinia Gödla w relacji Wanga.
Cytat III. „In the spring of 1972 Gödel formulated an argument for publication [in which] he expressed his agreement with Hilbert in rejecting the proposition that there exist number-theoretical questions undecidable by the human mind.” — Wang [1966, 9.4.21].
O tym, że taka właśnie wiara w potęgę rozumu stanowi esencję racjonalizmu, poświadcza z kolei wypowiedź Hao Wanga:
Cytat IV. „Gödel’s rationalistic optimism is an optimism about the power of human reason.” Wang [1966, 9.4.22, s.317.].
Cytaty II, III i IV są niezwykle znaczące dla uzgodnienia optymizmów Hilberta i Gödla przez fakt użycia frazy „human mind” lub „human reason”. To umysł ludzki ma dar intuicyjnego rozwiązywania problemów nierozstrzygalnych dla algorytmu, a gdy znajdzie rozwiązanie intuicyjne potrafi potem dokonać jego konwersji na algorytm, czym zaspokaja oczekiwania Hilberta. Są jednak filozofowie, którym ten dar zdaje się być tak tajemniczy, że trudno im uwierzyć w jego istnienie. Gödel i Hao Wang obmyślali w swych konwersacjach argumenty pod adresem takich sceptyków; będzie o tym mowa w następnych odcinkach, a tu wspomnę jedynie o argumencie pragmatycznym.
§4. Praktyka naukowa potwierdza optymizm gödlowski, ukazując możliwość coraz bardziej efektywnych algorytmów, a w konsekwencji programów obliczeniowych dla maszyn. Problem jednak filozoficzny jest w tym, że nowe algorytmy biorą się z nowych twórczych pomysłów matematyków; ich przykładem są logiki wyższych rzędów (o czym będzie mowa w odcinku C), pewnik wyboru czy hipoteza kontinuum. Są to jednak pomysły, których zasadność bywa kwestionowana pod tym zarzutem, że na ich rzecz można argumentować jedynie na gruncie platonizmu (do którego Gödel jawnie się przyznaje), a to w pewnych kręgach dyskwalifikuje daną argumentację bez reszty.
Taką antyplatońską kanonadę uprawia nominalizm kwestionujący min. logiki wyższych rzędów; konstruktywizm kwestionujący min. pewnik wyboru; a także pozytywizm, mechanicyzm, behawioryzm itp. To, że pomysły rozwiązań czerpane z inspiracji platońskiej sprawdzają się w praktyce naukowej i technologicznej, nie stanowi argumentu dla wymienionych kręgów; jest to bowiem argument pragmatyczny, a pragmatyzm też się w tych kręgach nie cieszy respektem.
Żeby więc racjonalistyczny optymizm Gödla ostatecznie ugruntować, trzeba wypracować w pełni skuteczne argumenty przeciw takim jak wymienione kierunkom. Zarysowują je w „Logical Journey” Gödel i Wang, mając przy tym świadomość, że są to dopiero wstępne szkice, nad którymi trzeba by dużo popracować. Dlatego Gödel nie przedstawiał na ogół swych idei filozoficznych w druku, pragnąc nadać argumentacji nie mniejszą ścisłość i konkluzywność, jak ta, która cechuje jego prace matematyczne. Nawet jeśli wychodziły one poza fazę notatek, przybierając formę artykułu, pozostawały nieraz w szufladzie, póki się nie doczekały wydań pośmiertnych, jak zbiór wymieniony niżej pod numerem 3 w notatce o literaturze (§5).
To, że argumenty Gödla i Wanga nie dojrzały do druku w niczym nie umniejsza ich doniosłości jako bodźca nadającego naszym myślom impuls i kierunek. Za tym impulsem i w tym kierunku, śladem logicznej podróży (a logical journey) obu autorów, będziemy iść w dalszych odcinkach.
§5. W sprawie literatury
Piśmiennictwo na temat wyników Gödla i ich interpretacji jest przebogate i łatwe do odszukania w Sieci. Toteż podaję tylko przykładowo trzy pozycje, z których dwie pierwsze można uzyskać przez Google, a trzecią przez Kindle’a.
1. Klasykę wysoce kompetentnej popularyzacji stanowi pozycja: Ernest Nagel, James Roy, Newman Gödel’s Proof New York University Press, 2001.
2. Zagadnieniu relacji między myślą Gödla i myślą Hilberta, które jest w centrum uwagi obecnego artykułu, poświęca wiele uwagi artykuł Anny Brożek, kompetentny także w innych kwestiach pomocnych w rozumienie Gödla, pt. Hilbert a Gödel: prawda i dowód w matematyce. „Semina Scientiarum”, 2004, Nr 3, s.39-70.
3. Cenną lekturą uzupełniającą do książki Wanga jest zbiór, którego redaktorem jest Francisco A. Rodriguez-Consuegra pt. „Kurt Gödel: Unpublished Philosophical Essays”. Birkhauser Verlag, Berlin etc. 1995.